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人教版
數學 八年級
下
第十八章 平行四邊形
18.1.2 第2課時 三角形的中位線
1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.（重點）
2.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算問題.(重點）
學習目標
問題 平行四邊形的性質和判定有哪些？
B
O
D
A
C
AB=CD, AD=BC
邊：
AB∥CD, AD∥BC
AB∥CD, AB=CD
角：
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
對角線：
AO=CO,DO=BO
判定
性質
情境導入
我們探索平行四邊形時，常常轉化為三角形，利用三角形的全等性質進行研究，今天我們一起來利用平行四邊形來探索三角形的某些問題吧.
思考 如圖，有一塊三角形蛋糕，準備平分給四個小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢？
情境導入
定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
A
B
C
D
E
如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE，則線段DE就稱為△ABC的中位線.
知識點一 三角形的中位線定理
知識講解
問題1 一個三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫出它所有的中位線嗎？
A
B
C
D
E
F
有三條，如圖，△ABC的中位線是DE、DF、EF.
問題2 三角形的中位線與中線有什么區別？
中位線是連接三角形兩邊中點的線段.
中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段.
知識講解
問題3：如圖，DE是△ABC的中位線，
DE與BC有怎樣的關系？
D
E
兩條線段的關系
位置關系
數量關系
猜想：
猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．
知識講解
平行
角
平行四邊形
或
線段相等
一條線段是另一條線段的一半
倍長短線
分析1：
D
E
問題3：如何證明你的猜想？
知識講解
分析2：
D
E
互相平分
構造
平行四邊形
倍長DE
知識講解
三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．
D
E
△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點，
則DE∥BC，DE=BC．
三角形中位線定理：
符號語言：
知識講解
A
B
C
D
E
F
重要發現：
①中位線DE、EF、DF把△ABC分成四個全等的三角形；有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF，四邊形BFED和CFDE，四邊形ADFE和DFCE.
知識講解
A
B
C
D
E
F
②頂點是中點的三角形，我們稱之為中點三角形；中點三角形的周長是原三角形的周長的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.
知識講解
例1 如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，求AC的長
解：∵D、E分別為AC、BC的中點，
∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
知識講解
例2 如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度數．
解：∵M、N、P分別是AD、BC、BD的中點，
∴PN，PM分別是△CDB與△DAB的中位線，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
知識講解
例3 如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB的中點，在AB的延長線上取一點D，使BD＝AB，求證：CD＝2CE.
證明：取AC的中點F，連接BF.∵BD＝AB，
∴BF為△ADC的中位線，∴DC＝2BF.
∵E為AB的中點，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB， ∴△EBC△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.
F
恰當地構造三角形中位線是解決線段倍分關系的關鍵．
知識講解
知識點二 三角形的中位線與平行四邊形的綜合運用
1.在復雜的幾何圖形中，先找出三角形的中位線，利用中位線的性質得到線段的平行關系和數量關系.再看這些關系是否滿足平行四邊形的判定條件.
2.若已知平行四邊形，可通過平行四邊形的性質得到線段平行和相等的條件，進而找出潛在的三角形中位線，從而建立起兩者之間的聯系解決問題.
知識講解
例1 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
四邊形問題
連接對角線
三角形問題
（三角形中位線定理）
分析：
知識講解
證明:連接AC.
∵E,F,G,H分別為各邊的中點,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,AC
HG∥AC,AC
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
知識講解
證明：∵D、E分別為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥ BC，DE= BC.
∵CF= BC，
∴DE=FC．
例2 如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E 分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF=BC，連接CD和EF．
(1)求證：DE=CF；
知識講解
例2 如圖，等邊△ABC的邊長是2，D、E 分別為AB、AC的中點，延長BC至點F，使CF = BC，連接CD和EF．
（2）求EF的長．
解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∴DC=EF，
∵D為AB的中點，等邊△ABC的邊長是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC= ．
知識講解
例3 如圖，E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點．求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
證明：如圖，連接BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點，
∴EH是△ABD的中位線，FG是△BCD的中位線，
∴EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.
知識講解
2.如圖，在 ABCD中，AD=8，點E，F分別是BD，CD的中點，則EF等于 （　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
1.如圖，在△ABC中，點E、F分別為AB、AC的中點．若EF的長為2，則BC的長為（　　）
A.1 B.2
C.4 D.8
C
C
隨堂練習
3.如圖，點 D、E、F 分別是 △ABC 的三邊AB、BC、 AC的中點.
（1）若∠ADF=50°，則∠B= °；
（2）已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8，
則△DEF的周長為 .
50
15
A
B
C
D
F
E
隨堂練習
4.在△ABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、 BD、 AB的中點，若AD=3，BC=8，則四邊形EFGH的周長是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
11
隨堂練習
5.如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，BD的延長線交AC于點F，E為BC的中點，求DE的長．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB=AF=6cm，BD=DF，
∴CF=AC-AF=4cm，
∵BD=DF，E為BC的中點，
∴DE= CF=2cm．
隨堂練習
三角形的中位線
三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
三角形的中位線定理
三角形的中位線定理的綜合應用
課后小結
謝謝觀看
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