資源簡介

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人教版
數學 八年級
下
第十八章 平行四邊形
18.2.3正方形
1.理解正方形的概念.
2.探索并證明正方形的性質，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區別.(重點)
3.會應用正方形的性質解決相關證明及計算問題.（難點）
學習目標
觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
你還能舉出其他的例子嗎？
情境導入
矩 形
〃
〃
問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢 你有什么發現？
知識點一 正方形的定義及性質
正方形
知識講解
問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢 你有什么發現？
正方形
知識講解
鄰邊相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一個角是直角
正方形
∟
正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.
知識講解
思考 請同學們拿出準備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考. 正方形是不是軸對稱圖形 如果是,那么對稱軸有幾條
對稱性： .
對稱軸： .
軸對稱圖形
4條
A
B
C
D
知識講解
矩形
菱形
正
方
形
平行四邊形
正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系：
性質：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.
2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.
知識講解
例1 已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.
求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.
A
B
C
D
證明：∵四邊形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定義）.
又∵正方形是平行四邊形.
∴正方形是矩形（矩形的定義）,
正方形是菱形(菱形的定義).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
知識講解
例2 已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO, AC⊥BD.
A
B
C
D
O
證明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
知識講解
A
D
C
B
O
例3 求證: 正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.
求證: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
證明: ∵ 四邊形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
知識講解
例4 如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形求證： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
證明：∵ΔBEC是等邊三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°75°=15°.
知識講解
活動1 準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
正方形
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一組鄰邊相等
對角線互相垂直
知識點二 正方形的判定
知識講解
活動2 把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
正方形
一個角是直角
對角線相等
知識講解
已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
請證明 對角線互相垂直的矩形是正方形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴AD=AB=BC=CD,
∴四邊形ABCD是正方形.
知識講解
已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
請證明 對角線相等的菱形是正方形.
證明：∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,
∴AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四邊形ABCD是正方形.
知識講解
正方形判定的幾條途徑：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形條件(二選一)
菱形條件(二選一)
一個直角，
一組鄰邊相等，
對角線相等
對角線垂直
平行四邊形
正方形
一組鄰邊相等
一內角是直角
知識講解
例1 在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎 為什么
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.
知識講解
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四邊形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
知識講解
證明：∵DE⊥AC，DF⊥CB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °
∴四邊形EDFC是矩形.
過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，
∴四邊形EDFC是正方形.
例2 如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥CB.求證:四邊形CEDF為正方形.
A
B
C
D
E
F
G
知識講解
例3 如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
證明：∵四邊形ABCD為正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可證：OE=OF=OG,
知識講解
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四邊形EFGH為菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四邊形EFGH為正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
知識講解
1.下列命題正確的是（ ）
A.四個角都相等的四邊形是正方形
B.四條邊都相等的四邊形是正方形
C.對角線相等的平行四邊形是正方形
D.對角線互相垂直的矩形是正方形
D
隨堂練習
2.在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
A
D
B
C
O
45°
45°
90°
隨堂練習
3.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數是 .
A
D
B
C
O
E
22.5°
隨堂練習
4.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．
解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°,
AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.在Rt△ABC中，cm
∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm．
隨堂練習
5. 如圖，在正方形ABCD內有一點P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB△DPC；
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB△DPC．
隨堂練習
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等邊三角形．
∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求證：∠BAP=2∠PAC．
隨堂練習
1.四個角都是直角
2.四條邊都相等
3.對角線相等且互相垂直平分
正方形的性質
性質
定義
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形
判定
1.對角線互相垂直的矩形是正方形
2.對角線相等的菱形是正方形
課后小結
謝謝觀看
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