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勾股定理
據(jù)說，古埃及人曾用一條繩子做出了直角三角形。
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.
勾
股
勾
股
弦
？
b
a
c
a+b
如圖，有8張同樣的直角三角形紙片，設(shè)直角邊分別為a和b，斜邊為c；有兩個邊長為（a+b）的正方形。
a+b
現(xiàn)在把其中的4個直角三角形紙片擺在第一個圖內(nèi)；把另外的4個直角三角形紙片擺在第二個圖內(nèi)。
直角三角形直角邊分別為a和b，斜邊為c
a
a
b
b
c
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
a
a
b
b
a
b
現(xiàn)在把其中的4個直角三角形紙片擺在第一個圖內(nèi)；把另外的4個直角三角形紙片擺在第二個圖內(nèi)。
直角三角形直角邊分別為a和b，斜邊為c
1、將四個三角形擺放在第一個正方形內(nèi)，如圖一所示，則正方形Ⅰ的面積SⅠ = ，正方形Ⅱ的面積SⅡ = 。
2、將四個三角形擺放在第二個正方形內(nèi)，如圖二所示，則正方形Ⅲ的面積SⅢ = 。
3、正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面積有什么關(guān)系？
，即 。為什么？
。
a2
b2
c2
SⅠ+ SⅡ= SⅢ
a2+ b2= c2
因為大正方形的面積相等，而SⅠ+ SⅡ和SⅢ的面積都等于大正方形面積減去四個直角三角形的面積
圖一
圖二
小直角三角形的長直角邊等于a,短直角邊等于b，斜邊等于c.
勾股定理
如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么
即 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
幾何語言表示為：
則
C
B
a
c
b
A
在Rt△ABC中，∠C=90°
勾股定理
直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊平方。
用數(shù)學(xué)式子表示：c2=a2+b2
c=
a=
b=
C
B
a 勾
c 弦
b
A
觀察公式可以發(fā)現(xiàn)，如果已知直角三角形任意兩邊的長度，就可以利用勾股定理求第三邊的長。
3
4
┓
10
8
c=
a=
b=
求出下列直角三角形中未知邊的長度。
6
y
13
12
8
X
試一試:
例1
B
C
A
解
在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8 ,BC=6,
由勾股定理，得
AB2=AC2+BC2
=82+62=100
于是 AB= =10
所以，鋼絲繩的長度為10米.
100
如圖，電線桿AC的高為8m,從電線桿CA的頂端A處扯一根鋼絲繩，將另一端固定在地面上的B點，測得BC的長為6m.鋼絲繩AB的長度是多少？
如圖，要登上15米高的建筑物BC，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物距離AB為8米，問至少需要多長的梯子？
15m
B
C
A
8m
解：在Rt △ABC中,∠ABC=90°,
根據(jù)勾股定理得：
AC2= AB2 +BC 2
=82 + 152
=64+225
=289
即：AC=17
答：梯子至少長17米.
例2 如圖，小明同學(xué)折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=8cm，BC=4cm，你能求出CE的長嗎？
D
B
A
C
E
x
8-x
4cm
8-x
8cm
∟
關(guān)于折疊問題，要緊扣折疊前后的對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等.
解：如圖，連接BE.
∵A與B折疊后重合，
∴BE=AE.
設(shè)CE=x，則BE=AE=8-x，
在Rt△EBC中，由勾股定理得：
BE2＝CE2＋BC2，
∴(8-x)2＝x2＋42，x=3
∴CE=3cm.
C
B
a 勾
c 弦
b
A
勾股定理
a2+b2=c2
數(shù)形結(jié)合思想
由特殊到一般
c=
a=
b=
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.
勾
股
勾
股
弦
勾2+股2=弦2
5 或
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長為 .
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
2. 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將三角形紙片沿直線AD折疊，使點B落在AC上，與點E重合，求DE的長度.
B
D
A
C
E
xcm
xcm
(8-x)cm
4cm
6cm
8cm
10cm
6cm

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