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人教版
數學 八年級
下
第十八章 平行四邊形
18.2.2菱形的判定
　1.經歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理.（重點）
2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算.（難點）
學習目標
一組鄰邊相等
平行四邊形
菱形的性質
菱形
兩組對邊平行
四條邊相等
兩組對角分別相等
鄰角互補
兩條對角線互相垂直平分
每一條對角線平分一組對角
邊
角
對角線
問題 菱形的定義是什么？性質有哪些？
情境導入
AB=AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形.
數學語言
知識點一 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 還有其他的判定方法嗎？
知識講解
A
B
C
O
D
例1 已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O ，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是線段AC的垂直平分線.
∴BA=BC.
∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.
知識講解
知識點二 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形 對此你有什么猜想？
猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
知識講解
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
AC⊥BD
幾何語言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
知識講解
例1 如圖， ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.求證：四邊形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
證明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四邊形ABCD是菱形.
知識講解
例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO = OC . 又∠AOE =∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四邊形AFCE是平行四邊形.
又∵EF⊥AC
∴ 四邊形AFCE是菱形.
知識講解
知識點三 四條邊相等的四邊形是菱形
小剛：分別以A、C為圓心,以大于AC的長為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點B , D,依次連接A、B、C、D四點.
已知線段AC,你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD,使AC為菱形的一條對角線嗎？
C
A
B
D
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
知識講解
四條邊都相等的四邊形是菱形
AB=BC=CD=AD
幾何語言描述：
∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四邊形ABCD
A
B
C
D
知識講解
證明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵AB=BC,
∴四邊形ABCD是菱形.
A
B
C
D
例1 已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求證：四邊形ABCD是菱形.
知識講解
證明：∵∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD△AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四邊形CDEF是菱形.
2
例2 如圖,在△ABC中, AD是角平分線,點E、F分別在AB、AD上,且AE=AC,EF = ED.求證：四邊形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
知識講解
例3 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．
證明：由平移變換的性質得CF＝AD＝10cm，DF=AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴(m)
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四邊形ACFD是菱形．
知識講解
1.在求解菱形中的線段長度時，結合菱形的邊相等和對角線互相垂直平分的性質.
例如，已知菱形的對角線長度，求邊長，可以利用直角三角形（由對角線分割而成），根據勾股定理計算邊長.
知識點四 菱形的性質與判定的綜合運用
知識講解
2.在證明問題中，常常需要靈活運用性質和判定.
如證明一個四邊形是菱形，可能先證明它是平行四邊形（通過對邊平行等條件），再證明對角線垂直或者一組鄰邊相等；或者直接證明四條邊相等.
知識講解
例1 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.
(1)求證：四邊形BCFE是菱形；
(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形．
又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形.
知識講解
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為，
∴菱形的面積
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
注意：判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．
知識講解
例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴四邊形ABCD的周長=4×2=8．
知識講解
1.判斷下列說法是否正確
(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；
(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；
(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；
(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．
√
╳
╳
╳
隨堂練習
2.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（　　）
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
解析：∵將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，∴四邊形ACED為平行四邊形.
當AC=BC時，BC=CE=DE,平行四邊形ACED是菱形．故選B．
隨堂練習
A
B
C
D
O
E
3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC,
CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.
證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形．
隨堂練習
證明：∵MN是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
4.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
N
隨堂練習
B
C
A
D
O
E
M
N
∴AD=CE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形.
又∵∠AOD=90°，
∴四邊形ADCE是菱形．
隨堂練習
（1）證明：由尺規作∠BAF的平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形.
5.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的
平分線交BC于點E，連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF為菱形；
隨堂練習
（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．
解：∵四邊形ABEF為菱形，
∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
隨堂練習
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
四邊相等的四邊形是菱形
菱形的性質與判定的綜合運用
菱形的判定
定義法
判定定理
課后小結
謝謝觀看
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