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人教版
數學 八年級
下
第十六章 二次根式
16.1.2二次根式的性質
1.經歷二次根式的性質的發現過程，體驗歸納、猜想的思想方法.（重點）
2.會運用二次根式的兩個性質進行化簡計算.（難點）
學習目標
問題1 下列數字誰能順利通過下面兩扇門進入客廳？
算術平方根之門
平方之門
0
-4
-1
a
a≥0
1
情境導入
正方形的邊長為 ，
用邊長表示正方形的面積)2，
又∵面積為a，
即 .
知識點一 )2 （a≥0）的性質
活動1 如圖是一塊具有民族風的正方形方巾，面積為a，求它的邊長，并用所求得的邊長表示出面積，你發現了什么？
知識講解
活動2 為了驗證活動1的結論是否具有廣泛性，下面根據算術平方根及平方的意義填空，你又發現了什么？
...
算術平方根
平方運算
0
2
4
...
a(a≥0)
02 = 0
...
觀察兩者有什么關系？
22 = 4
知識講解
4
2
0
根據活動2直接寫出結果，然后根據活動2的探究過程說明理由：
是2的算術平方根，根據算術平方根的意義，
是一個平方等于2的非負數.因此 .
同理，分別是0,4，的算術平方根，即得上面的等式.
知識講解
的性質：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0這一限制條件.這是使二次根式有意義的前提條件.
知識講解
例1 計算：
解：
積的乘方：
（ab）2=a2b2
(2)可以用到冪的哪條基本性質呢？
知識講解
例2 在實數范圍內分解因式：
解：
本題逆用了)2 在實數范圍內分解因式.在實數范圍內分解因式時，原來在有理數范圍內分解因式的方法和公式仍然適用.
知識講解
...
平方運算
算術平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
觀察兩者有什么關系？
填一填：
＝a (a≥0).
知識點二 的性質
知識講解
...
平方運算
算術平方根
-2
-0.1
...
2
...
觀察兩者有什么關系？
a(a＜0)
思考：當a＜0時，

解答：-a
知識講解
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一個數的平方的算術平方根等于它本身的絕對值.
的性質：
知識講解
例1 化簡：
解：
，而3.14＜π，要注意a的正負性.
知識講解
知識點3 二次根式的雙重非負性
具有雙重非負性：①
與的區別與聯系
1.區別：①取值范圍不同
②運算順序不同
③運算結果不同：(,
2.聯系：①與均為非負數
②當
知識講解
議一議：如何區別
與 ？
從運算順序看
從取值范圍看
從運算結果看
先開方,后平方
先平方，后開方
a≥0
a取任何實數
a
|a|
意義
表示一個非負數a的算術平方根的平方
表示一個實數a的平方的算術平方根
知識講解
例1 已知 ，求 的值.
解： , ，
, ，
, ，
, ，
.
知識講解
例2 若 ，求 的值.
解： , ,
, .
, .
, .
.
知識講解
例3 已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡：
分析：
利用三角形三邊關系
三邊長均為正數，a+b+c＞0
兩邊之和大于第三邊，b+c-a＞0，c-b-a＜0
知識講解
解：∵a、b、c是△ABC的三邊長，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．
知識講解
用基本運算符號（包括加、減、乘、除、乘方和開方）把 或 連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式.
數
表示數的字母
知識點三 代數式的定義
知識講解
列代數式的要點：
①要抓住關鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數、相反數等；
②理清語句層次明確運算順序；
③牢記一些概念和公式．
知識講解
例1（1）一條河的水流速度是2.5 km/h，船在靜水中的速度是v km/h，用代數式表示船在這條河中順水行駛和逆水行駛時的速度；
（2）如圖，小語要制作一個長與寬之比為5:3的長方形賀卡，若面積為S，用代數式表示出它的長.
解：（1）船在這條河中順水行駛的速度是
km/h，逆水行駛的速度是km/h．
（2）設賀卡的長為5x,則寬為3x.依題意得15x2=S，所以, 所以它的長為.
知識講解
1.在下列各式中，不是代數式的是（　　）
A.7 B.3＞2 C. D．
B
方法總結：單個的數字或字母也是代數式，代數式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
2.如圖是一圓形掛鐘，正面面積為S，用代數式表示出鐘的半徑為
__________.
隨堂練習
3.化簡：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ;（4） .
3
4
7
81
4.實數a在數軸上的位置如圖所示，化簡
的結果是 .
1
-1
0
1
2
a
隨堂練習
5.若 ，則 的取值范圍是( )
C
A.0 B. C. D.
變式1 若 ，則 的取值范圍是( )
D
A. B. C. D.
隨堂練習
二次根式
性質
＝a (a ≥0)
|a|（a為全體實數）
二次根式的雙重非負性
代數式的定義
課后小結
謝謝觀看
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