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8.2 平方根
第2課時 算術平方根
1.了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根.（重點）
2.會求非負數的算術平方根，掌握算術平方根的非負性．(重難點)
1. 正數的平方根有什么特點？
2. 0 的平方根是多少？
3. 負數有平方根嗎？
正數的平方根有兩個，它們互為相反數，
0 的平方根是 0.
負數沒有平方根.
我們知道，正數 a 有兩個平方根，其中正的平方根 叫作 a的算術平方根.正數 a 的算術平方根用 來表示.
規定：0的算術平方根是0.0的算術平方根也記為.
a 的算術平方根
互為
逆運算
平方根號
被開方數(a≥0)
讀作“根號a”
x2＝a
(x≥0)
x＝
例1 分別求下列各數的算術平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1) 由于102＝100， 因此 10.
(2)由于 ，因此 .
(3) 由于 0.012＝0.0001，因此 .
被開方數越大，對應的算術平方根也越大.
思考1 被開方數 a 可以是負數嗎？
思考2 算術平方根可以是負數嗎？
答：不可以，由算術平方根的定義可得正數x＝，即>0，又＝0， 所以也是一個非負數.
答：不可以，因為任意一個數的平方都不可能是負數. 即 a 是一個非負數.
a 的算術平方根
非負數
非負數
算術平方根的雙重非負性：
到目前為止，表示非負數的式子有：
|a|≥0；a2≥0；當a≥0 時，≥0.
解: 因為 |a－5| ≥0， ≥0，
且 |a－5|＋ ＝0，
所以 |a－5|＝0， ＝0，
所以 a＝5，b＝－1，
所以 a＋b＝5＋(－1)＝4.
例2 若 |a－5|＋ ＝0，求 m＋n 的值.
歸納 若幾個非負數的和為0，則每個數均為0.
例3 求下列各式的值：
（1） ；（2） ； （3）± ；
解:（1） ＝6 ；
（2） ＝ －0.9 ；
（3）± ＝ ± .
平方根與算術平方根的聯系與區別
聯系
區別
1. 包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.
2. 只有非負數才有平方根和算術平方根.
3. 0 的平方根是 0，算術平方根也是 0.
1. 個數不同：一個正數有兩個平方根，但只有一個算術平方根.
2. 表示法不同：平方根表示為± ，而算術平方根表示為.
探究1 怎樣用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm 的大正方形？
如圖，把兩個小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就得到一個面積為2 dm2的大正方形.
設大正方形的邊長為 x dm，則
x ＝2.
由邊長的實際意義可知x＝，
所以大正方形的邊長是 dm.
拼成的這個面積為 2 dm2 的大正方形的邊長應該是多少呢？
探究2 有多大呢？
∵12＝1，22＝4，12＜2＜22，∴1＜＜2；
是整數部分是1 的小數
∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.42＜2＜1.52，
∴1.4＜＜1.5；
∵1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.412＜2＜1.422，
∴1.41＜＜1.42；
∵1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225，1.4142＜2＜1.4152，
∴1.414＜＜1.415；
……
事實上，＝1.414 213 562 373…，它是一個無限不循環小數.
實際上，很多正有理數的算術平方根（例如，，等）都是無限不循環小數.
無限不循環小數是指小數位數無限，且小數部分不循環的小數.
1.3的算術平方根為( )
A. B.－3 C.±3 D.±
2.面積為9的正方形，其邊長等于( )
A.9的平方根 B.3的算術平方根
C.9的算術平方根 D.3的平方根
3.若|a－17|＋(b－1) ＝0,則的算術平方根為____.
A
C
2
4.求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3）± .
解：（1）＝12 ；
（2） ＝ －0.9 ；
（3）± ＝ ± .
5.已知：m、n滿足＋n ＋9＝6n,求(m＋n)100的值.
解：∵＋n ＋9＝6n,
∴＋n ＋9－6n＝0,
∴＋(n－3) ＝0,
∴m＋2＝0,n－3＝0,
∴m＝－2,n＝3,
∴(m＋n)100＝(－2＋3)100＝1.
6.如圖，有一張長寬比為3:2的長方形紙片 ABCD,面積為 96 cm .
(1)分別求長方形紙片的長和寬；
(2)小麗想沿這張長方形紙片邊的方
向裁剪一塊長寬比為 6:5 的新長方形，
使其面積為 90 cm ,請問她能裁出符合
要求的長方形嗎 試說明理由.
A
B
C
D
(1)解：設長方形的長為 3x cm,寬為 2x cm,根據題意得：3x·2x＝96,解得：x＝4(負值舍去),
∴3x＝12,2x＝8.
答：長方形紙片的長和寬分別是 12 cm,8 cm;
(2)解：不能，理由如下：
設長方形紙片的長為 6a cm,則寬為 5a cm,
根據題意得：6a·5a＝90,
解得：a＝(負值舍去),
∴6a＝6＜12,5a＝5＞8,
∴她不能裁出符合要求的長方形.
定義
算術平方根
性質
應用

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