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人教版
數學 八年級
下
第十七章 勾股定理
17.2.2勾股定理的逆定理的應用
1.靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題.（重點）
2.將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問
題.（難點）
學習目標
問題 前面的學習讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認識，你能說出它們的內容嗎
a2+b2=c2
(a,b為直角邊，c為斜邊)
Rt△ABC,∠C是直角
勾股定理
勾股定理的逆定理
a2+b2=c2
(a,b為較短邊，c為最長邊）
Rt△ABC，且∠C是直角.
情境導入
(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC邊上的高是 cm.
8
(1)已知△ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為 三角形， 是最大角.
直角
∠A
快速填一填：
思考 前面我們已經學會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理能解決哪些實際問題呢？你能舉舉例嗎？
情境導入
在軍事和航海上經常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數學知識和方法，其中勾股定理的逆定理經常會被用到，這節課讓我們一起來學習吧.
情境導入
1
2
如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上. “遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？
N
E
P
Q
R
知識點一 勾股定理的逆定理的應用
知識講解
問題1 認真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如圖.
問題2 由于我們現在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯想到了什么？
實質是要求出兩艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
知識講解
解：根據題意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“遠航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解決實際問題的步驟： 構建幾何模型(從整體到局部)；
標注有用信息,明確已知和所求； 應用數學知識求解.
知識講解
例1 臺風是一種自然災害,它以臺風中心為圓心在周圍上百千米范圍內形成極端氣候,有極強的破壞力.如圖,有一臺風中心沿東西方向AB由點A向點B運動,AB＝500 km,點C為一海港,且點C與直線AB上的兩點A,B的距離分別為300 km和400 km.已知以臺風中心為圓心周圍250 km范圍內為受影響區域.請通過計算說明海港C是否受臺風影響.
知識講解
解:如圖,過點C作CH⊥AB,垂足為H.
∵AC＝300 km,BC＝400 km,AB＝500 km,
∴AB2＝AC2＋BC2．∴△ABC為直角三角形且∠ACB＝90°.
∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CH.
即×300×400＝CH×500.∴CH＝240 km.
∵240＜250,∴海港C受臺風影響.
知識講解
例2 如圖，南北方向PQ以東為我國領海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發現其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知在PQ上B處巡邏的103號艇注意其動向，經檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進入我領海？
東
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根據勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求BD，然后再利用勾股定理便可求CD.
知識講解
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設PQ與AC相交于點D，根據三角形面積公式有BC·AB= AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=.在Rt△BCD中，又∵該船只的速度為12.8海里/時，6.4÷12.8=0.5（小時）=30（分鐘），∴需要30分鐘進入我領海，即最早晚上10時58分進入我領海.
東
北
P
A
B
C
Q
D
知識講解
例3 一個零件的形狀如圖 所示,按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖 所示,這個零件符合要求嗎
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
圖
圖
知識講解
在△BCD中,∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，這個零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，
∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
圖
知識講解
例4 如圖,有一臺環衛車沿公路AB由點A向點B行駛.已知點C為一所學校,且點C與直線AB上兩點A,B的距離分別為150 m和200 m,AB＝250 m,環衛車周圍130 m以內為受噪聲影響區域.學校C會受噪聲影響嗎 為什么
知識講解
解:學校C會受噪聲影響.理由如下:
如圖,過點C作CD⊥AB于點D．
∵AC＝150 m,BC＝200 m,AB＝250 m,
∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62 500,AB2＝2502＝62 500.
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°.
∴S△ABC＝AC×BC＝CD×AB．
即×150×200＝×250×CD．∴CD＝＝120(m).
∵環衛車周圍130 m以內為受噪聲影響區域,
∴學校C會受噪聲影響.
知識講解
知識點二 勾股定理及其逆定理的綜合應用
一、判斷三角形形狀
1.若已知一個三角形三邊的長度，可通過勾股定理的逆定理來判斷它是否為直角三角形.
2.對于一些復雜的邊長表達式，同樣可先分別計算較短兩邊的平方和與最長邊的平方，看是否相等來判斷形狀.
若相等是直角三角形；若較短兩邊平方和大于最長邊平方，是銳角三角形；反之是鈍角三角形.
知識講解
知識點二 勾股定理及其逆定理的綜合應用
二、解決實際問題中的角度判斷
在一些實際場景如建筑、測量等領域，當涉及到判斷某個夾角是否為直角時，如果能確定構成夾角的三條線段長度，就可用勾股定理逆定理來判斷。
知識講解
例1 如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.
解析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
知識講解
A
D
B
C
3
4
13
12
四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉化成兩個三角形的問題.
解：連接AC.
在Rt△ABC中，.
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四邊ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
知識講解
解：（1）證明：∵CD=1，BC＝ ，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；
（2）解：設腰長AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，∴AC .解得.
例2 如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC＝，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．
知識講解
1. 醫院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫院的南偏東25°的方向，且到醫院的距離為300m,公園到醫院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫院的北偏東 的方向.
東
醫院
公園
超市
北
65°
隨堂練習
2.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現將他們擺成兩個直角三角形，其中擺放方法正確的是 （　?。?br/>A. B.
C. D.
D
隨堂練習
3.如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發，以12km/h的速度前進，同時，B組也由駐地O出發，以9km/h的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30km．此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由.
解：∵出發2小時，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，
又∵A，B兩組相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B兩組行進的方向成直角．
隨堂練習
4.如圖，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC邊上的中線AD=15，試說明：AB=AC.
解：∵BC=16，AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD= BC=8.∵在△ABD中，
AD2+BD2=152+82=172=AB2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中，.
∴AB=AC.
隨堂練習
解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，
∵周長為36cm，即AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，
過3秒時，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得(cm)
5.如圖，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒2cm的速度移動，點Q從點C沿CB邊向點B以每秒1cm的速度移動，如果同時出發，則過3s時，求PQ的長．
隨堂練習
6．森林火災是一種常見的自然災害,危害很大,隨著中國科技、經濟的不斷發展,開始應用飛機灑水的方式撲滅火源.如圖,有一臺救火飛機沿東西方向AB飛行,由點A飛向點B,已知點C為其中一個著火點, 且點C與直線AB上兩點A,B的距離分別為600 m和800m,AB＝1000 m,飛機中心周圍500m 以內可以受到灑水影響.
隨堂練習
解:著火點C受灑水影響.理由如下:
如圖,過點C作CD⊥AB,垂足為D．
∵AC＝600 m,BC＝800 m,AB＝1 000 m,
∴AC2＋BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形.∴AC·BC＝AB·CD．
∴CD＝＝480(m).
∵480＜500,∴著火點C受灑水影響.
(1)著火點C受灑水影響嗎 為什么
隨堂練習
解:如圖,以點C為圓心、500m為半徑畫弧,
交AB于點E,F,則CE＝CF＝500 m.
∵CD⊥AB,∴ED＝DF＝EF.
在Rt△CDE中,ED＝＝140(m),
∴EF＝2ED＝280 m.280÷10＝28(s).
∵28＞13,∴著火點C能被撲滅.
(2)若飛機的速度為10m/s,要想撲滅著火點C估計需要13 s,請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅
隨堂練習
勾股定理的逆定理的應用
應用
航海問題
方法
認真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運用勾股定理及其逆定理來解決問題
與勾股定理結合解決不規則圖形等問題
課后小結
謝謝觀看
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