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人教版
數學 八年級
下
第十九章 一次函數
19.2.2 一次函數的應用
學習目標
1.掌握用待定系數法求一次函數的解析式.（重點）
2.用待定系數法求一次函數的解析式，解決與實際相關的問題.（難點）
前面，我們學習了一次函數及其圖象和性質，你能寫出一個具體的一次
函數解析式嗎？如何畫出它的圖象？
兩點法——兩點確定一條直線
反過來，如果知道一條直線經過兩個已知點，能否確定這條直線的解析式呢
y = 2x - 3
情境導入
知識點一 用待定系數法求一次函數的解析式
如圖，已知一次函數的圖象經過 P (0，-1)，
Q (1，1) 兩點. 怎樣確定這個一次函數的解析式呢？
關鍵是要確定 k 和 b 的值(即待定系數).
知識講解
∵ P(0，-1) 和 Q(1，1) 都在該函數圖象上，
∴它們的坐標都滿足 y = kx + b ，將這兩點坐標代入該式中，得到一個關于 k，b 的二元一次方程組：
k · 0 + b = -1，
k + b = 1，
｛
｛
解這個方程組，得
k = 2，
b = -1.
∴ 這個一次函數的解析式為 y = 2x - 1.
知識講解
函數解析式
y = kx + b
從數到形
從形到數
像這樣，通過先設定函數解析式（確定函數模型），再根據條件確定解析式中的未知系數，從而求出函數解析式的方法稱為待定系數法.
數學的基本思想方法：數形結合
一次函數的圖象直線 l
知識講解
知識點一 用待定系數法求一次函數的解析式
思考：給兩點可以確定一次函數的解析式，一點可以嗎 更多點呢
從幾何角度來看：一點不夠，因為兩點確定一條直線.
兩個及以上都可以，但是兩點足夠.
從代數角度來看：一次函數的解析式中含有 k，b 兩個
待定系數，因此需要兩個點的坐標，列兩個方程，即
得二元一次方程組.
知識講解
y = kx + b (k ≠ 0)
二元一次
求一次函數解析式的步驟：
（1）設：設一次函數的一般形式 ；
（2）列：把圖象上的點 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函數的解析式，
組成_____ __方程組；
（3）解：解二元一次方程組得 k，b；
（4）還原：把 k，b 的值代入一次函數的解析式.
知識講解
例1. 已知一次函數的圖象過點 (3，5) 與 (-4，-9)，求這個一次函數的解析式．
解：設這個一次函數的解析式為 y = kx + b.
把點 (3，5) 與 (-4，-9) 分別代入，得：
∴這個一次函數的解析式為 y = 2x - 1.
解方程組得
3k + b = 5，
-4k + b = -9，
｛
k = 2，
b = -1.
｛
知識講解
購買種子 數量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金額/元 …
例2 “黃金1號”玉米種子的價格為 5 元/kg，如果一次購買 2 kg 以上的種子，超過 2 kg 部分的種子的價格打 8 折.
（1）填寫下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
知識點二 一次函數與實際問題
知識講解
(2) 寫出購買量關于付款金額的函數解析式，并畫出函數圖象.
分析：從題目可知，種子的價格與 有關.
若購買種子量為 x＞2 時，種子價格 y 為：
.
若購買種子量為 0≤x≤2 時，種子價格 y 為： .
購買種子量
y = 5x
y = 5×0.8(x - 2) + 10 = 4x + 2
知識講解
解：設購買量為 x 千克，付款金額為 y 元.
當 x＞2 時，y = 5×0.8(x - 2) + 10 = 4x + 2.
當 0≤x≤2 時，y = 5x；
(2) 寫出購買量關于付款金額的函數解析式，并畫出函數圖象.
y =
5x (0≤x≤2)
4x + 2 (x > 2)
｛
知識講解
叫做分段函數.
注意：1.它是一個函數；
2.要寫明自變量取值范圍
y = 4x + 2 (x > 2)
y
x
O
1
2
10
3
14
y =
5x (0≤x≤2)
4x + 2 (x > 2)
｛
y = 5x (0≤x≤2)
知識講解
思考：你能由上面的函數解析式或函數圖象解決以下問題嗎？　
(1) 一次購買 1.5 kg 種子，需付款多少元？
(2) 30 元最多能購買多少種子？
(1) 5×1.5=7.5 （元）.
(2)（30-2）÷4=7（kg）.
解析：由函數圖象也能解決這些問題.
(1) 過 x 軸上表示數 1.5 的點作 x 軸的垂線與函數圖象交于一點，這點的縱坐標就是需付款的錢數.
(2) 過 y 軸上表示數 30 的點作 y 軸的垂線與函數圖象交于一點，這點的橫坐標就是需購買種子的重量.
知識講解
例1. 為節約用水，某市制定以下用水收費標準，每戶每月用水不超過 8 立方米，每立方米收取 1 元外加 0.3 元的污水處理費；超過時，超過部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元污水處理費，現設一戶每月用水 x 立方米，應繳水費 y 元.
（1）求出 y 關于 x 的函數解析式；
解：y 關于 x 的函數解析式為：
(1 + 0.3)x = 1.3x， (0≤x≤8)
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8 = 2.7x - 11.2. (x＞8)
y =
知識講解
記得加上不超過8 立方米的費用.
(2) 當 x = 10 時，y = 2.7×10 - 11.2 = 15.8.
(3) ∵ 1.3×8 = 10.4 < 26.6，
∴ 2.7x - 11.2 = 26.6，解得 x = 14.
答：應繳水費為 15.8 元.
答：該戶這月用水量為 14 立方米.
(2) 該市一戶某月若用水 x = 10 立方米時，求應繳水費；
(3) 該市一戶某月繳水費 26.6 元，求該戶這月用水量.
∴ 該用戶用水量超過 8 立方米.
知識講解
1.一次函數 y = kx + b (k ≠ 0) 的圖象如圖，則下列結論
正確的是 （ ）
A．k = 2　 B．k = 3　
C．b = 2　　D．b = 3
D
y
x
O
2
3
隨堂練習
2. 若一次函數的圖象經過點 A(2，0)，且與直線 y = -x + 3 平行，求其解析式.
解：設這個一次函數的解析式為 y = kx + b.
k = -1，
2k + b = 0，
｛
由題意得
k = -1，
b = 2.
｛
解得
∴ y = - x + 2.
隨堂練習
3. 已知一次函數的圖象過點 (0，2)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 2，
求此一次函數的解析式.
y
x
O
2
隨堂練習
解：設一次函數的解析式為 y = kx + b (k ≠ 0).
∵ 一次函數 y = kx + b 的圖象過點(0，2)， ∴ b = 2.
∵ 一次函數的圖象與 x 軸的交點是( - ，0)，
則 × 2×|- | =2 解得 k = 1 或 -1.
故此一次函數的解析式為 y = x + 2 或 y = - x + 2.
4. 小明將父母給的零用錢按每月相等的數額存在儲蓄盒內，準備捐給希望工程，盒內錢數 y (元)與存錢月數 x (月) 之間的關系如圖所示，根據下圖回答下列問題：
（1）求出 y 關于 x 的函數解析式.
（2）根據關系式計算，小明
經過幾個月才能存夠 200 元？
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
隨堂練習
解：(1) 設函數解析式為 y = kx＋b，
由圖可知圖象過(0，40)，(4，120)，
∴ 這個函數的解析式為 y = 20x + 40.
(2) 當 y = 200 時，20x + 40 = 200， 解得 x = 8.
∴小明經過 8 個月才能存夠 200 元.
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
隨堂練習
0×k+b = 40，
4k + b = 120，
∴｛
解得
｛
k = 20，
b = 40.
5.如圖，一次函數 y = kx + b 的圖象交 x 軸于點 A (2， 0)，交 y 軸于點 B (0，4)，
P 是線段 AB 上的一點(不與端點重合)，過點 P 作 PC⊥x 軸于點 C.
(1) 求直線 AB 的函數解析式.
(2) 設點 P 的橫坐標為 m，若 PC＜3，
求 m 的取值范圍.
隨堂練習
解：(1) 將 A (2，0)，B (0，4)代入 y = kx + b，得
則直線 AB 的解析式為：y = - 2x + 4.
(2) 當 PC = 3 時，- 2m + 4 = 3，
解得 m =
故 m 的取值范圍為：＜m＜2
解得
2k+b = 5，
b = 4，
｛
｛
k = -2，
b = 4.
隨堂練習
一次函數的
應用
待定系數法
一次函數與實際問題
設：y = kx + b (k ≠ 0)
列：代入兩點組成二元一次方程組
解：得k，b
還原：代入k，b的值
課后小結
謝謝觀看
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