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人教版
數學 八年級
下
第十九章 一次函數
19.2.3 一次函數與方程、不等式
學習目標
1.理解一次函數與方程、不等式的關系.（重點）
2.根據一次函數的圖象解決一元一次方程、不等式、二元一次方程組的求解問題.（難點）
今天數學王國搞了個家庭聚會，各個成員按照自己所在的集合就坐，這時來了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函數
到我這里來
到我這里來
x + y = 5
情境導入
x + y = 5 應該坐在哪里呢？
知識點一 一次函數與一元一次方程
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
從函數值看：
解這 3 個方程 一次函數 y = 2x + 1，
當 y 分別為 3，0，-1 時，求自變量 x 的值.
下面三個方程有什么共同特點？你能從函數的角度對解這三個方程進行解釋嗎？
知識講解
(1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
2x +1 = 3 的解
y = 2x + 1
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
從函數圖象看：
在直線 y = 2x + 1上，取縱坐標分別為 3，0，-1 的點，看它們的橫坐標分別為多少
知識講解
y = ax + b
c
x
知識講解
你能把得到的結論推廣到一般情況嗎？
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、 b、c為常數，a ≠ 0)的解就是當函數__________的函數值為_____時的自變量_____的值.
如：求 4x + 5 = 9 的解 求一次函數 y = 4x + 5 的函數值為 9 時，自變量的值.
知識點一 一次函數與一元一次方程
我們知道任何一元一次方程都可以轉化 kx + b = 0 的形式，你能用函數的觀點解釋這個方程嗎
從“函數值”看
從“函數圖象”看
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
一次函數 y = kx+b
中，y = 0時 x 的值
求直線 y = kx+b
與 x 軸交點的橫
坐標
知識講解
例1. 直線 y＝2x + 20 與 x 軸交點坐標為( ， )，這說明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
-10
0
-10
例2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，則直線 y＝kx＋2 與 x 軸交點坐標為(____，_____).
5
0
知識講解
例3.一個物體現在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米，再過幾秒它的速度為 17 米/秒？(從方程、函數解析式及圖象三個不同方面進行解答)
解：設再過 x 秒它的速度為 17 米/秒，
由題意得 2x + 5 = 17，
解得 x = 6.
答：再過 6 秒它的速度為 17 米/秒.
方程：
知識講解
解：速度 y (單位：米/秒)是時間 x (單位：秒)的函數，
y = 2x + 5.
由 2x + 5 = 17 得 2x－12 = 0.
由右圖看出直線 y = 2x－12與 x 軸的交點為 (6，0)， 得 x = 6.
O
x
y
6
-12
y = 2x-12
函數解析式：
知識講解
解：速度 y (單位：米/秒)是時間 x (單位：秒)
的函數，y = 2x + 5
由右圖可以看出當 y = 17 時，x = 6.
y = 2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
圖象：
知識講解
　 (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
知識點二 一次函數與一元一次不等式
下面三個不等式有什么共同特點？
你能從函數的角度對解這三個不等式進行解釋嗎？ 能把你得到的結論推廣到
一般情形嗎？
從函數值的角度看：
解這 3 個不等式 在一次函數 y = 3x + 2的函數值分別大于2、小于0、小于-1時，求自變量 x 的取值范圍.
知識講解
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y = 3x + 2
y = 2
y = 0
y = -1
從函數圖象的角度看：
解這 3 個不等式 在直線y = 3x + 2
上取縱坐標分別滿足大于 2、小于 0、
小于 -1的點，看它們的橫坐標分別滿足什么條件.
知識講解
從“函數值”看
從“函數圖象”看
求 kx+b＞0(或<0)
(k ≠ 0)的解集
確定直線y = kx + b在 x 軸上方(或下
方)的圖象所對應的x 取值范圍
y = kx + b 的值
大于(或小于) 0
時，x 的取值范圍
一次函數與一元一次不等式的關系
知識講解
例1.畫出函數 y = -3x + 6 的圖象，結合圖象求：
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 當 x 取何值時，y < 3
解：作出函數 y = - 3x + 6 的圖象，如圖所示，圖象與 x 軸交于點 B (2，0).
x
O
B(2，0)
A(0，6)
y
知識講解
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 當 x 取何值時，y < 3
解：(1) 由圖象可知，不等式
-3x + 6 > 0 的解集是圖象位于 x 軸上方的 x 的取值范圍，即 x < 2；不等式 -3x + 6 < 0 的解集是圖象位于 x 軸下方的 x 的取值范圍，即 x > 2.
x
O
B(2，0)
A(0，6)
3
1
(1，3)
y
(2) 由圖象可知，當 x > 1 時，y < 3.
知識講解
1號探測氣球從海拔 5 m 處出發，以 1 m/min 的速度上升．與此同時，2 號探測氣球從海拔 15 m 處出發，以 0.5 m/min 的速度上升．兩個氣球都上升了 1 h．
(1) 請用解析式分別表示兩個氣球所在位置的海拔 y (m)
與氣球上升時間 x (min) 的函數關系．
h1
h2
氣球1 海拔高度：y = x + 5；
氣球2 海拔高度：y = 0.5x + 15．
知識點三 一次函數與二元一次方程組
知識講解
思考1：一次函數與二元一次方程有什么關系？
一次函數
二元一次方程
一次函數
y = 0.5x + 15
二元一次方程
y - 0.5x = 15
二元一次方程
y = 0.5x + 15
用方程觀點看
用函數觀點看
　　從式子（數）角度看：
知識講解
在同一坐標內，(1) 畫出 y = 0.5x + 15 的圖象；(2) 畫出以方程 y - 0.5x = 15 的 5 個解為坐標的點.
你有什么發現？
方程 y - 0.5x = 15 的解：
① x = -2，y = 14 → (-2，14)
② x = 0，y = 15 → (0，15)
③ x = 2，y = 16 → (2，16)
④ x = 4，y = 17 → (4，17)
⑤ x = 6，y = 18 → (6，18)
思考2：從形的角度看，一次函數與二元一次方程有什么關系？
知識講解
以方程 y - 0.5x = 15 的解為坐標的點都在一次函數 y = 0.5x + 15 的圖象上，函數 y = 0.5x + 15 圖象上的點的坐標都是二元一次方程 y - 0.5x = 15 的解.
在同一坐標內，(1) 畫出 y = 0.5x + 15 的圖象；(2) 畫出以方程 y - 0.5x = 15 的 5 個解為坐標的點. 你有什么發現？
知識講解
從數的角度看：
就是求自變量為何值時，兩個一次函數 y = x + 5， y = 0.5x + 15 的函數值相等，并求出函數值．
解方程組
y = x + 5
y = 0.5x + 15
h1
h2
(2) 什么時刻，1 號氣球的高度趕上 2 號氣球的高度？這時的高度是多少？
請從數和形兩方面分別加以研究.
氣球1 海拔高度：y = x + 5
氣球2 海拔高度：y = 0.5x + 15
知識講解
A(20，25)
25
20
15
10
5
10
20
y = x + 5
y = 0.5x + 15
15
5
O
x
y
從形的角度看，二元一次方程組與一次函數有什么關系？
二元一次方程組的解就是相應的 兩個一次函數圖象 的交點坐標．
知識講解
方程組的解 對應兩條直線交點的坐標.
知識講解
知識點三 一次函數與二元一次方程組
一般地，任何一個二元一次方程都可以轉化為一次函數 y = kx + b (k、b 為常數，且k ≠ 0) 的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，也對應一條直線．
觀察函數圖象，直接回答下列問題：
（1）在什么時候，1 號氣球比 2 號氣球高？
（2）在什么時候，2 號氣球比 1 號氣球高？
氣球1 海拔高度：y = x + 5
氣球2 海拔高度：y = 0.5x + 15
（1）20 min 后，1 號氣球比 2 號氣球高.
（2）0 ~ 20 min 時，2 號氣球比 1 號氣球高.
知識講解
例1.如圖，求直線 l1 與 l2 的交點坐標.
分析：由函數圖象可以求直線 l1 與 l2 的解析式，進而通過方程組求出交點坐標.
知識講解
解方程組
y = 2x + 2，
y = - x + 3，
解：因為直線 l1過點 (-1，0)，(0，2) ，
用待定系數法可求得直線 l1 的解析式為 y = 2x + 2.
同理可求得直線 l2 的解析式為 y = - x + 3.
即直線 l1 與 l2 的交點坐標為（，）
知識講解
x =，
y = ，
得
1．一次函數 y = kx + 3 的圖象如圖所示，
則方程 kx + 3 = 0 的解為 .
3
y=kx+3
O
y
x
3
x = -3
2．若方程組 的解為 則一次函數 y = 2x + 1 與 y = 3x - 1 的圖象交點坐標為______.
(2，5)
隨堂練習
2x-y = -1，
3x-y = 1，
x= 2，
y = 5，
3. 如圖，已知直線 y = kx + b 與 x 軸交于點(-4，0)，則當 y > 0 時，x 的取值范圍
是( )
A. x > -4
B. x > 0
C. x < -4
D. x < 0
C
O
x
y
－4
y = kx + b
隨堂練習
4.一次函數 y1= 4x + 5 與 y2 = 3x + 10 的圖象如圖所示，則 4x + 5 > 3x + 10 的 解集是（ ）
A. x < 5
B. x > 5
C. x > -5
D. x > 25
B
O
x
y
5
y = 4x + 5
y = 3x + 10
25
隨堂練習
5.已知直線 x - 2y = - k + 6 和直線 x + 3y = 4k + 1，若它們的交點在第四象限.
(1) 求 k 的取值范圍；
(2) 若 k 為非負整數，求出函數 x - 2y = - k + 6 所有解析式.
解：(1) 由題意得：
解得
∴兩直線的交點坐標為 (k + 4，k - 1)，
隨堂練習
又∵交點在第四象限，
解得 -4＜k＜1.
(2) 由于 k 為非負整數且 -4＜k＜1，∴k = 0，
此函數的解析式為：x - 2y = 6，也就是 y = x - 3 .
隨堂練習
一次函數與方程、不等式
一次函數與一元一次方程
一次函數與一元一次不等式
解一元一次方程對應一次函數的值為 0 時，求相應的自變量的值
一次函數與x軸交點的橫坐標
解二元一次方程組
解一元一次不等式對應一次函數的函數值大(小)于 0 時，求自變量的取值范圍
求對應兩條直線交點的坐標
課后小結
謝謝觀看
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