資源簡介

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人教版
數學 八年級
下
第十七章 勾股定理
17.1.1勾股定理
1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一
些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數形結合的思想.（重點）
2.會用勾股定理進行簡單的計算.（難點）
學習目標
其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點，世界上許多科學家向宇宙發出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.
情境導入
據說我國著名的數學家華羅庚曾建議“發射”一種勾股定理的圖形(如圖).
很多學者認為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認識這種語言，因為幾乎所有具有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.
情境導入
我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：
A
B
C
問題1 試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？
知識點一 勾股定理的認識及驗證
知識講解
A
B
C
一直角邊2
另一直角邊2
斜邊2
+
=
問題2 圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？
知識講解
問題3 在網格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：
這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？
知識講解
方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網格線上的正方形）：
左圖：
右圖：
知識講解
方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：
左圖：
右圖：
知識講解
根據前面求出的C的面積直接填出下表：
A的面積 B的面積 C的面積
左圖
右圖
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？
知識講解
命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
由上面的幾個例子，我們猜想：
a
b
c
下面的動圖形象的說明了命題1的正確性，讓我們跟著以前的數學家們用拼圖法來證明這一猜想.
知識講解
a
b
b
c
a
b
c
a
證法1 讓我們跟著我國漢代數學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.
知識講解
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
趙爽弦圖
b-a
證明：
“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽.
知識講解
證法2 畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.
知識講解
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
證明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2=c2+2ab.
知識講解
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
證法3 美國第二十任總統加菲爾德的“總統證法”.
如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.
知識講解
在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c為正數
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.
公式變形：
a
b
c
知識講解
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
知識講解
例1 (數學文化)觀察“趙爽弦圖”(如圖),若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a,b,且a>b,根據圖中圖形面積之間的關系,可直接得到等式 ( ) 　　　　　 　　　　　
A.a(a-b)=a2-ab
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
C
知識講解
例2 (象棋盤與勾股定理的運用)在如圖所示的象棋盤中,各個小正方形的邊長均為1.“馬”從圖中的位置出發,不走重復路線,按照“馬走日”的規則,走兩步后的落點與出
發點間的最短距離為 　.
知識講解
提示:如圖,第一步到①,第二步到②,故走兩步后的落點與出發點間的最短距離為=.
知識講解
知識點二 利用勾股定理進行計算
1.已知兩邊求第三邊：
已知兩條直角邊求斜邊，直接代入公式計算斜邊長度.
已知斜邊和一條直角邊，求另一條直角邊.
2.解決實際問題中的應用：比如在建筑、測量等領域。如要測量一個池塘兩點間的距離，可構造直角三角形，通過測量直角邊長度利用勾股定理計算斜邊（兩點間距離）.
3.勾股定理的變形形式：,這些變形在計算直角邊時很有用.
知識講解
例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)據勾股定理得
(2)據勾股定理得
C
A
B
知識講解
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根據三角形面積公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
知識講解
1.求下列圖中未知數x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
隨堂練習
2..下列說法中,正確的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2
B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
3.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .
8 cm
10 cm
36 cm
隨堂練習
4.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，則c= .
（2）若c=13，b=12，則a= .
5.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長
的平方為_________.
17
5
74或24
隨堂練習
6.求斜邊長17cm、一條直角邊長15cm的直角三角形的面積.
解：設另一條直角邊長是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（負值舍去），
∴另一直角邊長為8 cm，
直角三角形的面積是
隨堂練習
7.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，∴CD= ，
∴BC=BD+CD=1+，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC= ．
隨堂練習
勾股定理
內容
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪個角是直角
已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論
利用勾股定理進行計算
課后小結
謝謝觀看
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