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人教版
數(shù)學 八年級
下
第十八章 平行四邊形
18.1.1 第2課時 平行四邊形對角線的性質(zhì)
1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)；（重點）
2.經(jīng)歷對平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想， 體會圖形性質(zhì)探究的一般思路.（難點）
學習目標
一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：
當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的地少，同學們，你認為老人這樣分合理嗎 為什么
情境導(dǎo)入
我們知道平行四邊形的邊角這兩個基本要素的性質(zhì)，那么平行四邊形的對角線又具有怎樣的性質(zhì)呢
A
B
C
D
O
如圖，在□ABCD中，連接AC,BD,并設(shè)它們相交于點O.
OA與OC,OB與OD有什么關(guān)系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
知識點一 平行四邊形的對角線的性質(zhì)
知識講解
A
C
D
B
O
1.四邊形的對角線互相平分.
應(yīng)用格式：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ OA=OC，OB=OD.
知識講解
2.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差．
3.過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到的線段總相等.
4.平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對的兩個三角形全等.
平行四邊形對角線的性質(zhì)
知識講解
已知：如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD.
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
知識講解
例1 已知 ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，
∴AB－AD＝5cm.又∵ ABCD的周長為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
總結(jié)：平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差．
知識講解
例2 如圖,平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF∴BE∥DF.
知識講解
例3 如圖， ABCD的對角線AC,BD交于點O.過點O作直線EF,分別交AB,CD于點E，F(xiàn).求證：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形
,∴AB∥CD, OD=OB,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF△BO（AAS）,∴OE=OF.
思考 改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎
知識講解
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
請判斷下列圖中，OE=OF還成立么？
同例3易證明OE=OF還成立.
過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到的線段總相等.
知識講解
知識點二 平行四邊形的面積
1. 面積公式
平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S = ah（其中S表示面積，a表示底，h表示高）.
例如，一個平行四邊形的底是5厘米，高是3厘米，它的面積就是5×3 = 15平方厘米.
2.注意要點
計算面積時，底和高要相對應(yīng).比如一個平行四邊形有不同的底和高，在計算時要準確使用對應(yīng)的一組底和高的值.
知識講解
問題 平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個三角形，它們的面積有怎樣的關(guān)系呢？
解：相等.理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO與△ODC等底同高，∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
總結(jié)：平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對的兩個三角形全等.
知識講解
A
B
C
D
O
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
根據(jù)勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
例1 如圖，在　ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC. 求BC，CD，AC，OA的長，以及　ABCD的面積．
知識講解
例2 如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四邊形ABCD的周長為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積.
解：設(shè)AB=x，則BC=24-x.
根據(jù)平行四邊形的面積公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
則平行四邊形ABCD的面積為5×16=80．
總結(jié)：已知平行四邊形的高DE，DF，根據(jù)“等面積法”及平行四邊形的性質(zhì)列方程求解.
知識講解
A
B
C
D
O
F
E
例3 如圖，AC,BD交于點O，EF過點O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？
M
N
解：設(shè)直線EF交AD,BC于點N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四邊ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,
即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.
知識講解
1.如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且 AC+BD=16,CD=6,則△ABO的周長是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
隨堂練習
2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（　　）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
B
C
D
A
O
D
隨堂練習
3.如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經(jīng)過水井修小路，一樣可以把草地分成面積相等的兩部分，同學們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？
B
M
C
●
D
A
O
解：如圖所示．
隨堂練習
4.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 則m的取值范圍是 ( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
隨堂練習
5.如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于O，EF過點O與AD，BC分別相交于E，F(xiàn)，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四邊形EFCD的周長為（　　）
A.16 B.14 C.12 D.10
A
D
C
B
F
E
O
C
隨堂練習
6.把一個平行四邊形分成3個三角形，已知兩個陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2，求平行四邊形的面積．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四邊形的面積是42cm2．
隨堂練習
7.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點E.若△CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少？
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，∴BE=DE.
∵△CDE的周長為10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四邊形ABCD的周長為2×(BC+CD)=20．
隨堂練行四邊形對角線互相平分
兩條對角線分平行四邊形為面積相等的四個三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差
平行四邊形的面積
過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.且與對角線圍成的三角形相對的兩個全等
平行四邊形對角線的性質(zhì)
平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S = ah.
過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到的線段總相等
課后小結(jié)
謝謝觀看
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