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人教版
數學 八年級
下
第十九章 一次函數
19.2.2 一次函數及其圖象和性質
學習目標
1.理解并掌握一次函數的概念；（重點）
2.會求一次函數解析式；（難點）
3.會用兩點法畫出正比例函數和一次函數的圖象，并能結合圖象說出正比例函數和一次函數的性質；（重點）
4.能運用性質、圖象及數形結合思想解決相關函數問題.（難點）
某登山隊大本營所在地的氣溫為 5 ℃，海拔每升高 1 km 氣溫下降 6 ℃. 登山隊員由大本營向上登高 x km 時，他們所在位置的氣溫是 y ℃.
你能用函數解析式表示 y 與 x 的關系嗎？
情境導入
y = 5 - 6x
(1) 試用函數解析式表示 y 與 x 的關系；
(2) 它是正比例函數嗎？
y = 5 - 6x 不是正比例函數.
某登山隊大本營所在地的氣溫為 5 ℃，海拔每升高 1 km 氣溫下降 6 ℃. 登山隊員由大本營向上登高 x km 時，他們所在位置的氣溫是 y ℃.
它與正比例函數有什么不同？這種形式的函數你見過嗎？
知識講解
知識點 一 一次函數的概念
下列問題中，變量之間的對應關系是函數關系嗎？如果是，請寫出函數解析式.
（ 1）有人發現，在 20 ℃～25 ℃ 時蟋蟀每分鳴叫次數c 與溫度 t（單位：℃）有關，且 c 的值約是 t 的 7 倍與 35 的差； ( )
解：函數解析式為c = 7t - 35.(20≤t≤25)
是
（2）一種計算成年人標準體重 G（單位：kg）的方法是，以 cm 為單位量出身高值 h ，再減常數105，所得差是 G 的值； ( )
解：函數解析式為G = h - 105.
是
知識講解
（3）某城市的市內電話的月收費額 y（單位：元）包括月租費 22 元和撥打電話 x min 的計時費（按0.1元/min收?。?； ( )
（4）把一個長 10 cm，寬 5 cm的矩形的長減少 x cm，寬不變，矩形面積 y（單位：cm2）隨 x的值而變化． ( )
解：函數解析式為y = 0.1x + 22.
解：函數解析式為y = - 5x + 50 (0≤ x＜10) .
是
知識講解
是
觀察以上出現的四個函數解析式，很顯然它們不是正比例函數，那么它們有什么共同特征呢？
y
k(常數)
x
=
+b(常數)
（1） c = 7 t - 35
（2） G = h -105
（3） y = 0.1 x + 22
（4） y = -5 x + 50
1
●
知識講解
一次函數的特點如下：
（1）解析式中自變量 x 的次數是 次；
（2）比例系數 ；
（3）常數項：通常不為 0，但也可以等于 0.
1
k ≠ 0
一般地，形如 y = kx + b （k， b 是常數，k ≠ 0）的函數，叫做一次函數.
知識講解
知識點一 一次函數的概念
正比例函數 一次函數
定義
解析式
一般地，形如 y = kx ( k 是常數，k ≠ 0 )
的函數
一般地，形如 y = kx + b( k，b 是常數，k ≠ 0 )的函數
y = kx
( k是常數，k ≠ 0 )
y = kx+b
( k，b是常數，k ≠ 0 )
知識講解
（1）當 b = 0 時，y = kx + b 即 y = kx (k ≠ 0)，此時該一次函數是正比例函數.
（2）正比例函數是一種特殊的一次函數.
一次函數與正比例函數有什么關系？
知識講解
例1.已知函數 y = (m - 1)x + 1 - m2.
（1）當 m 為何值時，這個函數是一次函數
函數是一次函數
一次項系數不為 0
次數為 1
k = (m-1) ≠ 0
即 m ≠ 1 時，這個函數是一次函數.
知識講解
函數是正比例函數
一次項系數不為 0
次數為 1
k = (m - 1) ≠ 0
常數項一定為 0
1- m2 = 0
（2）當 m 為何值時，這個函數是正比例函數
解：由題意可得
m - 1 ≠ 0，1- m2 = 0，解得 m = -1.
即 m = -1 時，這個函數是正比例函數.
知識講解
例2. 已知 y 與 x－3 成正比例，當 x＝4 時，y＝3．
(1)寫出 y 與 x 之間的函數關系式，并指出它是什么函數；
(2)求 x＝2.5 時，y 的值．
解：(1) 設 y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，解得 k＝3.
∴ y＝3(x－3). ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函數．
知識講解
(2) 當 x＝2.5 時，y=3×2.5-9=-1.5
例1.汽車油箱中原有油 50 升，如果汽車每行駛 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (單位：升)隨行駛路程 x (單位：千米) 變化的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍，y 是 x 的一次函數嗎？
解：剩余油量 y 與行駛路程 x 的函數關系式為 y=50 -x
自變量 x 的取值范圍是 0 ≤ x ≤
知識點二 一次函數的簡單應用
函數 y=50 -x 是 x 的一次函數.
知識講解
例2.如果長方形的周長是 30 cm，長是 x cm，寬是 y cm.
(1) 寫出 y 與 x 之間的函數解析式，它是一次函數嗎？
(2) 若長是寬的 2 倍，求長方形的面積.
解：(1) y = 15 - x，是一次函數.
(2) 由題意可得 x = 2(15 - x).
解得 x = 10，所以 y = 15 - x = 5.
∴長方形的面積為 10×5 = 50 (cm2).
知識講解
正比例函數
一次函數
針對函數 y = kx + b，要研究什么？
怎樣研究？
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
解析式 y = kx (k ≠ 0)
解析式 y = kx + b (k ≠ 0)
？
性質：k＞0，y 隨 x 的增大而增大；
k＜0，y 隨 x 的增大而減?。?br/>？
知識講解
畫出函數 y = 2x - 3 與 y = 2x 的圖象，并比較兩個
函數的相同點與不同點.
2
-2
-4
-2
2
x
y
O
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -7 -5 -3 -1 1 …
描點
連線
列表
(1) 畫一次函數 y = 2x - 3 的圖象．
(2) 畫正比例函數 y = 2x 的圖象．
y = 2x-3
y = 2x
知識講解
比較上面兩個函數的圖象回答下列問題：
（2）函數 y1= 2x 的圖象經過 ，函數 y2= 2x - 3 的圖像與 y 軸交于點( )，即它可以看作由直線 y1= 2x向 平移 個單位長度而得到.
（1）這兩個函數的圖象形狀都是 ，并且傾斜程度 .
原點
0 ，-3
下
3
一條直線
相同
知識講解
你知道一次函數 y = kx＋b (k ≠ 0) 的圖象是什么形狀了嗎 它與正比例函數的
圖象有什么關系
知識講解
知識點三 一次函數的圖象
① 一次函數 y = kx＋b (k ≠ 0) 的圖象是一條直線，
我們稱它為直線 y = kx＋b (k ≠ 0).
②直線 y = kx y = kx＋b
(注：b＞0 時，向上平移；b＜0 時，向下平移.)
向上(或下)平移
|b| 個單位長度
怎么畫一次函數的圖象更簡便呢
對于一次函數 y = kx + b (k ≠ 0)來說，必定與 x 軸和 y 軸形成交點，所以一般采用：一次函數圖象與坐標軸的交點.
(0，b)
( - ，0)
令 x = 0，則得 y = b，圖象與 y 軸交于(0，b)；
令 y = 0 時，則得 x = -
圖象與 x 軸交于( - ，0).
知識講解
y = -2x-1
y = 0.5x+1
例1 用你認為最簡單的方法畫出下列函數的圖象：
(1) y = -2x - 1；(2) y = 0.5x + 1
x 0 1
y = - 2x - 1
y = 0.5x + 1
-1
-3
1
1.5
也可以先畫直線 y = -2x 與 y = 0.5x，再分別平移它們，也能得到直線 y = -2x - 1與 y = 0.5x + 1.
知識講解
例2.(1) 在同一直角坐標系畫一次函數 y = - 6x
與 y = - 6x + 5 的圖象．
(2) 一次函數 y = - 6x + 5 的圖象與 y 軸
交于點 ，可以看作由直線y = - 6x
向 平移 個單位長度而得到．
(3) 在同一直角坐標系中，直線 y = - 6x + 5 與 y = - 6x
的位置關系是 .
上
5
(0，5)
平行
y = -6x+5
y = -6x
知識講解
　　畫出下列一次函數的圖象：
　 （1）y = x + 1； ?。?）y = 3x + 1；
　 （3）y = -x + 1；?。?）y = -3x + 1．
思考：仿照正比例函數的做法，你能看出當 k 的符號
變化時，函數的增減性怎樣變化嗎？
知識點四 一次函數的性質
知識講解
6
-2
-5
5
x
y
O
2
4
A
B
C
D
E
y = x+1
y = 3x+1
y = -x+1
y = -3x+1
k＞0 時，直線從左向右上升，y 隨 x 的增大而增大；
k＜0 時，直線從左向右下降，y 隨 x 的增大而減小．
知識講解
總結：在一次函數 y = kx + b 中，
當 k > 0 時，y 的值隨著 x 值的增大而增大；
當 k < 0 時，y 的值隨著 x 值的增大而減小.
知識點四 一次函數的性質
例1. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函數 y = - 0.5x + 3 圖象上的兩點，下列判斷中，
正確的是( )
A. y1＞y2 C. 當 x1＜x2 時，y1＜y2
B. y1＜y2 D. 當 x1＜x2 時，y1＞y2
D
解析：根據一次函數的性質： 當 k＜0 時，y 隨 x的增大而減小，所以 D 為正確答案．反過來也成立：y 越大，x 就越?。?br/>知識講解
y = kx+b 圖象經過的象限 y和x的變化
k＞0 b > 0
b = 0 b < 0 k＜0 b > 0
b = 0 b < 0 一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
二、四
二、三、四
y 隨 x 的增大
而增大
y 隨 x 的增大
而減小
k，b 的正負對一次函數圖象及性質有什么影響？
知識講解
例1. 一次函數 y = x - 2 的大致圖象為( )
C
A B C D
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
知識講解
例2.直線 y = 2x - 3 與 x 軸交點的坐標為________；與 y 軸交點的坐標為_______；圖象經過第__________ 象限， y 隨 x 的增大而________．
(0，-3)
一、三、四
增大
(1.5，0)
1.下列說法正確的是（ ）
A. 一次函數是正比例函數
B. 正比例函數不是一次函數
C. 不是正比例函數就不是一次函數
D. 正比例函數是一次函數
D
2.要使 y = (m - 2) x n-1 + n 是關于 x 的一次函數，n，m 應滿足 ， .
m ≠ 2
n = 2
n-1 =1且m-2≠0
隨堂練習
隨堂練習
3.下列函數中，y 的值隨 x 值的增大而增大的函數是( )
A. y = - 2x B. y = - 2x + 1
C. y = x - 2 D. y = - x - 2
C
隨堂練習
4. 若直線 y = kx + 2 與 y = 3x - 1平行，則 k = .
3
＞
5.點 A(-1，)，B(3，) 是直線 y = kx + b(k＜0)上的兩點，則
- 0(填“＞”或“＜”).
6. 如圖點 P (x，y) 第一象限內一個動點，且在直線 y = - 2x + 8 上，直線與 x 軸
交于點 A.
(1) 當點 P 的橫坐標為 3 時，△APO 的面積為多少
(2) 設△APO 面積為 S，含 x 的解析式表示 S，
并寫出 x 的取值范圍.
隨堂練習
解： (1) ∵令 y = 0，則 - 2x + 8 = 0，解得 x = 4，∴OA = 4，
∵點 P (x，y) 是第一象限內一個動點，
且在直線 y = - 2x + 8 上，
∴當 x = 3 時，y = (-2)×3 + 8 = 2，
∴S△APO = ×4×2 = 4.
(2)∵點 P (x，-2x + 8)，
∴S△APO = OA×(- 2x + 8) = ×4×(-2x + 8)
= - 4x + 16 (0＜x＜4 ).
隨堂練習
一次函數及其圖象和性質
一次函數的概念
一次函數的圖象
y=kx+b （k， b 是常數，k ≠ 0）
一次函數的簡單應用
一次函數的性質
直線y=kx+b （k ≠ 0）
兩點法畫圖象 (0，b)，( - ，0)
k > 0 時，y隨著 x 的增大而增大；
k < 0 時，y 隨著 x 的增大而減小.
課后小結
謝謝觀看
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