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選擇必修
第五章 一元函數的導數及其應用
5.2 導數的運算
5.2.1 基本初等函數的導數
教學目標
學習目標 數學素養
1.能根據定義求函數y＝c，y＝x，y＝x2，y=x3, 的導數． 1.數學運算素養和邏輯推理素養.
2.掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用． 2.數學運算素養.
溫故知新
如果當 x→0時, 平均變化率無限接近一個確定的值, 即有極限, 則稱y=f(x)在x=x0處可導, 并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導數(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
1.導數的定義
從求函數y=f(x)在x=x0處導數的過程可以看到, 當x=x0時, f ′(x0) 是一個唯一確定的數. 這樣, 當x變化時, y= f ′(x)就是x的函數, 我們稱它為y=f(x)的導函數(derived function)(簡稱導數), y=f(x)的導函數有時也記作y',即
f ′(x)=y'=.
溫故知新
⑴求函數的增量 y=f(x+ x)-f(x);
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數f ′(x0)就是切線P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
3.如何求函數y=f(x)的導數
⑵求函數的增量與自變量的增量的比值
;
⑶求極限，得導函數f ′(x)=y'=.
新知探究
由導數的定義知，一個函數的導數是唯一確定的．我們今后遇到的求復雜函數的導數問題，是不是都要按照這三個步驟來完成呢？
這顯然是比較麻煩的.
在必修第一冊中，我們學過基本初等函數，并且知道，很多復雜的函數都是通過對這些函數進行加、減、乘、除等運算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函數的導數，然后研究出導數的“運算法則”，這樣就可以利用導數的運算法則和基本初等函數的導數求出復雜函數的導數．本節課開始，我們就來研究這些問題.
下面，我們先來求幾個常用函數的導數.
知新探究
1.函數 y＝f (x)＝c 的導數
∵=0.
∴y'==0.
x
y
O
y＝c
即 c'=0,
也就是說任意一個常數的導數是0.
若y=c(如圖)表示路程關于時間的函數，則y′=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止狀態. 所以路程保持不變，是關于時間的常值函數.
知新探究
2.函數 y＝f (x)＝x 的導數
∵=1,
若y=x (如圖)表示路程關于時間的函數，則y′=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.
∴y'==1.
即 x'=1.
x
y
y=x
O
知新探究
3.函數 y＝f (x)＝x2 的導數
∵
y′= 2x 表示函數y＝x2的圖象(如圖)上點(x, y)處切線的斜率為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化. 另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看， y′= 2x表明：當x<0時，隨著x的增加，|y′|越來越小， y＝x2減少得越來越慢；當x>0時，隨著x的增加， |y′|越來越大， y＝x2增加得越來越快.
∴y'=.
即 (x2)'=2x.
=
=2x+ x.
若 y＝x2表示位移關于時間的函數，則y′= 2x可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2x.
知新探究
4.函數 y＝f (x)＝x3 的導數
∵
y′= 3x2 表示函數y＝x3的圖象(如圖)上點(x, y)處切線的斜率為3x2,這說明隨x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負數.
∴y'=.
即 (x3)'=3x2.
=
=.
O
x
y
知新探究
5.函數 y＝f (x)＝ 的導數
∵
∴y'=.
即 ()'=.
=
知新探究
5.函數 y＝f (x)＝ 的導數
畫出函數的圖象.根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1，1)處的切線方程.
O
x
y
由函數圖象及y'=可知
當x<0時，隨著x的增加，函數減少得越來越快；
當x>0時，隨著x的增加，函數減少得越來越慢.
∵y'=，當x=1時，切線的斜率k=-1,
∴曲線在點(1，1)處的切線方程為y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
知新探究
6.函數 y＝f (x)＝的導數
∵
∴y'=.
即()'=.
=
=.
O
x
y
知新探究
x'=1,
()',
()'=.
(x2)'=2x,
(x3)'=3x2,
前面幾個函數都是我們學過的一類基本初等函數——冪函數，根據這些冪函數的導數結果，
你能總結出對于一般冪函數f(x)=的導函數公式嗎？
.
知新探究
前面我們根據導數的定義求出了一些常用函數的導數．一般地，有下面的基本初等函數的導數公式表（如下表），這些公式可以直接使用．
原函數 導函數
1.若f (x)＝c（c為常數）,
則f '(x)＝0；
2.若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
則f '(x)＝；
3.若f (x)＝,
則f '(x)＝；
4.若f (x)＝,
則f '(x)＝；
5.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝；
6.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝.
知新探究
【例1】求下列函數的導數：
⑴; ⑵ ;
⑶; ⑷.
解：
⑴y'=;
⑵y'=;
⑶y'=;
⑷∵,
∴y'=.
初試身手
⑴∵， ∴ y'=0;
1.求下列函數的導數:
⑴; ⑵;
⑶; ⑷.
解：
⑵y'=;
⑶y'=;
⑷∵,
∴y'=.
知新探究
【例2】已知曲線上一點P(e,1),求曲線在點P處的切線方程.
解：
∵，
∴y'=,
∴y'|x=e=,即切線斜率為.
∴曲線在點P處的切線方程為,
即.
初試身手
由圖形的直觀性可知，當P到直線l：x＋y＋2＝0的距離最小時，拋物線在點P處的切線與直線l是互相平行的，那么它們的斜率是相等的，即切線的斜率為－1.
2.已知點P為拋物線y＝x2上任意一點，當P到直線l：x＋y＋2＝0的距離最小時，求點P的坐標及點P到直線l的距離.
解：
設P(x0，y0)，則
y'|x=x0＝2x0＝－1，
∴x0＝,即P(),
∴由點到直線的距離公式知點P到l的距離為.
知新探究
【例3】假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價p(單位:元)與時間t(單位:年)之間的關系為p(t)=p0(1+5％) t , 其中p0為t=0時的物價. 假定某種商品的p0=1，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到0.01元/年)
解：
當p0=1時，p(t)=1.05t,
根據基本初等函數的導數公式表，有
p'(t)=.
∴p'(10)=≈0.08.
所以，在第10個年頭，這種商品的價格約以0.08元/年
的速度上漲．
如果某種商品的p0=5 ，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少
初試身手
∵s'＝，
3.若質點P的運動方程是s＝(s的單位為m，t的單位為s)，求質點P在t＝8時的瞬時速度．
解：
∴s'|t=8＝，
∴質點P在t＝8時的瞬時速度為 m/s.
課堂小結
基本初等函數的導數公式
1.若f (x)＝c（c為常數）,
則f '(x)＝0；
2.若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
則f '(x)＝；
3.若f (x)＝,
則f '(x)＝；
4.若f (x)＝,
則f '(x)＝；
5.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝；
6.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
則f '(x)＝；
特別地，若f (x)＝,
則f '(x)＝.
作業布置
作業：
P75 練習 第1,2，3，4題
盡情享受學習數學的快樂吧！
我們下節課再見！
謝謝
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