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人教版
數(shù)學(xué) 八年級(jí)
下
第十八章 平行四邊形
18.2.1 第2課時(shí) 矩形的判定
1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握
矩形的判定定理．（重點(diǎn)）
2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
問題1 矩形的定義是什么？
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
問題2 矩形有哪些性質(zhì)？
矩形
邊：
角：
對(duì)角線：
對(duì)邊平行且相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角線互相平分且相等
情境導(dǎo)入
思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？
這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.
情境導(dǎo)入
知識(shí)點(diǎn)一 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.
問題1 除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？
矩形是特殊的平行四邊形.
知識(shí)講解
問題2 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”，反過來，小明猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形，你覺得對(duì)嗎？
思考 你能證明這一猜想嗎？
同學(xué)一：不對(duì)，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.
同學(xué)二：不對(duì)，等腰梯形的對(duì)角線也相等
我猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
知識(shí)講解
矩形的判定定理：
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
歸納總結(jié)
幾何語言描述：
在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
知識(shí)講解
思考 數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度，如果對(duì)角線長(zhǎng)相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.
知識(shí)講解
例1 已知：如圖,在□ABCD中,AC , DB是它的兩條對(duì)角線, AC=DB.求證：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
證明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定義）.
知識(shí)講解
　 例2 如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=AC，
OB=OD=BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
知識(shí)講解
例3 如圖 ， ABCD中, ∠1=∠2中.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形.
知識(shí)講解
問題1 上節(jié)課我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？
逆命題：四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
成立
知識(shí)點(diǎn)二 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
知識(shí)講解
問題2 至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形？
A
B
D
C
(有一個(gè)角是直角)
A
B
D
C
(有二個(gè)角是直角)
A
B
D
C
(有三個(gè)角是直角)
猜測(cè)：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
知識(shí)講解
矩形的判定定理：
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
知識(shí)講解
思考 一個(gè)木匠要制作矩形的踏板．他在一個(gè)對(duì)邊平行的長(zhǎng)木板上分別沿與長(zhǎng)邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
知識(shí)講解
例1 已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求證：四邊形ABCD是矩形.
證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形.
A
B
C
D
知識(shí)講解
例2 如圖，□ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．
證明：在□ABCD中，AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE與BG分別為∠DAB、
∠ABC的平分線,
A
B
D
C
H
E
F
G
知識(shí)講解
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°
∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.
同理可證∠AED=∠EHG=90°,
∴四邊形EFGH是矩形．
知識(shí)講解
例3 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．
證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM.
知識(shí)講解
∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四邊形ADCE為矩形．
知識(shí)講解
1.在判斷“一個(gè)四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是 （　　）
A．測(cè)量對(duì)角線是否相等
B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等
C．測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角
D．測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角
D
隨堂練習(xí)
2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
隨堂練習(xí)
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求證：四邊形ABCD是矩形．
證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
滿足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．
A
B
C
D
隨堂練習(xí)
4.如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OA到N，使ON＝OB，再延長(zhǎng)OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，
∴平行四邊形NDMB為矩形．
隨堂練習(xí)
5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE是矩形．
證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分線，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
隨堂練習(xí)
∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，
∴四邊形AEDB是平行四邊形，
∴AE平行且等于BD.
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四邊形ADCE是平行四邊形.
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形．
隨堂練習(xí)
6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？
隨堂練習(xí)
解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即經(jīng)過6s，四邊形PQCD是平行四邊形.
隨堂練習(xí)
(2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQBA是矩形？
解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，解得y＝6.5，
即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形．
隨堂練習(xí)
有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
矩形的判定
定義
判定定理
課后小結(jié)
謝謝觀看
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