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第十一章 三角形
小結與復習
1. 三角形的三邊關系：
2. 三角形的分類
三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
按邊分
按角分
不等邊三角形
等腰三角形
腰和底不等的等腰三角形
等邊三角形
直角三角形
銳角三角形
鈍角三角形
要點梳理
3. 三角形的高、中線與角平分線
高：頂點與對邊垂足間的線段，三條高或其延長線
相交于一點(垂心）.
中線：頂點與對邊中點間的線段，三條中線相交于
一點（重心）.
角平分線：三條角平分線相交于一點（內心）.
要點梳理
4. 三角形的內角和與外角
要點梳理
(1)三角形的內角和等于180°；
(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
(3)三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角.
5. 多邊形及其內角和
n邊形內角和等于
n邊形的外角和等于
正多邊形的每個內角的度數是
正多邊形的每個外角的度數是
在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.正多邊形的各個角都相等，各條邊都相等的多邊形.
要點梳理
(n-2)×180 °(n ≥3的整數）.
360°.
例1 已知兩條線段的長分別是3cm、8cm ，要想拼成一個三角形，
且第三條線段a的長為奇數，問第三條線段應取多長？
考點講練
考點一 三角形的三邊關系
解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得
8-3∴ 5 ∵第三邊長為奇數
∴第三條邊長為 7cm或9cm.
1.以線段3、4、x-5為邊組成三角形，那么x的取值范圍
是 .
6針對訓練
歸納總結
三角形兩邊之和大于第三邊，可以用來判斷三條線段能否組成三角形，在運用中一定要注意檢查是否任意兩邊的和都大于第三邊，也可以直接檢查較小兩邊之和是否大于第三邊.三角形的三邊關系在求線段的取值范圍以及在證明線段的不等關系中有著重要的作用.
例2 等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，求另兩邊長.
考點講練
解：由于題中沒有指明邊長為6的邊是底還是腰，
∴分兩種情況討論：
當6為底邊長時，
當6為腰長時，
腰長為(16-6)÷2=5，
這時另兩邊長分別為5,5；
底邊長為16-6-6=4，
這時另兩邊長分別為6,4.
綜上所述，另兩邊長為5,5或6,4.
2.若(a-1)2+|b-2|=0,則以a,b為邊長的等腰三角形的周長為 .
針對訓練
【變式題】 已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這 個等腰三角形的周長為 ( )
A.16 B.20或16 C.20 D.12
C
5
考點講練
歸納：等腰三角形的底邊長不確定時，要分兩種情況討論，還 要注意三邊是否構成三角形.
例3 如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比 △ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．
考點講練
考點二 三角形中的重要線段
A
B
C
D
解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線
∴AD=BD
∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3
∴BC-AC=3
∵BC=8
∴AC=5
【變式題】 在△ABC中，AB=AC，DB為△ABC的中線，且BD 將△ABC周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．
考點講練
A
B
C
D
無圖時，注意分類討論
解：如圖，∵DB為△ABC的中線
∴AD=CD,
設AD=CD=x,
則AB=2x
當x+2x=12，解得x=4.
BC+x=15，
得BC=11.
此時△ABC的三邊長為AB=AC=8，BC=11；
當x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此時△ABC的三邊長為AB=AC=10，BC=7．
例4 如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段 AD、CE的中點，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．
考點講練
A
B
C
E
F
D
解：∵點E是AD的中點
∵點F是CE的中點
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12
∴S△BCE= S△ABC= ×24=12
∴S△BEF= S△BCE= ×12=6
3.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（　　）
針對訓練
C
歸納總結
歸納：三角形的中線分該三角形為面積相等的兩部分
4.如圖，①AD是△ABC的角平分線，則∠_____=∠____= ∠_____.
②AE是△ABC的中線，則_____=_____= _____，
③AF是△ABC的高線，則∠_____=∠_____=90°．
BAD
CAD
CAB
CE
BE
BC
AFB
AFC
考點講練
A
B
C
E
F
D
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三個內角，且分別滿足下列條件， 求∠A，∠B，∠C中未知角的度數.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
考點講練
考點三 有關三角形內、外角的計算
解:(1)由∠C＝54°知
∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①
∠A－∠B＝16°②
由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)設∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x .
則2x + 3x + 4x = 180°
解得 x=20°
∴∠A＝40°,∠B＝60°,∠C＝80°.
例6 如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，
∠BAC=63°，求∠DAC的度數．
考點講練
A
B
C
D
1
2
3
4
解：設∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．
∵∠BAC=63°
∴∠2+∠4=117°
即x+2x=117°
∴x=39°
∴∠3=∠4=78°
∴∠DAC=180°-∠3-∠4=24°
若題中沒有給出任意角的度數，僅給出數量關系，常用方程思想設未知數列方程求解
5.在△ABC中,三個內角∠A,∠B,∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，
則∠B= .
60°
6.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度
數是 ，∠FBC的度數是 .
7.如圖，在△ABC中，兩條角平分線
BD和CE相交于點O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度數是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
考點講練
例7 已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內角度數的 ，求這個多邊形的邊數.
考點講練
考點四 多邊形的內角和與外角和
解：設此多邊形的外角的度數為x,
則內角的度數為4x.
則x+4x=180°
解得 x=36°
∴邊數n=360°÷36°=10
歸納：在求邊數的問題中，常常利用定理列出方程，進而再求得邊數
例8 如圖，五邊形ABCDE的內角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4． 求∠CAD的度數．
考點講練
A
B
C
D
E
1
2
3
4
解：∵五邊形的內角和是540°
∴每個內角為540°÷5=108°
∴∠E=∠B=∠BAE=108°
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
由三角形內角和定理可知
∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°
∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°
【變式題】如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等，∠1=∠2=60°，
AB與DE有怎樣的位置關系？AD與BC有怎樣的位置關系？為什么？
考點講練
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵六邊形ABCDEF的內角都相等
∴六邊形ABCDEF的每一個內角都等于120°
∴∠EDC=∠FAB=120°
∵∠1=∠2=60°
∴∠EDA=∠DAB=60°
∴AB∥DE
∵∠C=120°，∠2=60°
∴∠2+∠C=180°
∴AD∥BC
A
B
C
D
E
F
1
2
8.已知一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍少180°，求這 個多邊形的邊數．
考點講練
解：設這個多邊形的邊數是n.
依題意得
（n-2）×180°=3×360°-180°
n-2=6-1
解得n=7
∴這個多邊形的邊數是7．
例9 如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,
△BDE是等邊三角形，求∠C的度數.
A
B
C
E
D
考點講練
考點五 本章中的思想方法
解：設∠C=x °,則∠ABC=x°.
∵△BDE是等邊三角形
∴∠ABE=60°
∴∠ EBC=x°-60°
在△BCE中，
根據三角形內角和定理，得
90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75
∴∠C=75 °
方程思想
【變式題】 如圖，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C, 求∠1的度數.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
考點講練
解：設∠ 1=x,根據題意得∠2=x.
∵∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2
∴∠3=2x, ∠4=x
∵∠3= ∠C
∴∠C=2x
在△ABC中，根據三角形內角和定理，得
x+2x+2x=180 °
解得x=36°
∴∠1=36 °
在角的求值問題中，常常利用圖形關系或內角、外角之間的關系進行轉化，然后通過三角形內角和定理列方程求解
例10 已知等腰三角形的兩邊長分別為10 和6 ，則三角形的周長 是　　　　　．
【解析】 由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時周長為26；第二種10為底，則6為腰，此時周長為22.
26或22
考點講練
分類討論思想
考點五 本章中的思想方法
【易錯提示】別忘了用三邊關系檢驗能否組成三角形
A
B
C
D
O
如圖，△AOC與△BOD是有一組對頂角的三角形，其形狀像數字“8”，我們不難發現有一重要結論： ∠A+∠C=∠B+∠D.這一圖形也是常見的基本圖形模型，我們稱它為“8字型”圖.
考點講練
化歸思想
考點五 本章中的思想方法
例11 如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數.
A
B
C
F
G
D
E
考點講練
解：連接CD，可知
∠FCD+∠GDC=∠F+∠G
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180 °=540 °
解析：所求問題不是常見的求多邊形的內角和問題，我們發現，只要連接CD便轉化為求五邊形的內角和問題.
課堂小結
課堂小結

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