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15.3 分式方程
第十五章 分 式
第1課時 分式方程及其解法
人教版·八年級上冊
學習目標
1.掌握解分式方程的基本思路和解法.（重點）
2.理解分式方程時可能無解的原因.（難點）
導入新課
問題引入
一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時，它沿江以最大航速順流航行90千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等.設江水的流速為x千米/時，根據題意可列方程 .
這個程是我們以前學過的方程嗎？它與一元一次方程有什么區別？
講授新課
分式方程的概念
一
定義：
此方程的分母中含有未知數x，像這樣分母中含未知數的方程叫做分式方程.
知識要點
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法總結:判斷一個方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(注意：π不是未知數)．
你能試著解這個分式方程嗎？
（2）怎樣去分母？
（3）在方程兩邊乘什么樣的式子才能把每一個分母都約去？
（4）這樣做的依據是什么？
解分式方程最關鍵的問題是什么？
（1）如何把它轉化為整式方程呢？
“去分母”
分式方程的解法
二
方程各分母最簡公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程①兩邊同乘（30+x)(30-x)，得
檢驗：將x=6代入原分式方程中，左邊= =右邊，
因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解嗎？
解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母” 即方程兩邊同乘最簡公分母.這也是解分式方程的一般方法.
歸納
下面我們再討論一個分式方程：
解：方程兩邊同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解嗎？
檢驗：將x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都為0，相應的分式無意義.因此x=5雖是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，實際上，這個分式方程無解.
想一想：
上面兩個分式方程中，為什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解卻不是原分式方程的解呢？
真相揭秘： 分式兩邊同乘了不為0的式子,所得整式方程的解與分式方程的解相同.
我們再來觀察去分母的過程:
90(30-x)=60(30+x)
兩邊同乘(30+x)(30-x)
當x=6時,(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式兩邊同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母為0,這個整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
兩邊同乘(x+5)(x-5)
當x=5時, (x+5)(x-5)=0
解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母為0，所以分式方程的解必須檢驗．
怎樣檢驗？
這個整式方程的解是不是原分式的解呢？
分式方程解的檢驗------必不可少的步驟
檢驗方法：
將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.
1.在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程.
2.解這個整式方程.
3.把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則須舍去。
4.寫出原方程的根.
簡記為：“一化二解三檢四寫”.
知識要點
“去分母法”解分式方程的步驟
典例精析
例1 解方程
解： 方程兩邊乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
檢驗：當x=9時，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解為x=9.
例2 解方程
解： 方程兩邊乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
檢驗：當x=1時， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程無解.
用框圖的方式總結為：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
檢驗
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最簡公分母是
否為零？
否
是
例3
關于x的方程 的解是正數，則a的取值范圍是________________．
解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵方程的解是正數，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.
方法總結：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根據解的正負性，列關于未知字母的不等式求解，特別注意分母不能為0.
a＜－1且a≠－2
若關于x的分式方程 無解，求m的值．
例4
解析：先把分式方程化為整式方程，再分兩種情況討論求解：一元一次方程無解與分式方程有增根．
解：方程兩邊都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①當m－1＝0時，此方程無解，此時m＝1；
②方程有增根，則x＝2或x＝－2，
當x＝2時，代入(m－1)x＝－10得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
當x＝－2時，代入(m－1)x＝－10得
(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
方法總結：分式方程無解與分式方程有增根所表達的意義是不一樣的．
分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數，分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數，而且還包括分式方程化為整式方程后，使整式方程無解的數．
2. 要把方程 化為整式方程，方程兩邊可以同乘以（ ）
當堂練習
D
A. 3y-6 B. 3y
C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
1.下列關于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 時，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
4．若關于x的分式方程 無解，則m的值為 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
D
5. 解方程：
解：去分母，得
解得
檢驗：把 代入
所以原方程的解為
課堂小結
分式
方程
定 義
分母中含有未知數的方程叫做分式方程
注 意
(1)去分母時，原方程的整式部分漏乘．
步 驟
（去分母法）
一化（分式方程轉化為整式方程）；
二解（整式方程）；
三檢驗（代入最簡公分母看是否為零）
四寫 寫出原方程的根
(2)約去分母后，分子是多項式時,沒有添括號．(因分數線有括號的作用）
(3)忘記檢驗

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