資源簡介

(共29張PPT)
人教版
數(shù)學 八年級
下
第十七章 勾股定理
17.2.1勾股定理的逆定理
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).（重點）
2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.（難點）
學習目標
同學們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.
情境導入
思考：從前面我們知道古埃及人認為一個三角形三邊長分別為3,4,5,那么這個三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎
大禹治水
相傳，我國古代的大禹在治水時也用了類似的方法確定直角.
情境導入
下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
問題1 分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
是
知識點一 勾股定理的逆定理
知識講解
下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
問題2 這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點？
① 5,12,13滿足52+122=132,
② 7,24,25滿足72+242=252,
③ 8,15,17滿足82+152=172.
問題3 古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？
∵32+42=52，∴滿足.
a2+b2=c2
知識講解
問題4 據(jù)此你有什么猜想呢
由上面幾個例子，我們猜想：
命題2 如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.
我覺得這個猜想不準確，因為測量結(jié)果可能有誤差.
我也覺得猜想不嚴謹，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.
知識講解
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足
a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形 ，最長邊所對應的角為直角.
特別說明：
歸納總結(jié)
知識講解
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
例1 已知：如圖，△ABC的三邊長
a，b，c，滿足a2+b2=c2．
　求證：△ABC是直角三角形．
構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′
知識講解
證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
則
A
C
a
B
b
c
知識講解
例2 下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.
根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.
知識講解
例3 若△ABC的三邊a,b,c滿足a:b: c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.
解：設a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設出參數(shù)，表示出三條邊的長，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.
知識講解
例4 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
設正方形的邊長為4a,
則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
知識講解
如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，
那么這個三角形是直角三角形.
滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).
知識點二 勾股數(shù)
知識講解
常見勾股數(shù)：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；
8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股數(shù)拓展性質(zhì)：
一組勾股數(shù)，都擴大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).
知識講解
例1 下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法點撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.
知識講解
命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.
命題2 如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.
前面我們學習了兩個命題，分別為：
知識點三 互逆命題與互逆定理
知識講解
命題1：
直角三角形
a2+b2=c2
命題2：
直角三角形
a2+b2=c2
題設
結(jié)論
它們是題設和結(jié)論正好相反的兩個命題.
問題1 兩個命題的條件和結(jié)論分別是什么？
問題2 兩個命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？
知識講解
一般地，原命題成立時，它的逆命題既可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.
題設和結(jié)論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.
歸納總結(jié)
知識講解
例1 說出下列命題的逆命題,這些逆命題成立嗎？
(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；
(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；
(3)全等三角形的對應角相等；
(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.
內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.
如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.
對應角相等的三角形全等 .
在角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
成立
不成立
不成立
成立
知識講解
1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.0.5，2，2.5 D.1，3，5
2.將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數(shù),則得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形
C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
隨堂練習
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的對邊分別為a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,則△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,則△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,則△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形.
以上命題中的假命題有 （ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
A
隨堂練習
4.已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式 ，則△ABC的形狀________________．
等腰直角三角形
5.(1)一個三角形的三邊長分別為15cm、20cm、25cm，則這個三角形最長邊上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形兩底角相等”的逆定理為_______________________________________．
有兩個角相等的三角形是等腰三角形
隨堂練習
6.已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n為大于1的正整數(shù)).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC是直角三角形，邊AC所對的角是直角.
隨堂練習
勾股定理
的逆定理
內(nèi)容
作用
從三邊數(shù)量關(guān)系判定一個三角形是否是直角三角形
如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形
勾股數(shù)
互逆命題與互逆定理
課后小結(jié)
謝謝觀看
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展開更多......

收起↑