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人教版
數學 八年級
下
第十七章 勾股定理
17.1.2勾股定理的應用
1.會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題.
2.會運用勾股定理確定數軸上表示實數的點及解決網格問題.（重點）
3.能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯系，并進一步求出未知邊長.（難點）
4.靈活運用勾股定理進行計算，并會運用勾股定理解決相應的折疊問題.
學習目標
欣賞下面海螺的圖片：
在數學中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，
如第七屆國際數學教育大會的會徽.
這個圖是怎樣繪制出來的呢？
情境導入
知識點一 勾股定理的簡單實際應用
利用勾股定理解決生活中的實際問題，關鍵是將實際問題抽象成數學模型(直角三角形），再利用勾股定理進行求解.
運用勾股定理解決實際問題的一般步驟
實際問題
抽象出幾何圖形
確定所求線段在直角三角形中
確定直角邊和斜邊
求得線段長
利用勾股定理建立方程
知識講解
勾股定理應用的常見類型：
(1)已知直角三角形的任意兩邊長求第三邊；
(2)已知直角三角形的任意一邊長及另兩邊的數量關系求未知邊的長；
(3)證明包含由平方(算術平方根）關系的幾何問題；
(4)求解幾何體表面上的的最短路徑問題；
(5)構造方程(或方程組)計算有關線段的長度，解決生產，生活中的實際問題.
知識講解
問題 觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進門的情況，并結合曾小賢和胡一菲的做法，對于長竹竿進門之類的問題你有什么啟發？
這個跟我們學的勾股定理有關，將實際問題轉化為數學問題
知識講解
例1 一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過 為什么
2m
1m
A
B
D
C
分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.
解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內通過.
AC
知識講解
A
B
D
C
O
例2 如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎
∴OB=1.
解：在Rt△AOB中，根據勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
在Rt△COD中，根據勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
梯子底端外移約0.77m.
∴OD.
∴BD
知識講解
例3 在一次臺風的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？
8 米
6米
知識講解
8 米
6米
A
C
B
解：根據題意可以構建一直角三角形模型，如圖.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.
.
知識講解
知識點二 利用勾股定理求兩點距離及驗證“HL”
思考 在八年級上冊中，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？
已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′B ′，AC=A′C′．
求證：△ABC≌△A ′B ′C′．
A
B
C
A
B
C′
′
′
知識講解
A
B
C
A
B
C′
′
′
證明：在Rt△ABC和Rt△A ′B ′C ′中，
∠C=∠C′=90°，
根據勾股定理得,
知識講解
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
例1 如圖，在平面直角坐標系中有兩點
A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.
y
O
x
3
B
C
解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x,y軸的垂線.相交于點C,連接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點間的距離為5.
方法總結：兩點之間的距離公式：一般地，設平面上任意兩點
知識講解
C
B
A
問題 在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇A B 路線，而不選擇A C B路線，難道小狗也懂數學？
思考 在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？
知識點三 利用勾股定理求最短距離
（兩點之間線段最短）
知識講解
問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想沿側面從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？
B
A
知識講解
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：螞蟻走哪一條路線最近？
螞蟻A→B的路線
根據兩點之間線段最短易知第三個路線最近.
知識講解
求直線同側的兩點到直線上一點所連線段的和的最短路徑的方法：
先找到其中一點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段就是最短路徑長，以連接對稱點與另一個點的線段為斜邊，構造出直角三角形，再運用勾股定理求最短路徑.
知識講解
例1 若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.
B
A
3
O
12
側面展開圖
12
3π
A
B
A'
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據兩點之間線段最短確定最短路線.
知識講解
例2 有一個圓柱形油罐，要以A點環繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2 m，高AB是5m，π取3）
A
B
A
B
A'
B '
解：油罐的展開圖如圖，則AB'為梯子的最短距離.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
知識講解
例3 如圖，一個牧童在小河正南方向4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
東
北
解：如圖，作出點A關于河岸的對稱點A′，連接A′B則A′B就是最短路線.
由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得A′B
知識講解
-1 0 1 2 3
問題1 你能在數軸上畫出表示的點嗎？呢？
知識點四 勾股定理與數軸
知識講解
思考 根據上面問題你能在數軸上畫出表示的點嗎？
√
√
問題2 長為的線段能是直角邊的長都為正整數的直角三角形的斜邊嗎？
知識講解
0
1
2
3
4
步驟：
l
A
B
C
1.在數軸上找到點A,使OA=3;
2.作直線l⊥OA,在l上取一點B，使AB=2;
3.以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸交于C點，則點C即為表示的點.
O
知識講解
利用勾股定理表示無理數的方法:
（1）利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊.
（2）以原點為圓心，以無理數斜邊長為半徑畫弧與數軸存在交點.
在原點左邊的點表示是負無理數
在原點右邊的點表示是正無理數.
歸納總結
知識講解
“數學海螺”
類似地，利用勾股定理可以作出長為 線段.
1
1
類比遷移
知識講解
例1 如圖，數軸上點A所表示的數為a，求a的值.
解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊長為1和2，
∴斜邊長為 ，
即－1到A的距離是，
∴點A所表示的數為.
易錯點撥：求點表示的數時注意畫弧的起點不從原點起，則所表示的數不是斜邊長.
知識講解
例2 在如圖所示的6×8的網格中，每個小正方形的邊長都為1，寫出格點△ABC各頂點的坐標，并求出此三角形的周長．
解：由題圖得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周長為
知識講解
例3 如圖是由4個邊長為1的正方形構成的田字格，只用沒有刻度的直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為的線段？
解：如圖所示，有8條.
一個點一個點的找，不要漏解.
知識講解
折疊問題中結合勾股定理求線段長的方法:
(1)設一條未知線段的長為x(一般設所求線段的長為x)；
(2)用已知含x的代數式表示出其他線段長；
(3)在一個直角三角形中應用勾股定理列出一個關于x
的方程；
(4)解這個方程，從而求出所求線段長.
知識點五 勾股定理與圖形的計算
知識講解
例1 如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.
D
A
B
C
E
F
解：由折疊可知AD=AF=8,在Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2-AB2=102-82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC-BF=4.
設EC=x cm，則EF=DE=(8-x)cm ，
在Rt△ECF中,根據勾股定理
得 x2+ 42=(8-x)2，解得 x=3.即EC的長為3cm.
知識講解
1.從電線桿上離地面5m的C處向地面拉一條長為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（　　）
A.24m B.12m C. m D. m
D
隨堂練習
2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（　　）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
D
3.已知點(2,5),(-4,-3),則這兩點的距離為_______.
10
隨堂練習
D
4.小明學了利用勾股定理在數軸上作一個無理數后，在數軸上的2個單位長度的位置找一個點D，然后過點D作一條垂直于數軸的線段CD，CD為3個單位長度，以原點為圓心，原點到點C的距離為半徑作弧，交數軸于一點(如圖)，則該點位置大致在數軸
（　　）
A.2和3之間 B.3和4之間
C.4和5之間 D.5和6之間
B
隨堂練習
5.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵樹相距8米. 一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹
梢，問小鳥至少飛行多少米？
A
B
C
解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.
由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
所以AB
答：小鳥至少飛行10米.
隨堂練習
解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°,∴△ABD是等邊三角形.∴DB=8,∵∠ADC=150°,∴∠CDB=150°-60°=90°，
∴△BCD是直角三角形.又∵四邊形的周長為32cm，
∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).設CD=xcm，則BC=(16-x)cm，由勾股定理得82+x2=(16-x)2,
解得x=6.∴S△BCD=×6×8=24(cm2).
6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四邊形ABCD的周長為32cm，求△BCD的面積．
隨堂練習
勾股定理
的應用
用勾股定理解決實際問題
用勾股定理解決點的距離及路徑最短問題
解決“HL”判定方法證全等的正確性問題
勾股定理與數軸
在數軸上表示出無理數的點
利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算
課后小結
謝謝觀看
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