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人教版
數學 八年級
下
第十六章 二次根式
16.3.1二次根式的加減
1.了解二次根式的加、減運算法則.（重點）
2.會用二次根式的加、減運算法則進行簡單的運算.（難點）
學習目標
問題1 滿足什么條件的根式是最簡二次根式
問題2 化簡下列兩組二次根式，每組化簡后有什么共同特點
（1）被開方數不含分母；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.
化簡后被開方數相同
情境導入
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
在七年級我們就已經學過單項式加單項式的法則.觀察下圖并思考.
由上圖，易得2a+3a=5a.
當a= 時，分別代入左右得 ;
當a= 時，分別代入左右得 .
知識點一 在二次根式的加減運算中可以合并的二次根式
知識講解
因為 ,由前面知兩者可以合并.
你又有什么發現嗎
當a= ,b= 時，得2a+3b= .
a
2a+3b
b
=
+
b
b
a
前面依次往下推導，由特殊到一般易知二次根式的被開方數相同可以合并.繼續觀察下面的過程：
知識講解
歸納總結
將二次根式化成最簡式，如果被開方數相同，則這樣的二次根式可以合并.
注意：判斷幾個二次根式是否可以合并，一定都要化為最簡二次根式再判斷.
合并的方法與合并同類項類似，把根號外的因數(式)相加，根指數和被開方數(式)不變.如：
知識講解
例1 若最簡根式 與 可以合并，求 的值.
解：由題意得 解得
即
確定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被開方數相同，根指數都為2，列關于待定字母的方程求解即可.
知識講解
例2 如果最簡二次根式 與 可以合并，那么要使式子 有意義，求x的取值范圍.
解：由題意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
知識講解
思考 現有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖的方式，在這塊木板上截出兩個面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
問題1 怎樣列式求兩個正方形邊長的和
S=8dm2
S=18dm2
知識點二 二次根式的加減及其應用
知識講解
問題2 所列算式能直接進行加減運算嗎 如果不能,把式中各個二次根式化成最簡二次根式后，再試一試(說出每步運算的依據）.
（化成最簡二次根式）
（逆用分配律）
∴在這塊木板上可以截出兩個分別是8dm2和18dm2的正方形木板．
解：列式如下：
在有理數范圍內成立的運算律，在實數范圍內仍然成立.
知識講解
歸納總結
二次根式的加減法法則:
一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并.
(1)化——將非最簡二次根式的二次根式化簡；
加減法的運算步驟：
(2)找——找出被開方數相同的二次根式；
(3)并——把被開方數相同的二次根式合并.
“一化簡二判斷三合并”
知識講解
例1 計算:
解：
知識講解
化為最簡
二次根式
用分配
律合并
整式
加減
二次根
式性質
分配律
整式加
減法則
依據：二次根式的性質、分配律和整式加減法則.
基本思想：把二次根式加減問題轉化為整式加減問題．
知識講解
例2 計算:
解：
有括號，先去括號
知識講解
例3 已知a,b,c滿足
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c為三邊長能否構成三角形？若能構成三角形，求出其周長；若不能，請說明理由.
解：(1)由題意得 ；
(2)能.理由如下：∵ 即a＜c＜b，
又∵ ∴a+c＞b，
∴能構成三角形，周長為
分析：(1)若幾個非負數的和為零，則這幾個非負數必須為零；(2)根據三角形的三邊關系來判斷.
知識講解
例4 有一個等腰三角形的兩邊長分別為 ,，求其周長.
解： 當腰長為 時，
∵
∴此時能構成三角形，周長為
當腰長為 時，
∵
∴此時能構成三角形，周長為
二次根式的加減與等腰三角形的綜合運用，關鍵是要分類討論及會比較兩個二次根式的大小.
知識講解
1.下列計算正確的是（　　）
A. B.
C. D.
C
2.已知一個矩形的長為,寬為，則其周長為______.
隨堂練習
3.三角形的三邊長分別為,,則這個三角形的周長為__________.
4.計算:
隨堂練習
解：
5.計算:
隨堂練習
6.已知a，b都是有理數，現定義新運算：a*b= ，
求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
隨堂練習
二次根式加減
法則
注意
運算順序
運算原理
一般地，二次根式的加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并
運算律仍然適用
與實數的運算順序一樣
課后小結
謝謝觀看
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