資源簡介

基本不等式 教學(xué)設(shè)計
課型 新授課
教學(xué)內(nèi)容分析
從代數(shù)運(yùn)算、幾何意義等角度認(rèn)識基本不等式， 證明基本不等式。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握重要不等式及基本不等式的形式及其成立的條件，了解基本不等式的證明過程及幾何解釋。 2.在經(jīng)歷觀察，分析，猜想，論證的過程中，探索基本不等式；在利用圖形感知基本不等式的過程中，感受到數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；在經(jīng)歷不等式的證明過程中，體會分析法的證明思路。 3.在利用趙爽弦圖引出不等式的過程中，感受數(shù)學(xué)的文化價值，增強(qiáng)愛國熱情；在探索基本不等式幾何意義的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想。
學(xué)習(xí)重、難點
學(xué)習(xí)重點： 正確把握基本不等式的結(jié)構(gòu)特征以及從不同的角度探索基本不等式的證明過程。 學(xué)習(xí)難點： 從不同的角度探索基本不等式的證明。
學(xué)習(xí)評價設(shè)計
1、能否提煉、描述重要不等式，運(yùn)用不等式性質(zhì)證明重要不等式； 2、能否運(yùn)用文字語言描述基本不等式； 3、能否從“數(shù)”、“形”兩個角度解釋基本不等式，即運(yùn)用不等式性質(zhì)證明基本不等式，并用幾何圖形解釋基本不等式。
學(xué)習(xí)活動設(shè)計
環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境
【探究一】如右圖所示，同學(xué)們，這是北京召開的第 24 屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客. 弦圖是由四個全等的直角三角形以及中間的小正方形構(gòu)成的一個大正方形. (師)問題1：設(shè)每個直角三角形兩條直角邊的長分別為，那么大正方形的邊長為多少？面積為多少呢？ (生)邊長：； 面積: (師)問題2：4 個直角三角形的面積之和為多少呢？ (生) (師)問題3：根據(jù)圖形，大正方形的面積與4 個直角三角形的面積和之間存在怎樣的大小關(guān)系？我們可得到一個怎樣的不等式呢？ (生) (師)問題4：大正方形的面積與4個小直角三角形的面積之和能否相等？如果能，什么情況下它們會相等？ (生)當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形 EFGH 變成一個點，這時有，那么。
環(huán)節(jié)二：新課講授
（1）認(rèn)識重要不等式 (師)問題5：證明不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.（老師與學(xué)生共同完成） (生)證明（作差法）：， 當(dāng)時， 當(dāng)時， （當(dāng)時等號成立） 注意強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)時，. （設(shè)計意圖：這里主要介紹一個重要的不等式，從趙爽弦圖引入，讓學(xué)生感受到中國數(shù)學(xué)輝煌歷史的同時，也蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想.另一方面，該不等式的證明方法，為后面基本不等式的學(xué)習(xí)做鋪墊.） 重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。 注：在引入重要不等式時，是作為直角三角形的邊長引入的，此時隱含著的條件，教師要引導(dǎo)學(xué)生將重要不等式成立的條件推廣到任意實數(shù)。 （2）學(xué)習(xí)基本不等式 【探究二】先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個正方形的面積分別為和（），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎？ (生)通過學(xué)生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)： (師)問題6：我們剛剛得到的不等式與重要不等式有什么關(guān)系呢？ (生)用、分別代替重要不等式中的，則有 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立. （設(shè)計意圖：通過重要不等式導(dǎo)出基本不等式，思路清晰連貫，便于學(xué)生理解，同時，取等條件的推導(dǎo)過程對學(xué)生掌握基本不等式的取等有很大的幫助.） (師)問題7：同學(xué)們，我們可以用哪些證明方法來證明上述不等式？（小組討論） (生)作差法、作商法 分析法：要證 ① 只要證 ② 要證②，只要證 ③ 要證③，只要證 ④ 顯然，④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)時，④的等號成立。 綜合法： 即 （設(shè)計意圖：通過多種方法證明基本不等式，加深學(xué)生對基本不等式的理解，同時鞏固證明不等式的幾種方法.） 基本不等式：當(dāng)，時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立. 我們常把叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)的幾何平均數(shù). （3）理解基本不等式 文字?jǐn)⑹觯簝蓚€正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（板書）. 數(shù)列觀點：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項.（板書） 在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=，BC=。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD，則 CD= ， 半徑R= 。 (師)問題8：如果我們把CD稱為DE的半弦，你們能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？ (生)幾何解釋：在一個圓中，半徑不小于半弦（板書） （設(shè)計意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性） （4）理解基本不等式的常用變形式： ，
環(huán)節(jié)三：歸納小結(jié)
1、重要不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）； 2、基本不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）； 3、基本不等式的代數(shù)證明、幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）。

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