資源簡介

幾種簡單幾何體的表面積
【教學目標】1.能夠畫出直棱柱，正棱錐，正棱臺，圓柱，圓錐，圓臺的側面展
開圖，并推導出相應幾何體的側面積、表面積.
2.能夠建立數學模型，計算出實際問題中幾何體的表面積.
3.理清簡單幾何體結構上的聯系，進而體會側面積公式之間的內部聯系.
【教學重點】 推導簡單幾何體的側面積公式.
【教學難點】 建立恰當的數學模型，計算出實際問題中幾何體的表面積.
【教學方法】 啟發，探究.
【教學手段】 多媒體PPT.
【核心素養】 幾何直觀 邏輯推理.
【教學過程】
創設情境，引入課題
1.復習引入：簡單幾何體的分類及概念
多面體：把若干個平面多邊形（包括三角形）所圍成的封閉體，叫作多面體.
棱柱、棱錐、棱臺都是多面體.
旋轉體:一條封閉曲線內的區域繞著該平面內的一條定直線旋轉而成的幾何體稱為旋轉體.
圓柱、圓錐、圓臺、球體都是旋轉體.
2.思考：根據簡單幾何體的結構特征，如何求多面體及旋轉體的表面積？
二、歸納探索，形成概念
問題1：如何求直棱柱側面積？
例：直三棱柱側面積求法.
由特殊到一般，引導學生類比歸納出直棱柱的側面積公式：
其中，C為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高.
問題2：如何求正棱錐的側面積？
例：正三棱錐側面積求法.
由特殊到一般，引導學生通過類比直棱柱側面積的計算方法，類比歸納正棱錐的側面積公式：
其中，C為正棱錐的底面周長，為側面等腰三角形的高.
問題3：如何求正棱臺的側面積？
例：正三棱臺側面積求法.
由特殊到一般，引導學生類比歸納出正棱臺的側面積公式：
其中，C、為棱臺兩底面的周長，為棱臺側面的高.
問題4：如何求圓柱的側面積、表面積？
由圓柱的側面展開圖，引導學生類比歸納出圓柱的側面積公式：
其中，r為圓柱底面半徑，l為圓柱的母線長.
問題5：如何求圓錐的側面積、表面積？
由圓錐的側面展開圖，引導學生類比歸納出圓錐的側面積公式：
其中，r為圓錐底面半徑，l為圓錐的母線長.
問題6：如何求圓臺的側面積？
由圓臺的側面展開圖，引導學生類比歸納出圓臺的側面積公式：
其中，為圓臺上底面半徑，為圓臺的下底面半徑，l為圓臺的母線長.
問題7:如何求球的表面積？
其中，R為球的半徑.
三、掌握證法，適當延展
例1： 如圖，已知正三棱柱的底面邊長是2，D，E是，的中點，.
(1)求此正三棱柱的側棱長；
(2)正三棱柱的表面積．
引導學生分析思路 （1）證明△AED為直角三角形，然后求側棱長；
（2）分別求出側面積與底面積．
例2 ：已知棱長為，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積．
引導學生發現四面體的展開圖是由四個全等的正三角形組成．所以只需要求出每個正三角形的面積.
例3：如圖，正三棱臺上、下底面邊長分別為3cm和6cm,高1.5cm.求三棱臺的側面積.
解：O1O分別是上、下底面中心，則O1O=1.5，連接A1O1并延長交B1C1于D1.連接AO并延長交BC于D，過D1作D1E⊥AD于E，
在Rt△D1ED中，
D1E=O1O=1.5，DE=DO-OE=DO-D1O1=，
，
所以.
答：三棱臺的側面積為.
引導學生發現正三棱臺的側面展開圖是由三個全等的等腰梯形構成，已知梯形的上下底，要求棱臺的側面積，關鍵是求展開圖中梯形的高.
例4：蒙古包可以近似地看成由圓錐和圓柱組成的.如果想在某個牧區搭建15個底面積為33，高為10(其中圓錐形頂子的高度為2)的蒙古包.那么至少需要用多少平米的帆布 (結果精確到0.1).
引導學生分析所需帆布的面積是圓錐形屋頂的側面積與圓柱形主體結構側面積的和，因此本題的關鍵是計算圓柱和圓錐的側面積.
例5 ：正方體的棱長為,它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積.
引導學生發現計算球表面積的關鍵是找出球心，并求出球的半徑.
練習1：如圖，已知正四棱錐P-ABCD，底面正方形ABCD邊長為4cm，正四棱錐的高PO與側面三角形PBC的高PE的夾角為30°，求正四棱錐的側面積及全面積.
練習2 ： 一個球內切于棱長為2的正方體，求該球的表面積.
歸納小結，提高認識
1.棱柱、棱錐、棱臺的側面積公式間的關系及圓柱、圓錐、圓臺側面積公式間的關系.
2.數學核心素養：幾何直觀、數學運算.

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