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14.2 乘法公式
第十四章 整式的乘法與因式分解
14.2.1 平方差公式
學習目標
1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導過程，掌握平方差
公式的結構特征.（重點）
2.靈活應用平方差公式進行計算和解決實際問題.（難點）
導入新課
復習引入
多項式與多項式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
講授新課
平方差公式
一
探究發(fā)現(xiàn)
面積變了嗎？
a米
5米
5米
a米
(a-5)
相等嗎？
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
算一算：看誰算得又快又準.
(a+b)(a b)=
a2 b2
兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方差.
公式變形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
知識要點
平方差公式
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
練一練：口答下列各題：
(l)(-a+b)(a+b)=_________.
(2)(a-b)(b+a)= __________.
(3)(-a-b)(-a+b)= ________.
(4)(a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
典例精析
例1 計算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2)（-x+2y)(-x-2y).
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解：（1）原式=(3x)2－22
=9x2－4；
方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式．
利用平方差公式計算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
針對訓練
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
例2 計算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.
不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進行運算.
針對訓練
計算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
例3 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
當x＝1，y＝2時，
例4 對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1.
n為正整數(shù)，
∴n2-1為整數(shù)
方法總結：對于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式，在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關系．
例5 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
∵a2＞a2－16，
解：李大媽吃虧了．
理由：原正方形的面積為a2，
改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16，
∴李大媽吃虧了．
方法總結：解決實際問題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡算式，解決問題．
1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
當堂練習
C
2.計算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．
10
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
原式=(-2x2 )2－y2
原式=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
4.利用平方差公式計算：
5.計算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ （20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
=1
6.利用平方差公式計算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
7.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
將x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
8.已知x≠1：
(1＋x)(1－x)＝1－x2，
(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝
(1)觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n為正整數(shù))
(2)根據(jù)你的猜想計算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
拓展提升
1－xn+1
-63
2n＋1－2　
x100－1　
(3)通過以上規(guī)律請你進行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2　
a3－b3　
a4－b4　
課堂小結
平方差公式
內(nèi)容
注意
兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差
1.符號表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.緊緊抓住 “一同一反”這一特征，在應用時，只有兩個二項式的積才有可能應用平方差公式；對于不能直接應用公式的，可能要經(jīng)過變形才可以應用

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