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人教版
數學 八年級
下
第十八章 平行四邊形
18.1.2 第1課時 平行四邊形的判定
1.經歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程，體會
類比思想及探究圖形判定的一般思路。（重點）
2.掌握平行四邊形的三個判定定理，能根據不同條件
靈活選取適當的判定定理進行推理論證.（難點）
學習目標
兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
A
B
C
D
四邊形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
問題1 平行四邊形的定義是什么？有什么作用？
可以用平行四邊形的定義來判定平行四邊形，如：
情境導入
問題2 除了兩組對邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質？
平行四邊形的對邊相等.
平行四邊形的對角相等.
平行四邊形的對角線互相平分.
邊：
角：
對角線：
情境導入
思考 我們得到的這些逆命題是否都成立？這節課我們一起探討一下吧.
問題3 平行四邊形上面的三條性質的逆命題各是什么？
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
情境導入
知識點一 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
知識講解
平行四邊形的判定定理：
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
D
A
C
已知： 四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求證： 四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
連接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共邊)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：
1
4
2
3
知識講解
例1 如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：
四邊形PONM是平行四邊形．
證明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四邊形PONM是平行四邊形．
知識講解
例2 如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．
解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.
同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，
∴四邊形DAEF是平行四邊形．
知識講解
例3 如圖, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
知識講解
問題 我們知道，兩組對邊分別平行或相等的是平行四邊形.如果只考慮四邊形的一組對邊，它們滿足什么條件時這個四邊形能成為平行四邊形呢？
猜想1：一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.
等腰梯形不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.
知識點二一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
知識講解
猜想2：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形.
梯形的上下底平行，但不是平行四邊形，因而此猜想錯誤.
知識講解
B
A
活動 如圖，將線段AB向右平移BC長度后得到線段CD，連接AD，BC，由此你能猜想四邊形ABCD的形狀嗎？
D
C
四邊形ABCD是平行四邊形
猜想3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
知識講解
A
B
C
D
證明思路
作對角線構造全等三角形
一組對應邊相等
兩組對邊分別相等
四邊形ABCD是平行四邊形
如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
知識講解
A
B
C
D
2
1
證明：連接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA .又∵AB= CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
知識講解
B
D
A
C
平行四邊形的判定定理：
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
知識講解
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB =CD，EB //FD．又∵EB = AB ，FD = CD，∴EB =FD ．
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
例1 如圖 ，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.
知識講解
例2 如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求證：四邊形BFCE是平行四邊形．
證明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF，
∴四邊形BFCE是平行四邊形．
知識講解
如圖，點C是AB的中點，AD=CE，CD=BE．
（1）求證：△ACD≌△CBE；
（2）連接DE，求證：四邊形CBED是平行四邊形．
證明：（1）∵點C是AB的中點，∴AC=BC.
在△ADC與△CEB中，AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE.
又∵CD=BE，∴四邊形CBED是平行四邊形．
知識講解
平行四邊形的判定定理：
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
D
A
C
知識講解
已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
同理得 AB∥ CD，
證明：
知識講解
例3 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數；
(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
知識講解
如圖,將兩根細木條AC、BD的中點重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點，做成一個四邊形ABCD.轉動兩根木條，四邊形ABCD一直是一個平行四邊形嗎？
B
D
O
A
C
猜想：四邊形ABCD一直是一個平行四邊形.
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
知識講解
平行四邊形的判定定理：
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：
在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
B
O
D
A
C
知識講解
A
B
C
D
O
已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (對頂角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
知識講解
例4 如圖，□ABCD 的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
B
O
D
A
C
E
F
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
知識講解
拓展探究 昨天李明同學在生物實驗室做實驗時，不小心碰碎了實驗室的一塊平行四邊形的實驗用的玻璃片,只剩下如圖所示部分,他想回家去割一塊賠給學校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊形重新在紙上畫出來 然后帶上圖紙去就行了，可原來的平行四邊形怎么給它畫出來呢(A,B,C為三頂點,即找出第四個頂點D)？
A
B
C
知識講解
D
A
B
C
方法依據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
方法一：
知識講解
D
A
B
C
方法依據：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
方法二：
知識講解
D
O
A
B
C
方法依據：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
方法三：
知識講解
1.根據下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是 ( )
A.兩組對邊分別相等 B.兩條對角線互相平分
C.兩條對角線相等 D.兩組對邊分別平行
2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么當AO=_____cm,
BO=_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形.
B
O
D
A
C
C
4
5
隨堂練習
2.如圖，在 ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，連接DE，EF，BF，寫出圖中除 ABCD以外的所有的平行四邊形.
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC，AD=BC.
∵E，F分別是AB，CD的中點，∴AE=BE=DF=FC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，四邊形EFCB是平行四邊形，四邊形BEDF是平行四邊形.
隨堂練習
3.如圖，已知E，F，G，H分別是 ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：在平行四邊形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
隨堂練習
4.如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點．求證：(1)△AOC≌△BOD；(2)四邊形AFBE是平行四邊形．
證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EO＝FO.又∵AO＝BO，
∴四邊形AFBE是平行四邊形．
隨堂練習
5.學校買了四棵樹，準備栽在花園里，已經栽了三棵（如圖），現在學校希望這四棵樹能組成一個平行四邊形，你覺得第四棵樹應該栽在哪里？
A1
A3
A2
A
B
C
隨堂練行四邊形的判定
定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
課后小結
謝謝觀看
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