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8.1 立方根
第1課時(shí) 立方根
1.了解立方根的概念，會用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根;
2.了解立方根的性質(zhì)，并會用立方根解決實(shí)際問題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
1.什么叫做平方根？
一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a，那么這個(gè)數(shù)叫做 a 的平方根或二次方根.
2.平方根的性質(zhì)有哪些？
(1) 正數(shù)有兩個(gè)平方根，兩個(gè)平方根互為相反數(shù).
(2) 0 的平方根還是 0.
(3) 負(fù)數(shù)沒有平方根.
問題 要制作一種容積為8 m3 的正方體，這種正方體的棱長應(yīng)該是多少？
解：設(shè)這種正方體的棱長為 x m，則 x3＝8.
因?yàn)?3＝8，
所以 x＝2.
因此這種正方體的棱長應(yīng)為 2 m.
思考 如果一個(gè)數(shù)的立方等于8，那么這個(gè)數(shù)是多少？
除2以外，任何
一個(gè)數(shù)的立方都
不等于8.
一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于 a，即 x3＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫做 a 的立方根或三次方根．
在前面的問題中，由于 23＝8，所以 2 是 8的立方根.
立方
開立方
互逆
立方根的概念：
類似開平方運(yùn)算，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方.
探究 根據(jù)立方根的意義填空：
因?yàn)?3＝1，所以1的立方根是（　）；
因?yàn)? )3 ＝0.064,所以0.064的立方根是（　 ）；
因?yàn)? )3 ＝0，所以0的立方根是（　）；
因?yàn)? )3 ＝－8，所以－8的立方根是（ ）；
因?yàn)? )3 ＝－ ，所以－的立方根是（ ）.
0
1
－2
0
－2
你能發(fā)現(xiàn)正數(shù)的立方根有什么特點(diǎn)嗎 負(fù)數(shù)呢 0的立方根是多少
0.4
0.4
－
－
正數(shù)的立方根是正數(shù)；
負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；
0的立方根是0.
立方根的性質(zhì)：
立方根是它本身的數(shù)有1, －1, 0；
平方根是它本身的數(shù)只有0.
思考 你能說一說數(shù)的立方根與數(shù)的平方根有什么不同嗎
定義 特征
平方根
立方根
如果x ＝a.那么x叫做a的平方根
正數(shù)有兩個(gè)平方根它們互為相反數(shù)；
0的平方根是0；
負(fù)數(shù)沒有平方根
如果x3＝a，那么x叫做a的立方根
正數(shù)的立方根是正數(shù)；
0的立方根是0：
負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)
立方根的表示
一個(gè)數(shù)a的立方根可以表示為:
根指數(shù)
被開方數(shù)
讀作:三次根號 a，
一個(gè)數(shù)a的立方根，記為“ ”，讀作“三次根號a”. 如：表示8的立方根，＝2；表示－8的立方根，＝－2.
實(shí)際上省略了a中的根指數(shù)2,因此也可以讀作“二次根號a”.
例1 求下列各數(shù)的立方根：
（1）(－2) ； （2）343； （3）－64； （4）.
解：(1)(－2) 的立方根是－2,即＝－2;
(2)因?yàn)? ＝343,所以343的立方根是7,即＝7;
(3)因?yàn)?－4) ＝－64，所以－64的立方根是－4,即－64＝－4；
(4)因?yàn)?) ＝27，所以的立方根是，即＝.
例2 已知3a＋1的算術(shù)平方根是5,4－2b的立方根是2,求a－b的平方根.
解：由題意得，＝5，＝2，
∴＝25，＝8，
解得：a＝8,b＝－2,
a－b＝8－(－2)＝10,
∴＝±.
例3 小明有一個(gè)大正方體鐵塊，其體積為 125 cm .
(1)求這個(gè)大正方體鐵塊的棱長；
(2)小明要將這個(gè)大正方體鐵塊熔化，重新鍛造成兩個(gè)小正方體鐵塊，其中一個(gè)小正方體鐵塊的體積為 98 cm ,求另一個(gè)小正方體鐵塊的棱長.
解：(1)根據(jù)題意，鐵塊的棱長為
＝5(cm),
答：這個(gè)鐵塊的棱長為 5 cm.
例3 小明有一個(gè)大正方體鐵塊，其體積為 125 cm .
(2)小明要將這個(gè)大正方體鐵塊熔化，重新鍛造成兩個(gè)小正方體鐵塊，其中一個(gè)小正方體鐵塊的體積為 98 cm ,求另一個(gè)小正方體鐵塊的棱長.
(2)根據(jù)題意，另一個(gè)小立方體鐵塊的體積為
125－98＝27(cm ),
∴另一個(gè)小立方體鐵塊的棱長為
＝3(cm).
答：另一個(gè)小立方體鐵塊的棱長為 3cm.
1.下列說法：（1）2是8的立方根;（2）±4是64的立方根;（3）－是－的立方根;（4）(－4)3 的立方根是－4 ，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
C
2.下列各式：（1）－；（2）；（3） ；
（4） 中，有意義的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
D
3.－125的立方根是 ,的立方根是 .
－5
4.已知a－3的算術(shù)平方根是2,b的立方根為2,求a－b的立方根.
解：∵a－3的算術(shù)平方根是2,b的立方根為2,
∴a－3＝4,b＝8,
∴a＝7,b＝8,
:＝＝－1,
∴a－b的立方根是－1.
5.一個(gè)長方體的長為5 cm、寬為2 cm、高為3 cm,而一個(gè)正方體的體積是它的3倍.求這個(gè)正方體的棱長(結(jié)果精確到0.01 cm).
解:設(shè)這個(gè)正方體的棱長為x cm.
根據(jù)題意,得
x3＝3×5×2×3,
即x3＝90,
兩邊開立方,得x＝ ≈4.48.
即這個(gè)正方體的棱長約為4.48 cm.
定義
立方根
正數(shù)的立方根是正數(shù)，
負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；
0的立方根是0.
性質(zhì)

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