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人教版
數學 八年級
下
第十六章 二次根式
16.1.1二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意義的條件，會求使二次根式有意義時字母的取值范圍.（重點）
3.會利用二次根式的非負性解決相關問題.（難點）
學習目標
問題1 什么叫做平方根
一般地，如果一個數的平方等于，那么這個數叫做a的平方根.
問題2 什么叫做算術平方根
如果（≥0），那么稱為a的算術平方根.用(表示.
問題3 什么數有算術平方根
我們知道,負數沒有平方根.因此，在實數范圍內開平方時，被開方數只能是正數或0.
情境導入
思考 用帶根號的式子填空，這些結果有什么特點？
(1)如圖 的圖片為正方形，若面積為2m2,則邊長為_____m；若面積為S m2，則邊長為_____m．
(2)如圖 的圖片為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．
圖
圖
知識點一 二次根式的概念
知識講解
（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s）與開始落下的高度h(單位：m）滿足關系h =5t2，如果用含有h的
式子表示t，那么t為_____．
知識講解
問題1 這些式子分別表示什么意義？
分別表示2，S，3， 的算術平方根．
上面問題中，得到的結果分別是：
①根指數都為2;
②被開方數為非負數.
問題2 這些式子有什么共同特征？
知識講解
一般地，我們把形如 (的式子叫做二次根式. “ ”稱為二次根號.
兩個必備特征
①外貌特征：含有“ ”
②內在特征：被開方數a≥0
注意：a可以是數，也可以是一個含有字母的式子，但前提是被開方數a必須大于或等于0.
知識講解
注意：識別二次根式的方法
是否含有二次根式
不是二次根式
被開方數是否為非負數
是二次根式
否
否
是
是
知識講解
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負數+正數”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
知識講解
例2 (1)下列式子是二次根式的是(　C　)
A. B. C. D.
C
(2)下列各式一定屬于二次根式的是( )
A. B. C. D.
(3)下列一定是二次根式的是(　D　)
A.－12 B. C. D.
B
D
知識講解
知識點2　二次根式有意義的條件(被開方數≥0)
二次根式無意義
字母表示
無意義
被開方數為非負數
被開方數為負數
條件
二次根式有意義
知識講解
(1)單個二次根式如 有意義的條件:A≥0；
(2)多個二次根式相加如 有意義的條件：
(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件A＞0；
(4)二次根式與分式的和如 有意義的條件:A≥0且B≠0.
知識講解
例1 當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
解：(1)∵無論x為何實數，
∴當x=1時， 在實數范圍內有意義.
(2)∵無論x為何實數，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴無論x為何實數， 在實數范圍內都無意義.
被開方數是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組，湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.
(1)
知識講解
例2 要使下列式子在實數范圍內有意義，求x的取值范圍。
解 (1)由，得當時在實數范圍內有意義.
(2)由，得當時，在實數范圍內有意義
(1)；
(2)；
(3).
(3)由，得當時，
在實數范圍內有意義.
知識講解
例3 當a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？
(1)；
(2).
解： (1)由，得.
當時，
在實數范圍內有意義.
(2)由，得
當時，
在實數范圍內有意義.
知識講解
例4 要使下列式子在實數范圍內有意義，求x的取值范圍.
(1)；
(2).
解：(1)由，得.
當時，
在實數范圍內有意義.
(2)由，，
得且.
當且時，
在實數范圍內有意義.
知識講解
1.下列各式是二次根式的是( )
A
A. B. C. D.
2.二次根式中，字母x的取值可以是(　D　)
A. x＝0 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝5
D
隨堂練習
3.代數式有意義的條件是(　C　)
A.x≠1 B.x≥0 C.x≥0且x≠1 D.0≤x≤1
4.代數式有意義時，x應滿足的條件為(　D　)
A. x≠1 B. x≥1 C. x＜1 D. x＞1
C
D
隨堂練習
5.（1）當x是怎樣的實數時， 在實數范圍內有意義？
解：由題意，得 ,解得 .
（2）若式子有意義，求x 的取值范圍.
由題意，得 , 解得 .
隨堂練習
6.如果實數x，y滿足y＝ 求2x＋y的立方根．
解：依題意，得x－3≥0，3－x≥0，
∴x＝3.
∴y＝2.
∴2x＋y＝2×3＋2＝8.
∴2x＋y的立方根為2.
隨堂練習
帶有二次根號
被開方數為非負數
二次根式
二次根式的概念
二次根式有意義的條件(被開方數≥0)
被開方數為非負數
課后小結
謝謝觀看
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