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14.3.1 提公因式法
第十四章 整式的乘法與因式分解
學習目標：
1、理解理解因式分解的意義和概念
2、掌握提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式．
預學匯報
1.運用整式乘法法則或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根據等式的性質填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
這些式子有什么共同點？
都是多項式化為幾個整式的積的形式
因式分解
定義：把一個多項式化為幾個整式的乘積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.
因式分解的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.
x2-1
(x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
共學探究
在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有 ，
不是的，請說明為什么？
③⑥
①am+bm+c=m(a+b)+c
②24x2y=3x ·8xy
③x2-1=(x+1)(x-1)
④(2x+1)2=4x2+4x+1
⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是積的運算
因式分解的對象是多項式
是整式乘法
每個因式必須是整式
⑤x2+x=x2(1+ )
共學探究
例1 下列從左到右的變形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
B
方法總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．
提公因式法
pa+pb+pc
問題1 觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
x2＋x
相同因式p
相同因式x
多項式中各項都含有的相同因式，叫作這個多項式的公因式.
提公因式法
(a+b+c)
pa+ pb +pc
=
p
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
定公因式
找3x 4y2– 6x3yz的公因式.
問題2 如何確定一個多項式的公因式？
3 x 4 y2 – 6 x3 y z
系數：最大公約數為3
字母：相同的字母x
指數：相同字母的最低次數為3
字母：相同的字母y
指數：相同字母的最低次數為1
所以公因式是3x3y
共學探究
1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母.
3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，
即取字母的最低次數.
正確找出多項式的公因式的步驟：
共學探究
(1) 3x+6y
(2) ab-2ac
(3) a 2-a 3
(4) 4(m+n) 2 +2(m+n)
(5) 9m 2n-6mn
(6) -6x 2y-8xy 2
找一找:下列各多項式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
活學活用
(1) 8a3b2 + 12ab3c
例1 把下列各式分解因式.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.
分析
提公因式法步驟：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即將多項式化為兩個因式的乘積.
公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
活學活用
解：原式=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
做整式乘法運算
(1) 8a3b2 + 12ab3c
例1 把下列各式分解因式.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
=4ab2(2a2+3bc)
解：原式=
(b+c)(2a-3)
如何檢查因式分解是否正確？
公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
針對訓練
＝(a＋b)(a－b－1)
解：原式＝
(b＋c)(2a－3)
(3)(a＋b)(a－b)－a－b
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)
(1)3a3c2＋12ab3c
因式分解
＝3ac(a2c＋4b3)
3ac·a2c＋3ac·4b3
解：原式＝
解：原式＝
(a＋b)(a－b)－(a＋b)·1
錯例講解
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式=3xy(4x + 6y)
解：原式=6xy(2x+3y)
小明的解法有誤嗎？
公因式沒有提盡，還可以提出公因式2
注意：公因式要提盡.
×
錯例講解
解：原式=x(3x-6y)
把3x2 - 6xy+x分解因式.
=x(3x-6y+1)
小亮的解法有誤嗎？
解：原式=3x·x-6y·x+1·x
×
注意：某項提完后莫漏1
當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是1.
錯例講解
提出負號時括號里的項沒變號
把-x2+xy-xz分解因式.
解：原式= -x(x+y-z)
解：原式= -(x2-xy+xz)
小華的解法有誤嗎？
= - x(x-y+z)
×
注意：首項有負常提負，提負要變號
典例精析
例3 計算：
解：原式＝20.16×(29＋72＋13－14)
＝13×20
解：原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
(1)39×37－13×91
＝260
＝2016
方法總結：在計算求值時，若式子各項都含有公因式， 用提取公因式的方法可使運算簡便．
挑戰自我
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)
解：∵a＋b＝7，ab＝4
＝4×7＝28
方法總結：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.
課堂小結

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