資源簡介

(共20張PPT)
2.2 基本不等式（第一課時）
授課教師：
1、理解基本不等式的定義，掌握基本不等式的證明方法以及幾何解釋;
2、會用基本不等式解決簡單的最值問題;
3、提升邏輯思維能力，感悟“執(zhí)果索因”的證明方法，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和觀察分析、抽象概括的能力。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
學(xué)習(xí)重點：基本不等式的定義，并用基本不等式解決簡單的最值問題.
學(xué)習(xí)難點：基本不等式的幾何解釋、用基本不等式解決最值問題.
學(xué)習(xí)重難點
情景導(dǎo)入
如圖，是我們抽象出來的在北京召開的第 24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，該會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.觀察這個圖案，回答問題：
（1）四個直角三角形面積的關(guān)系？
（2）直角三角形兩個直角邊的關(guān)系？
（3）大正方形的面積是？ 4個直角三角形的面積和是？ 它們兩者之間的大小關(guān)系是？
a2+b2＞2ab
相等
不相等
情景導(dǎo)入
由趙爽弦圖抽象出了一類重要不等式：
一般地， a、b∈R， 有a2+b2≥2ab ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.
（4）當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,可以得到什么結(jié)論
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有a +b =2ab.
概念講解
思考1：如果a>0, b>0, 我們用分別代替a,b,可得到什么結(jié)論呢？
由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式）
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
等號成立條件
幾何平均數(shù)
算術(shù)平均數(shù)
前提
條件
代數(shù)解釋：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
概念講解
思考2：我們通過考察a2+b2≥2ab的特殊情形獲得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式呢
基本不等式的證明
法一：作差法
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
概念講解
基本不等式的證明
法二：用分析法證明：
顯然，（5）是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（5）中的等號成立.
要證（2），只要證
-a-b0 （3）
要證（4），只要證
只要證
a+b （2）
要證
（1）

要證（3），只要證
（5）
（4）
“執(zhí)果索因”
要證明的結(jié)論
逐步尋求充分條件
顯然成立的結(jié)論或者已知條件
概念講解
基本不等式的證明
法三：用綜合法證明：
-a-b0
“由因?qū)Ч?br/>當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.
已知的條件
逐步推出必要條件
要證明的結(jié)論成立
概念講解
如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=，BC= .過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.則OD= ,CD= .
基本不等式的幾何解釋
，
= ，
，
思考：移動點C在AB上的位置，觀察CD和OD的關(guān)系？
概念講解
基本不等式的幾何解釋
思考：移動點C在AB上的位置，觀察CD和OD的關(guān)系？
所以用不等式表示為：
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
幾何解釋：在同一圓中半徑大于或者等于半弦，當(dāng)且僅當(dāng)弦過圓心時，等號成立.
例題講解
例1.已知，求的最小值.
思考1：“求的最小值”的含義是什么
分析：
“求的最小值”，就是要求一個(=),使都有
思考2：代數(shù)式什么結(jié)構(gòu)特點 能否用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？
本題中要求的代數(shù)式和的形式,而且=1.
例題講解
例1.已知，求的最小值.
解：因為，所以，
因此所求的最小值為2.
思考3：在上述解答過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)，即
時，等號成立”
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.
例題講解
思考3：在上述解答過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)，即
時，等號成立”
這是為了說明2是（>0)的一個取值，即等號可以取到，這樣才能說明的最小值為2.
思考4：請同學(xué)們想一想，當(dāng)2時，成立嗎？這時能說（>0)的最小值嗎？
不能，因為此時是（>0)的一個取值.
例題講解
例1.已知，求的最小值.
解：因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
因此所求的最小值為2.
一正
二定
三相等
積定和最小
例題講解
一正：各項必須為正
二定：各項之和或各項之積為定值
三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
一正
二定
三相等
和定積最大
例題講解
例2.已知x，y都是正數(shù)，求證：
(１)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2．
例題講解
例2.已知x，y都是正數(shù)，求證：
(１)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2．
證明：所以
（1）當(dāng)?shù)扔诙ㄖ礟時， ，∴
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，此時有最小值
（2）當(dāng)時， ，兩邊平方，
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，此時有最大值
積定和最小
和定積最大
課堂小結(jié)
重要不等式
基本不等式
替換
代數(shù)解釋
幾何解釋
應(yīng)用
一正二定三相等
證明方法
小結(jié)
跟蹤訓(xùn)練
1.當(dāng)取什么值時，取得最小值？最小值是多少
2.已知求1-的最大值.
3.已知直角三角形的面積等于50cm2,當(dāng)兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直角邊的和最小？最小值是多少？
1.已知
2.
3.
選做題
4.已知，求的最大值.2024年普通高中“課堂教學(xué)大比武”半決賽課時導(dǎo)學(xué)案
科目： 數(shù)學(xué) 授課教師： 班級： 學(xué)生姓名： 組別： 時間： 年 月 日（星期 ）
課 題 2.2 基本不等式 學(xué) 習(xí) 過 程 設(shè) 計
內(nèi)容分析 基本不等式是高中教材人教A版(2019)必修第一冊第二章第二節(jié)的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等式與不等式的性質(zhì)和掌握了一定的不等式證明方法等基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探究.基本不等式是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)的最簡單和最基本的情形.基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學(xué)模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值.本節(jié)內(nèi)容在一定程度上是前面學(xué)習(xí)的運(yùn)用，也是后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式證明的基礎(chǔ).通過基本不等式的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 學(xué)習(xí)環(huán)節(jié) 學(xué)生活動 課堂隨記
情境創(chuàng)設(shè) 問題1：如圖是我們抽象出來的在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，該會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.觀察這個圖案，回答問題： (1)四個直角三角形的面積什么關(guān)系？ (2)直角三角形的直角邊大小關(guān)系是？ (3)大正方形的面積是多少？4個直角三角形的 面積和是多少？它們兩者之間的大小關(guān)系是？ (4)當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,可以得到什么結(jié)論
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、理解基本不等式的定義，掌握基本不等式的證明方法以及幾何解釋; 2、會用基本不等式解決簡單問題; 3、提升邏輯思維能力，感悟“執(zhí)果索因"的證明方法，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和觀察分析、抽象概括的能力.
學(xué)習(xí)重點 基本不等式的定義，并用基本不等式解決簡單的最值問題
自主學(xué)習(xí) 思考1:特別地，若a>0,b>0，分別用代替上式中的a,b，可以得到什么樣的式子呢 思考2:我們通過考察ab的特殊情形獲得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式呢 問題2:在圖中，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點， AC=a,BC=b.過點C做垂直于AB的弦DE,連接AD,BD, 則OD= ,CD= ， 所以基本不等式的幾何解釋為？
學(xué)生分析 基本不等式是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，并且具備了一定的推理論證能力的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.但是，學(xué)生尚未學(xué)習(xí)“幾何平均數(shù)”、“最值”的含義，用幾何變化現(xiàn)象解釋變量變化也有一定困難.
學(xué)法指導(dǎo) 本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探究.在教學(xué)過程中，教師從實際出發(fā)，不斷創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極地觀察和分析，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)積極性，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間. (1)探究學(xué)習(xí)法:學(xué)生通過觀察分析趙爽弦圖，抽象概括出重要不等式; (2)自主學(xué)習(xí)法:以問題驅(qū)動課堂，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生去自主發(fā)現(xiàn)基本不等式; (3)反饋練習(xí)法:通過練習(xí)檢驗基本不等式的應(yīng)用情況，找出學(xué)生存在的問題，進(jìn)而幫助學(xué)生解決問題，從而充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性. 合作探究 例1:已知，求的最小值. 思考1：求的最小值的含義是什么 思考2：本題中求最小值的代數(shù)式在結(jié)構(gòu)上有什么特點 思考3：上述過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時等號成立.” 思考4：請同學(xué)們想一想，當(dāng)y0<2時，成立嗎？這時能說是（x>0）的最小值嗎？ 總結(jié)：根據(jù)例1的解答過程，你能說明滿足什么條件能夠用基本不等式求最值嗎 例 2: 已知x,y都是正數(shù)，求證: 如果積等于定值P，那么當(dāng)時，和有最小值; 如果和等于定值S,那么當(dāng)時，積有最大值
課前預(yù)習(xí) 內(nèi)容和要求 1.預(yù)習(xí)教材44-46頁，思考： ⑴基本不等式的定義是？ ⑵基本不等式的代數(shù)解釋和幾何解釋是？ ⑶教材中基本不等式是怎么證明的？你還有其他方法能證明嗎？ ⑷通過預(yù)習(xí)基本不等式的定義以及教材上的例題，思考利用基本不等式求最值需要滿足什么條件？如何利用基本不等式求最值？ 2.閱讀導(dǎo)學(xué)案，自己嘗試回答問題.
分組討論 分組實驗 座位前后左右四人一組 作業(yè)設(shè)計 必做題：教材46頁練習(xí)題3.4.5 選做題： 1.已知x>1,求的最小值. 2.求的最大值. 3.求x(1 3x)的最大值. 4.已知x<0，求的最大值.
學(xué)習(xí)資源 推薦 學(xué)習(xí)反思
附件：本課時教學(xué)內(nèi)容復(fù)印件2024年普通高中“課堂教學(xué)大比武”半決賽教學(xué)設(shè)計
科目： 數(shù)學(xué) 授課教師： 上課班級： 時間： 年 月 日（星期 ） 午第 節(jié)
課 題 2.2 基本不等式 教 學(xué) 過 程 設(shè) 計
教學(xué)目標(biāo) 1、理解基本不等式的定義，掌握基本不等式的證明方法以及幾何解釋; 2、會用基本不等式解決簡單問題; 3、提升邏輯思維能力，感悟“執(zhí)果索因"的證明方法，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和觀察分析、抽象概括的能力. 教學(xué)環(huán)節(jié) 老師活動 學(xué)生活動 設(shè)計意圖
議 5 分鐘 問題1：觀察第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)（趙爽弦圖） (1)四個直角三角形的面積（相等） (2)直角三角形的直角邊（不相等） (3)大正方形的面積是a +b ，4個直角三角形的面積和是2ab，它們兩者之間的大小關(guān)系：a +b > 2ab. (4)當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,a +b =2ab. 引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出重要不等式 通過對趙爽弦圖的分析，推導(dǎo)出重要不等式：一般地， a,b∈R，有a +b ≥ 2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立. 從趙爽弦圖出發(fā)，推導(dǎo)出重要不等式，為推導(dǎo)基本不等式作鋪墊.
教材分析 基本不等式是高中教材人教A版(2019)必修第一冊第二章第二節(jié)的內(nèi)容,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等式與不等式的性質(zhì)和掌握了一定的不等式證明方法等基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探究.基本不等式是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)的最簡單和最基本的情形.基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學(xué)模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值.本節(jié)內(nèi)容在一定程度上是前面學(xué)習(xí)的運(yùn)用，也是后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式證明的基礎(chǔ).通過基本不等式的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
導(dǎo) 20 分鐘 思考1:特別地，若a>0,b>0，分別用代替a,b，可以得到什么樣的式子呢 [教師提出問題，對學(xué)生的回答進(jìn)行補(bǔ)充] 思考2:我們通過考察ab的特殊情形獲得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式呢 [教師巡視學(xué)生的做法之后,與學(xué)生一起得到分析法證明的過程，同時指出，只要把上述過程倒過來，就能用不等式的性質(zhì)直接推出基本不等式了.] 問題2:AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C做垂直于AB的弦DE,連接AD,BD,則OD= ,CD= [教師巡視觀察學(xué)生思考探究情況和遇到的問題.] 學(xué)生推導(dǎo)出基本不等式： 當(dāng)a>0,b>0時，有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.叫做兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做兩個正數(shù)的幾何平均數(shù). 所以，基本不等式代數(shù)解釋:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù). 學(xué)生根據(jù)所學(xué)等式與不等式的性質(zhì)，來證明基本不等式; 學(xué)生閱讀教材探究，探索思考和幾何意義，從而思考基本不等式的幾何解釋. 由重要不等式推導(dǎo)出基本不等式，通過分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，加深對基本不等式的認(rèn)識. 根據(jù)不等式的性質(zhì)，采用不同的方法證明基本不等式，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“分析法”“執(zhí)果索因”的證明過程和證明格式. 將圖中的幾何元素與和建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生得到基本不等式的幾何解釋.
教學(xué)重點 基本不等式的定義，并用基本不等式解決簡單的最值問題
教學(xué)難點 基本不等式的幾何解釋、用基本不等式解決最值問題. 練 15 分鐘 例1:已知，求的最小值 思考1：求的最小值的含義是什么 思考2：本題中求最小值的代數(shù)式在結(jié)構(gòu)上有什么特點 思考3：上述過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時等號成立.” 思考4：請同學(xué)們想一想，當(dāng)y0<2時，（成立嗎？這時能說是（x>0)的最小值嗎？ 根據(jù)例1的解答過程，你能說明滿足什么條件能夠用基本不等式求最值嗎 例 2: 已知x,y都是正數(shù)，求證: 如果積等于定值P，那么當(dāng)時，和有最小值; 如果和等于定值S,那么當(dāng)時，積有最大值 學(xué)生討論，根據(jù)教師的引導(dǎo)，歸納出基本不等式的使用條件: (1)代數(shù)式能夠轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)的和或者積的形式; (2)它們的和或者積為定值; (3)代數(shù)式中等號可以取到. 通俗的說，即“一正二定三相等”. 自己獨立完成證明過程，并在老師的引導(dǎo)下，總結(jié)出基本不等式的最值定理：“積定和最小，和定積最大” 在學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識和認(rèn)知水平上，通過應(yīng)用基本不等式解決一個簡單的最小值問題抽象概括出利用基本不等式求最值時需要注意的問題 明確指出基本不等式能夠解決的兩類問題，為用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題創(chuàng)造條件.
學(xué)情分析 基本不等式是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，并且具備了一定的推理論證能力的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.但是，學(xué)生尚未學(xué)習(xí)“幾何平均數(shù)”、“最值”的含義;用幾何變化現(xiàn)象解釋變量變化也有一定困難.
學(xué)法指導(dǎo) 本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探究.在教學(xué)過程中，教師從實際出發(fā)，不斷創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極地觀察和分析，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)積極性，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間. (1)探究學(xué)習(xí)法:學(xué)生通過觀察分析趙爽弦圖，抽象概括出基本不等式; (2)自主學(xué)習(xí)法:以問題驅(qū)動課堂，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生去自主發(fā)現(xiàn)基本不等式; (3)反饋練習(xí)法:通過練習(xí)檢驗基本不等式的應(yīng)用情況，找出學(xué)生存在的問題，進(jìn)而幫助學(xué)生解決問題，從而充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性. 作業(yè)設(shè)計 必做題：教材46頁練習(xí)題3.4.5 選做題：1.已知x>1,求的最小值. 2.求的最大值. 3..求x(1 3x)的最大值. 4.已知x<0，求的最值.
板書設(shè)計 2.2 基本不等式 一.情景導(dǎo)入 三．課堂練習(xí) 重要不等式： 例1 “一正二定三相等” 二．新課教學(xué) 例2 “積定和最小，和定積最大” 1.基本不等式： 四．課堂小結(jié) 2.代數(shù)解釋 五．跟蹤訓(xùn)練 3.證明（作差法、分析法、綜合法） 4.幾何解釋
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