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人教版
數學 八年級
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第十九章 一次函數
19.3 課題學習 選擇方案
學習目標
1. 了解一次函數的解析式和圖象在解決實際問題中的應用，能運用一次函數選擇最佳方案.（重點）
2. 用一次函數的解析式和圖象法解決實際問題.（難點）
3.理解同一問題有不同的解決方案；（重點）
4.掌握用一次函數選擇最佳方案的方法.（難點）
做一件事情，有時有不同的實施方案.比較這些方案，從中選擇最佳方案作為行動計劃，是非常必要的.應用數學的知識和方法對各種方案進行比較分析，可以幫助我們清晰地認識各種方案，作出理性的決策.
你能說說生活中需要選擇方案的例子嗎？
情境導入
怎樣選取上網收費方式？
收費方式 月使用費/元 包時上網時間/時 超時費/(元/分)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限時
下表給出 A，B，C 三種上寬帶網的收費方式.
選取哪種方式能節省上網費？
知識點一 選擇方案
知識講解
1.哪種方式上網費是會變化的？哪種不變？
2.方案 C 上網費是多少錢
A、B 會變化，C 不變
120 元
3.方式 A、B 中，上網費由哪些部分組成？
當上網時間不超過規定時間時，費用 = 月費；
當上網時間超過規定時間時，費用 = 月費+超時費 =月費+超時使用價格×超時時間
知識講解
收費方式 月使用費/元 包時上網時間/時 超時費/(元/分)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
4.設月上網時間為 x 小時，方案 A 的網費為 y1元，方案 B 網費為 y2 元. 怎樣選擇才能最省錢？
在 x＞0 的條件下，考慮何時：
①y1＝y2；②y1＜y2；③y1＞y2
(1) 先比較兩個函數值的大小
(2) 再用其中省錢的方式與方案 C 進行比較
知識講解
5. 在方式 A 中，超時費一定會產生嗎？什么情況下才會有超時費？
當 x＞25 時，y1 = 30 + 0.05×60(x - 25) = 3x - 45.
收費方式 月使用費/元 包時上網時間/時 超時費/(元/分)
A 30 25 0.05
合起來可寫為：
當 0≤x≤25 時，y1= 30；
(0.05×60)元/h
超時費
超時使用價格×超時時間
不一定，只有在上網時間超過 25 小時時才會產生．
知識講解
收費方式 月使用費/元 包時上網時間/時 超時費/(元/分)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限時
6.類比方式A，你能自己寫出方式 B ，C 的上網費 y2，y3 關于上網時間 x 之間的
函數解析式嗎
當 x≥0 時，y3 = 120.
知識講解
在同一坐標系畫出它們的圖象：
分析：比較函數值大小
把最低的部分描出來，
就是最省錢的方案
知識講解
當上網時間__________時，選擇方式 A 最省錢.
當上網時間__________時，選擇方式 B最省錢.
當上網時間_________時，選擇方式 C 最省錢.
例1. 某移動公司對于移動話費推出兩種收費方式：
A 方案：每月收取基本月租費 15 元，另收通話費
為 0.2 元/分；
B 方案： 零月租費，通話費為 0.3 元/分.
（1）試寫出 A，B 兩種方案所付話費 y (元) 與通話
時間 t (分鐘) 之間的函數關系式；
（2）在同一坐標系畫出這兩個函數的圖象，并指出
哪種付費方式合算？
知識講解
解：（1） A 方案： y1 = 15 + 0.2t (t≥0)，
B 方案：y2 = 0.3t (t≥0).
（2）這兩個函數的圖象如下：
t(分)
O
50
150
100
10
20
y(元)
50
30
40
●
●
y1 = 15+0.2t
y2 = 0.3t
●
觀察圖象，可知：
當通話時間為 150 分鐘時，選擇 A 或 B 方案費用一樣；
當通話時間少于 150 分鐘時，選擇 B 方案費合算；
當通話時間多于 150 分鐘時，選擇 A 方案合算.
知識講解
某學校計劃在總費用 2300 元的限額內，租用汽車送 234 名學生和 6 名教師集體外出活動，每輛汽車上至少有 1 名教師．現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示：
（1）共需租多少輛汽車？
（2）給出最節省費用的租車方案．
租車類問題
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金 （單位：元/輛） 400 280
知識講解
(1)租車的方案有哪幾種？
共三種：（1）單獨租甲種車；（2）單獨租乙種車；
（3）甲種車和乙種車都租．
某學校計劃在總費用 2300 元的限額內，租用汽車送 234 名學生和 6 名教師集體外出活動，每輛汽車上至少有 1 名教師．現有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如表所示：
知識講解
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金 （單位：元/輛） 400 280
(2)如果單獨租甲種車需要多少輛？乙種車呢？
(3)如果甲、乙都租，你能確定合租車輛的范圍嗎？
汽車總數不能小于 6 輛，不能超過 8 輛.
單獨租甲種車要 6 輛，單獨租乙種車要 8 輛.
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金 （單位：元/輛） 400 280
知識講解
240÷45=5 240÷30 = 8
(4)要使 6 名教師至少在每輛車上有一名，你能確定排除哪種方案？你能確定租車的輛數嗎？
說明了車輛總數不會超過 6 輛，可以排除方案(2)——單獨租乙種車；所以租車的輛數只能為 6 輛．
(5)在問題3 中，合租甲、乙兩種車的時候，又有很多種情況，面對這樣的問題，我們怎樣處理呢？
方法1：分類討論——分 3 種情況；
方法2：設租甲種車 x 輛，確定 x 的范圍.
知識講解
設租用 x 輛甲種客車，則租車費用 y (單位：元)是 x 的函數，即
怎樣確定 x 的取值范圍呢
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金 （單位：元/輛） 400 280
x 輛
(6 - x)輛
y = 400x + 280(6 - x)
化簡為 y = 120x + 1680
知識講解
(1)為使 240 名師生有車坐，可以確定 x 的一個范圍嗎？
(2)為使租車費用不超過 2300元，又可以確定 x 的范圍嗎？
結合問題的實際意義，你能有幾種不同的租車方案 為節省費用應選擇其中的
哪種方案？
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金 （單位：元/輛） 400 280
知識講解
除了分別計算兩種方案的租金外，還有其他選擇方案的方法嗎？
方案一：當 x＝4 時，
即租用 4 輛甲種汽車，2 輛乙汽車
y = 120×4 + 1680 = 2160
方案二：當 x＝5 時，
即租用 5 輛甲種汽車，1輛乙汽車
y = 6×400 = 2400
方案三：當 x＝6 時，
即單獨租用 6 輛甲種汽車
y = 120×5 + 1680 = 2280
由函數可知 y 隨 x 增大而增大，所以 x = 4時 y 最小.
知識講解
總結: 解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量之間的關系，從中選取一個取值能影響其他變量的值的變量作為自變量，然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數，以此作為解決問題的數學模型.
知識講解
1.某單位準備和一個體車主或一國營出租車公司中的一家簽訂月租車合同，設汽車每月行駛x 千米，個體車主收費y1元，國營出租車公司收費為y2元，觀察下列圖象可知，當x________時，選用個體車較合算．
＞1500
隨堂練習
2. 某單位有職工幾十人，想在節假日期間組織到外地旅游.當地有甲、乙兩家旅行社，它們服務質量基本相同，到此地旅游的價格都是每人 100 元.經聯系協商，甲旅行社表示可給予每位游客八折優惠;乙旅行社表示單位先交 1000 元后，給予每位游客六折優惠.問該單位選擇哪個旅行社，可使其支付的旅游總費用較少？
隨堂練習
解法一：設該單位參加旅游人數為 x. 那么選甲旅行社，應付費用 80x 元；
選乙旅行社，應付 (60x + 1000)元.
記 y1= 80x，y2 = 60x + 1000.
在同一直角坐標系內作出兩個函數的
圖象， y1與 y2 的圖象交于點 (50，4000).
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1= 80x
y2= 60x+1000
隨堂練習
觀察圖象，可知：當人數為 50 時，選擇甲或乙旅行社費用都一樣；
當人數為 0～49 人時，選擇甲旅行社費用
較少；
當人數為 51～100 人時，選擇乙旅行社
費用較少.
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1= 80x
y2= 60x+1000
隨堂練習
解法二：
(1) 當 y1 = y2，即 80x = 60x + 1000 時，x = 50.
所以當人數為50時，選擇甲或乙旅行社費用都一樣；
(2) 當 y1＞y2，即 80x＞60x + 1000 時， 得 x＞50. 所以當人數為51～100人時 ，
選擇乙旅行社費用較少；
(3) 當 y1＜y2，即 80x＜60x + 1000 時，得 x＜50.
所以當人數為 0～49 人時，選擇甲旅行社費用較少；
隨堂練習
設選擇甲、乙旅行社費用之差為 y，
則 y = y1 - y2 = 80x - (60x + 1000) = 20x - 1000.
　　畫出一次函數 y = 20x - 1000 的圖象如下圖.
O
20
40
60
-200
-400
-600
-800
-1000
y
x
y= 20x-1000
它與 x 軸交點為(50，0)，由圖可知：
(1)當 x = 50 時，y = 0，即 y1= y2；
(2)當 x＞50 時，y＞0，即 y1＞y2；
(3)當 x＜50 時，y＜0，即 y1 ＜ y2.
隨堂練習
解法三：
3.某工程機械廠根據市場要求，計劃生產 A、B 兩種型號的大型挖掘機共 100 臺，該廠所籌生產資金不少于 22400 萬元，但不超過 22500 萬元，且所籌資金全部用于生產這兩種型號的挖掘機，所生產的這兩種型號的挖掘機可全部售出，此兩種型號挖掘機的生產成本和售價如下表所示：
型號 A B
成本（萬元/臺） 200 240
售價（萬元/臺） 250 300
隨堂練習
(1) 該廠對這兩種型號挖掘機有幾種生產方案？
(2) 該廠如何生產獲得最大利潤？
(3) 根據市場調查，每臺 B 型挖掘機的售價不會改變，每臺 A 型挖掘機的售價
將會提高 m 萬元( m > 0 )，該廠如何生產可以獲得最大利潤？(注：利潤 = 售價 - 成本)
分析：可用信息：
①A、B 兩種型號的挖掘機共 100 臺；
②所籌生產資金不少于22400萬元，但不超過22500萬元；
③所籌資金全部用于生產，兩種型號的挖掘機可全部售出.
隨堂練習
解：(1) 設生產 A 型挖掘機 x 臺，則 B 型挖掘機可生產 (100 - x) 臺，由題意知：
(1) 該廠對這兩種型號挖掘機有幾種生產方案？
∴有三種生產方案：A 型 38 臺，B 型 62 臺；A 型 39 臺，B 型 61 臺；
A型 40 臺， B型 60 臺.
解得 37.5≤x≤40
∵ x 取正整數， ∴ x 為 38、39、40.
隨堂練習
∴當 x = 38 時，W最大 = 5620 (萬元).
即生產 A 型 38 臺，B 型 62 臺時，獲得最大利潤.
(2) 該廠如何生產獲得最大利潤？
W = 50x＋60(100－x)
= －10x＋6000
解：設獲得利潤為 W (萬元)，由題意知：
分析：利潤與兩種挖掘機的數量有關，因此可建立利潤與挖掘機數量的函數關系式.
隨堂練習
(3) 根據市場調查，每臺 B 型挖掘機的售價不會改變，每臺 A 型挖掘機的售價
將會提高 m 萬元(m > 0)，該廠如何生產可以獲得最大利潤？
分析：在 (2) 的基礎上，售價改變，則應重新建立利潤與挖掘機數量的函數關系式，并注意討論m 的取值范圍.
隨堂練習
③當 m＞10 時，取 x = 40，W 最大，
即 A 型挖掘機生產 40 臺，B 型生產 60 臺.
解：由題意知：W = (50＋m)x＋60(100－x)
= (m－10)x＋6000
∴① 當 0＜m＜10 時，取 x = 38，W 最大 ，
即 A 型挖掘機生產 38 臺，B 型挖掘機生產 62 臺；
②當 m = 10 時，m - 10 = 0，三種生產獲得利潤相等；
隨堂練習
選擇方案
分析實際問題中的數量關系
分析變量間的關系
建立一次函數數學模型
探求解決實際問題的最優方案
選取自變量、尋求可以反映實際問題的函數
課后小結
謝謝觀看
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