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人教版
數(shù)學(xué) 八年級(jí)
下
第十八章 平行四邊形
18.2.2.第1課時(shí)菱形的性質(zhì)
1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.
2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點(diǎn)）
3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.（難點(diǎn)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？
情境導(dǎo)入
平行
四邊形
矩形
前面我們學(xué)行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),就成為了矩形.
有一個(gè)角是直角
知識(shí)點(diǎn)一 菱形的性質(zhì)
知識(shí)講解
思考 如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢
平行四邊形
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.
菱形
鄰邊相等
菱形是特殊的平行四邊形.
平行四邊形不一定是菱形.
知識(shí)講解
活動(dòng)1 如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？
活動(dòng)2 在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:
知識(shí)講解
猜想1 菱形的四條邊都相等.
猜想2 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
問題1 菱形是軸對(duì)稱圖形嗎 如果是,指出它的對(duì)稱軸.
問題2 根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上
知識(shí)講解
是，兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.
有什么關(guān)系 菱形的兩條對(duì)角線有什么關(guān)系
菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).
對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形.
邊：四條邊都相等.
對(duì)角線：互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
角：對(duì)角相等.
邊：對(duì)邊平行且相等.
對(duì)角線：相互平分.
菱形的特殊性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)
知識(shí)講解
例1 已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.
求證:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）.
又∵AB=AD,∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
知識(shí)講解
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB = OD （平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.
在等腰三角形ABD中,∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可證∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
知識(shí)講解
例2 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
(cm)
∴菱形的周長＝4AB＝4×3＝12(cm)．
知識(shí)講解
例3 如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：AE＝AF.
證明：連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC， ∴△ACE△ACF.∴AE＝AF.
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)二 菱形的面積
問題1 菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形的面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積呢
A
B
C
D
思考 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直,那么能否利用對(duì)角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢
能.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,
則S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
知識(shí)講解
問題2 如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.
A
B
C
D
O
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面積 = 底×高 = 對(duì)角線乘積的一半
知識(shí)講解
菱形的面積計(jì)算有如下方法：
(1)一邊長與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；
(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；
(3)兩條對(duì)角線長度乘積的一半．
知識(shí)講解
例1 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形兩組對(duì)邊的距離相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.
知識(shí)講解
例2 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長是8cm．求：
（1）兩條對(duì)角線的長度；（2）菱形的面積．
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，∴∠ABC= ×180°=60°，∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形ABCD的周長是8cm．∴AB=2cm，
知識(shí)講解
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴cm,
∴BD=2OB= cm .
（2）S菱形ABCD= AC BD
= ×2× = cm2）．
注意：菱形中的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當(dāng)菱形中有一個(gè)角是60°時(shí)，菱形被分為以60°為頂角的兩個(gè)等邊三角形.
知識(shí)講解
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）
A.對(duì)角相等 B.對(duì)邊相等
C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角線相等
C
2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，△ABD的周長等于 （　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
隨堂練習(xí)
3.根據(jù)下圖填一填：
（1）已知菱形ABCD的周長是12cm，那么它的邊長
是 ______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，則∠BAC＝_______.
（3）菱形ABCD的兩條對(duì)角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
隨堂練習(xí)
4.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E． 求證：∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，∴△BCE△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
隨堂練習(xí)
5.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD＝5cm，OD＝3cm；過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E.(1)求OC的長；
解：(1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得
OC＝4cm.
隨堂練習(xí)
6.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD＝5cm，OD＝3cm；過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E.(2)求四邊形OBEC的面積．
解：(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四邊形OBEC為平行四邊形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四邊形OBEC為矩形.
∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
隨堂練習(xí)
菱形的性質(zhì)
菱形的性質(zhì)
有關(guān)計(jì)算
1.周長=邊長的四倍
2.面積=底×高=兩條對(duì)角線乘積的一半
1.兩組對(duì)邊平行且相等；
2.四條邊相等
兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)
1.兩條對(duì)角線互相垂直平分；
2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
課后小結(jié)
謝謝觀看
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