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人教版
數(shù)學(xué) 八年級(jí)
下
第十九章 一次函數(shù)
19.2.1正比例函數(shù)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握正比例函數(shù)的概念并會(huì)判斷.（重點(diǎn)）
2.根據(jù)正比例函數(shù)的概念求字母的取值.（難點(diǎn)）
3.學(xué)會(huì)畫正比例函數(shù)圖象，并通過(guò)圖象掌握正比例函數(shù)的性質(zhì).（重點(diǎn)）
4.能夠利用正比例函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）
情境導(dǎo)入
如果設(shè)蛤蟆的數(shù)量為 x，y 分別表示蛤蟆嘴的數(shù)量，眼睛的數(shù)量，腿的數(shù)量，撲通聲，你能列出相應(yīng)的函數(shù)解析式嗎？
一個(gè)蛤蟆一張嘴，
兩只眼睛四條腿，
撲通一聲跳下水。
兩個(gè)蛤蟆兩張嘴，
四只眼睛八條腿，
撲通、撲通跳下水。
是
知識(shí)點(diǎn)一 正比例函數(shù)的概念
下列問(wèn)題中，變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是，請(qǐng)寫出函數(shù)解析式：
(1) 圓的周長(zhǎng) l 隨半徑 r 的變化而變化．( )
解：函數(shù)解析式為：l = 2πr
(2) 鐵的密度為 7.9 g/cm3，鐵塊的質(zhì)量 m (單位：g) 隨它的體積 V (單位：cm3)
的變化而變化．( )
解：函數(shù)解析式為：m = 7.9V
是
知識(shí)講解
(3)每個(gè)練習(xí)本的厚度為 0.5 cm，一些練習(xí)本摞在一起的總厚度 h(單位：cm)
隨練習(xí)本的本數(shù) n 的變化而變化．( )
(4) 冷凍一個(gè) 0 ℃ 的物體，使它每分鐘下降 2℃，物體溫度 T(單位：℃) 隨
冷凍時(shí)間 t (單位：min)的變化而變化．( )
解：函數(shù)解析式為：h = 0.5n.
解：函數(shù)解析式為： T = -2t.
是
是
知識(shí)講解
認(rèn)真觀察以上出現(xiàn)的四個(gè)函數(shù)解析式，分別說(shuō)出哪些是函數(shù)、常量和自變量．
函數(shù)解析式 函數(shù) 常量 自變量
l = 2πr
m = 7.9V
h = 0.5n
T = -2t
2，π
r
l
7.9
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函數(shù)＝常數(shù) × 自變量
y
k
x
＝
這些函數(shù)解析式都是常數(shù)與自變量的乘積的形式！
知識(shí)講解
正比例函數(shù)的一般形式
y = kx (k 是常數(shù)，k ≠ 0)
比例系數(shù)
自變量
注意k ≠ 0
一般地，形如 y = kx ( k 是常數(shù)，k ≠ 0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，
其中 k 叫做比例系數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)一 正比例函數(shù)的概念
知識(shí)講解
1. 這個(gè)函數(shù)解析式在形式上具有怎樣的結(jié)構(gòu)特征呢？
2. 正比例函數(shù) y = kx 的自變量 x 的取值范圍是什么
等號(hào)右邊是一次單項(xiàng)式，一次項(xiàng)系數(shù)不為 0，次數(shù)為 1.
自變量 x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，
注意實(shí)際問(wèn)題：要符合實(shí)際情境.
知識(shí)講解
思考：
例1. 判斷下列函數(shù)解析式是否是正比例函數(shù)？如果是，指出其比例系數(shù)是多少？
是，3
不是
是，π
不是
是，-
是，-
知識(shí)講解
例2.已知函數(shù) y = (m - 1) 是正比例函數(shù)，求 m 的值.
函數(shù)是正比例函數(shù)
一次項(xiàng)系數(shù)不為 0
次數(shù)為 1
k = (m - 1) ≠ 0
m2 = 1
m ≠ 1，
m =±1，
∴ m = -1.
∴ m - 1 ≠ 0，
m2 = 1，
即
解：∵函數(shù) y = (m - 1) 是正比例函數(shù)，
知識(shí)講解
根據(jù)下表寫出 y 與 x 之間的函數(shù)解析式：
知識(shí)點(diǎn)二 求正比例函數(shù)的解析式
x -1 0 1 2
y 2 0 -2 -4
y 與 x 之間的函數(shù)解析式為__________，由此斷定 y 是 x 的 __________函數(shù).
正比例
y = -2x
知識(shí)講解
例1.已知 y - 3 與 x 成正比例，并且 x = 4 時(shí)，y = 7，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.
解：依題意，設(shè) y - 3 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為
y - 3 = kx，
∵ x = 4 時(shí)，y = 7，∴ 7 - 3 = 4k，解得 k = 1.
∴ y - 3 = x，即 y = x + 3.
知識(shí)講解
例1 畫出下列正比例函數(shù)的圖象：
（1）y = 2x，y=x （2）y = -1.5x，y = -4x.
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：（1）函數(shù) y = 2x 中自變量 x 可為任意實(shí)數(shù).
①列表如下：
知識(shí)點(diǎn)三 正比例函數(shù)的圖象
描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的三個(gè)步驟是：列表、描點(diǎn)、連線.
知識(shí)講解
y = 2x
畫出上面表格中各對(duì)數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).
觀察發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)圖象都是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的 ．而且都經(jīng)過(guò)第 象限；
一、三
直線
②描點(diǎn)
③連線
同樣可以畫出函數(shù)y=x 的圖像
y=x
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)三 正比例函數(shù)的圖象
解：(2) 函數(shù) y = -1.5x，y = -4x 的圖象如下：
y = -4x
發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)函數(shù)圖象都是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和
第 象限的直線.
二、四
知識(shí)講解
y = -1.5x
y = kx (k 是常數(shù)，k ≠ 0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線
y = kx(k ≠ 0) 經(jīng)過(guò)的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
另外：函數(shù) y = kx 的圖象我們也稱作直線 y = kx
知識(shí)講解
兩點(diǎn)
作圖法
用你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的方法畫出下列函數(shù)的圖象：
(1) y = -3x； (2)y=x
由于兩點(diǎn)確定一條直線，畫正比例函數(shù)圖象時(shí)我們只需描點(diǎn) (0，0) 和點(diǎn) (1，k)，連線即可.
思考：經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn) (1，k) (k 是常數(shù)，k ≠0)的直線是哪個(gè)函數(shù)的圖象 畫正比例函數(shù)的圖象時(shí)，怎樣畫最簡(jiǎn)單 為什么
知識(shí)講解
O
x 0 1
y = -3x
y=x
0
-3
0
y = -3x
函數(shù) y = -3x， y=x 的圖象如下：
解：列表如下：
y=x
知識(shí)講解
(1) 若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則 k 的取值范圍是________.
例題1.已知正比例函數(shù) y = (k + 1)x.
k＞-1
（2）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2，4)，則 k_____.
解析：將坐標(biāo) (2，4) 帶入函數(shù)解析式中，得4 = (k + 1)·2，解得 k = 1.
知識(shí)講解
= 1
解析：因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，所以k + 1 > 0，解得 k > -1.
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：
直線 y = x，y = 3x 向右逐漸上升，
即 y 的值隨 x 的增大而增大；
直線 y = - x，y = -4x 向右逐漸下降，
即 y 的值隨 x 的增大而減小.
知識(shí)點(diǎn)四 正比例函數(shù)的性質(zhì)
知識(shí)講解
在正比例函數(shù) y = kx 中：
當(dāng) k > 0時(shí)，y 的值隨著 x 值的增大而增大；
當(dāng) k < 0 時(shí)，y 的值隨著 x 值的增大而減小.
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)四 正比例函數(shù)的性質(zhì)
1.已知正比例函數(shù) y = 2x 的圖象上有兩點(diǎn)（3，y1），（5，y2），則 y1 y2.
<
2.已知正比例函數(shù) y = kx (k < 0) 的圖象上有兩點(diǎn)（-3，y1），
（1，y2），則 y1 y2.
>
知識(shí)講解
例題：
3.已知正比例函數(shù) y = mx 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，4），且 y 的值隨著 x 值的增大而減小，求 m 的值.
解：∵ 正比例函數(shù) y = mx 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，4），
∴ 4 = m · m，解得 m = ±2.
又∵ y 的值隨著 x 值的增大而減小，
∴ m < 0，故 m = －2.
知識(shí)講解
（1）正比例函數(shù) y = x 和 y = 3x 中，隨著 x 值的增大 y 的值都增加了，
其中哪一個(gè)增加得更快？你能說(shuō)明其中的道理嗎？
（2）正比例函數(shù) y = - x 和y = -4x 中，隨著 x 值的增大 y 的值都減小了，其中哪一個(gè)減小得更快？你是如何判斷的？
| k | 越大，直線越陡，直線越靠近 y 軸.
思考
知識(shí)講解
1.下列函數(shù)關(guān)系中，屬于正比例函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A. 圓的面積 S 與它的半徑 r
B. 行駛速度不變時(shí)，行駛路程 s 與時(shí)間 t
C. 正方形的面積 S 與邊長(zhǎng) a
D. 工作總量（看作“1” ）一定，工作效率 w 與工作時(shí)間 t
B
隨堂練習(xí)
3.已知正比例函數(shù) y = (2m + 4)x.
（1）當(dāng) m 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；
（2）當(dāng) m 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小；
（3）當(dāng) m 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，10）.
＞-2
＜ -2
= 0.5
B
2.下列圖象哪個(gè)可能是函數(shù) y = -x 的圖象（ ）
D
C
B
A
隨堂練習(xí)
2m+4＞0
2m+4＜0
4m+8=10
4.已知某種小汽車的耗油量是每 100 km 耗油 15 L.所使用的汽油為 5 元/ L.
(1)寫出汽車行駛途中所耗油費(fèi) y (元) 與行程 x (km) 之間的函數(shù)關(guān)系式，
并指出 y 是 x 的什么函數(shù)；
(2)計(jì)算該汽車行駛 220 km 所需油費(fèi)是多少？
答：該汽車行駛 220 km 所需油費(fèi)是 165 元．
y 是 x 的正比例函數(shù).
解：(1) y = 5×15x÷100，即y= x （x≥0）
(2) 當(dāng) x = 220 時(shí)，y= ×220=165
隨堂練習(xí)
正比例函數(shù)
正比例函數(shù)的概念
正比例函數(shù)的圖象
y = kx ( k 是常數(shù)，k ≠ 0)
求正比例函數(shù)的解析式
正比例函數(shù)的性質(zhì)
k＞0，y隨x的增大而增大；
k＜0，y隨x的增大而減小
課后小結(jié)
k＞0 經(jīng)過(guò)一、三象限
k＜0 經(jīng)過(guò)二、四象限
謝謝觀看
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