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人教版
數(shù)學(xué) 八年級(jí)
下
第十九章 一次函數(shù)
19.1.1變量與函數(shù)
1.了解變量與常量的意義.（重點(diǎn)）
2.在實(shí)際問(wèn)題中，會(huì)區(qū)分常量與變量，能夠建立變量之間的關(guān)系式.（難點(diǎn)）
3.能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題寫出函數(shù)解析式，并確定自變量的.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.在以上這個(gè)過(guò)程中，變化的量是_______
_________．不變化的量是_____________．
2.試用含t的式子表示s．s=_______．
時(shí)間t、
速度60千米/時(shí)
60 t
這個(gè)問(wèn)題反映了勻速行駛的汽車所行駛的路程____隨行駛時(shí)間___的變化過(guò)程.
路程s
s
t
情境導(dǎo)入
汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程
為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)，填下面的表:
請(qǐng)說(shuō)明你的道理：
60
120
180
240
300
問(wèn)題一
速度×?xí)r間
路程 =____________
知識(shí)點(diǎn)一 常量與變量
知識(shí)講解
問(wèn)題二
每張電影票的售價(jià)為10元，如果早場(chǎng)售出票150張，日?qǐng)鍪鄢?05張，晚場(chǎng)售出310張，三場(chǎng)電影票的票房收入各多少元？若設(shè)一場(chǎng)電影售出票x 張，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示y ？
1.早場(chǎng)票房收入 =
日?qǐng)銎狈渴杖?=
晚場(chǎng)票房收入 =
請(qǐng)說(shuō)明道理：
票房收入 =
10×205 =2050（元）
10×150 =1500（元）
10×310 =3100（元）
售價(jià)×售票張數(shù)
知識(shí)講解
10x
2．在以上這個(gè)過(guò)程中，變化的量是________________________．不變化的量是_________．
3．試用含x的式子表示y，y=_________
售票張數(shù)x、票房收入y
售價(jià)10元
y
x
這個(gè)問(wèn)題反映了票房收入____隨售票張數(shù)_____的變化過(guò)程．
知識(shí)講解
S=πR 2
圓面積S與圓的半徑R之間的
關(guān)系式是 ；
其中變化的量是—————；
不變化的量是————————.
π
S，R
如圖所示，圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大，在這一過(guò)程中，當(dāng)圓的半徑R分別為10cm，20cm，30cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？怎樣用半徑r來(lái)表示面積S
問(wèn)題三
圓的面積S
半徑R
這個(gè)問(wèn)題反映了 _________
隨________的變化過(guò)程．
知識(shí)講解
數(shù)值發(fā)生
變化的量
變量
數(shù)值始終
不變的量
常量
　　上述運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)量，你認(rèn)為可以怎樣分類？
思考?xì)w納
知識(shí)講解
S = 60t
y = 10x
變量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.
常量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量為常量.
請(qǐng)指出上面各個(gè)變化過(guò)程中的常量、變量.
y=5–x
S=πr2
在同一個(gè)變化過(guò)程中，理解變量與常量的關(guān)鍵詞：發(fā)生了變化和始終不變.
知識(shí)要點(diǎn)
知識(shí)講解
例1 閱讀并完成下面一段敘述：
⒈某人持續(xù)以a米／分的速度用t分鐘時(shí)間跑了s米，其中常量是 ,變量是 .
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的時(shí)間為t分，其中常量 ,變量是 .
3.根據(jù)上面的敘述，寫出一句關(guān)于常量與變量的論： 　　　　　　　　　　　
在不同的條件下，常量與變量是相對(duì)的.
a
t，s
s
a，t
區(qū)分常量與變量，就是看在某個(gè)變化過(guò)程中，該量的值是否可以改變，即是否可以取不同的值.
知識(shí)講解
例1 彈簧的長(zhǎng)度與所掛重物有關(guān)．如果彈簧原長(zhǎng)為10cm，每1kg重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm，試填下表：
重物的質(zhì)量(kg) 1 2 3 4 5
彈簧長(zhǎng)度(cm)
10.5
11
11.5
12
12.5
知識(shí)點(diǎn)二 確定兩個(gè)變量之間的關(guān)系
知識(shí)講解
怎樣用含重物質(zhì)量m(kg)的式子表示受力后的彈簧長(zhǎng)度L(cm)
解：由題意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
知識(shí)講解
想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時(shí)間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？
情景一
知識(shí)點(diǎn)三 函數(shù)的相關(guān)概念
知識(shí)講解
下圖反映了摩天輪上的一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t(min)之間的關(guān)系.
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
(1)根據(jù)左圖填表：
(2)對(duì)于給定的時(shí)間t ，相應(yīng)的高度h能確定嗎？
10
37
45
37
3
10
知識(shí)講解
瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體，常常如下圖那樣堆放.隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)是如何變化的？
填寫下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
層數(shù)n
物體總數(shù)y
情景二
一定質(zhì)量的氣體在體積不變時(shí)，假若溫度降低到-273℃，則氣體的壓強(qiáng)為零.因此，物理學(xué)把-273℃作為熱力學(xué)溫度的零度.熱力學(xué)溫度T(K)與攝氏溫度t(℃)之間有如下數(shù)量關(guān)系：T=t+273，T≥0.
(1)當(dāng)t分別等于-43，-27，0，18時(shí)，相應(yīng)的熱力學(xué)溫度T是多少？
230K、246K 、273K、291K
解：當(dāng)t=-43時(shí)，
T=-43+273
=230（K）
情景三
知識(shí)講解
思考：上面的三個(gè)問(wèn)題中，各變量之間有什么共同特點(diǎn)？
①時(shí)間t 、相應(yīng)的高度h ；
②層數(shù)n、物體總數(shù)y；
③攝氏溫度t 、熱力學(xué)溫度T.
共同特點(diǎn)：都有兩個(gè)變量，給定其中某一個(gè)變量的值，相應(yīng)地就確定了另一個(gè)變量的值.
知識(shí)講解
　　
一般地，在某個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).
如果當(dāng)x=a時(shí)y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.
知識(shí)要點(diǎn)
知識(shí)講解
函數(shù)一語(yǔ)，起用于公元1692 年，最早見自德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作. 他是德國(guó)最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人.他博覽群書，涉獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn).
知識(shí)拓展
知識(shí)講解
例1 下列關(guān)于變量x ，y 的關(guān)系式： y =2x+3； y =x2+3； y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函數(shù)關(guān)系的是 ．

判斷一個(gè)變量是否是另一個(gè)變量的函數(shù)，關(guān)鍵是看當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量是否有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).
一個(gè)x值有兩個(gè)y 值與它對(duì)應(yīng)
知識(shí)講解
例2 已知函數(shù).
(1)求當(dāng)x=2，3，-3時(shí)，函數(shù)的值；
(2)求當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)的值為0.
解:(1)當(dāng)x=2時(shí),.
當(dāng)x=3時(shí)，.
當(dāng)x=-3時(shí)，y=7.
(2)令,解得x=,
即當(dāng)x=時(shí)，y=0.
把自變量x的值帶入關(guān)系式中，即可求出函數(shù)的值.
知識(shí)講解
問(wèn)題：請(qǐng)用含自變量的式子表示下列問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系：
（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛的時(shí)間為t（單位：h），行駛的路程為s（單位：km）；
（2）多邊形的邊數(shù)為n，內(nèi)角和的度數(shù)為y．
問(wèn)題（1）中，t取-2有實(shí)際意義嗎？
問(wèn)題（2）中，n取2有意義嗎？
知識(shí)點(diǎn)四 確定自變量的取值范圍
知識(shí)講解
　　根據(jù)剛才問(wèn)題的思考，你認(rèn)為函數(shù)的自變量可以取任意值嗎？
　　在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的自變量取值范圍往往是有限制的，在限制的范圍內(nèi)，函數(shù)才有實(shí)際意義；超出這個(gè)范圍，函數(shù)沒(méi)有實(shí)際意義，我們把這種自變量可以取的數(shù)值范圍叫函數(shù)的自變量取值范圍．
知識(shí)講解
例1 汽車的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.
（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子.
解:(1) 函數(shù)關(guān)系式為: y = 50－0.1x
0.1x表示的意義是什么？
叫做函數(shù)的解析式
知識(shí)講解
（2）指出自變量x的取值范圍；
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得0 ≤ x ≤ 500
∴自變量的取值范圍是
0 ≤ x ≤ 500
確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮使函數(shù)解析式有意義，而且還要注意各變量所代表的實(shí)際意義.
汽車行駛里程，油箱中的油量均不能為負(fù)數(shù)！
知識(shí)講解
（3）汽車行駛200km時(shí)，油箱中還有多少油？
(3)當(dāng)x=200時(shí),函數(shù)y的值為y=50－0.1×200=30.
因此,當(dāng)汽車行駛200km時(shí),油箱中還有油30L.
知識(shí)講解
1.若球體體積為V，半徑為R，則其中變量是 、 ，常量是 .
V
R
2.計(jì)劃購(gòu)買50元的乒乓球，所能購(gòu)買的總數(shù)n(個(gè))
與單價(jià)a（元）的關(guān)系式是 ，其中變量是 ，常量是 .
a ，n
50
隨堂練習(xí)
3.下列說(shuō)法中，不正確的是（ ）
A.函數(shù)不是數(shù)，而是一種關(guān)系
B.多邊形的內(nèi)角和是邊數(shù)的函數(shù)
C.一天中時(shí)間是溫度的函數(shù)
D.一天中溫度是時(shí)間的函數(shù)
4.下列各表達(dá)式不是表示y是x的函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
C
C
5.瓶子或罐頭盒等物體常如下圖所示堆放，試確定瓶子總數(shù)y與層數(shù)x之間的關(guān)系式.
1 2 3 … n
y …
1
1+2
1+2+3
1+2+3+ …+n
完成上表，并寫出瓶子總數(shù)y與層數(shù)x之間的關(guān)系式
x
隨堂練習(xí)
6.我市白天乘坐出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：乘坐里程不超過(guò)3公里，一律收費(fèi)8元；超過(guò)3公里時(shí)，超過(guò)3公里的部分，每公里加收1.8元；設(shè)乘坐出租車的里程為x（公里）（x為整數(shù)），相對(duì)應(yīng)的收費(fèi)為y（元）.
（1）請(qǐng)分別寫出當(dāng)0＜x≤3和x＞3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)x=2和x=6時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；
解：（1）當(dāng)0＜x≤3時(shí)，y=8；
當(dāng)x＞3時(shí)，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
當(dāng)x=2時(shí)，y=8；x=6時(shí)，y=1.8×6＋2.6=13.4.
隨堂練習(xí)
（2）當(dāng)0＜x≤3和x＞3時(shí)，y都是x的函數(shù)嗎？為什么？
解：當(dāng)0＜x≤3和x＞3時(shí)，y都是x的函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).
隨堂練習(xí)
變量與函數(shù)
概念：函數(shù)在某個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么x是自變量，y是x的函數(shù)
函數(shù)
自變量的取值范圍
1.使函數(shù)解析式有意義
2.符合實(shí)際意義
變量與常量
常量：數(shù)值始終不變的量
變量：數(shù)值發(fā)生變化的量
課后小結(jié)
謝謝觀看
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