資源簡介

(共57張PPT)
中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)--動(dòng)點(diǎn)中的隱圓問題
在中考數(shù)學(xué)中，有一些高頻考題，如線段的最值問題，動(dòng)點(diǎn)路程問題，幾乎每年各地都會(huì)有出現(xiàn)。在這些題目中的圖形中往往沒有出現(xiàn)“圓”，但在解題時(shí)卻要用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，我們把這樣類型的題目稱之為“隱圓模型”。
----看不見的圓
如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ．則CQ的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PDBF；④S△AEF為定值；⑤S四邊形PEFG＝S△APG．以上結(jié)論正確的有 　 　（填入正確的序號(hào)即可）．
主從聯(lián)動(dòng)
（瓜豆原理）
隱圓
（四點(diǎn)共圓）
圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個(gè)含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，DE＝12cm．當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AF方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D滑動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長為 _______cm．
在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
（2）當(dāng)a時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP周長的最小值；
（3）當(dāng)a1時(shí)，求QD的最大值。
點(diǎn)C在∠BAF的平分線上運(yùn)動(dòng)
將
軍
飲
馬
構(gòu)
造
二
次
函
數(shù)
如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)t＝PEPF，則t的取值范圍是 　 　．
如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連接BC，以BC為邊在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．
（1）略
（2）略
（3）如圖3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan∠CBA的值．
胡
不
歸
隱
圓
如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則ACBC的最大值為 　 　．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
胡不歸+定角定邊
構(gòu)造二次函數(shù)
模型背景
定
角
定
邊
定
角
定
邊
如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AE，BD交于點(diǎn)F，且始終滿足ADCE，則下列結(jié)論：①；②∠DFE＝135°；③△ABF面積的最大值是44；④CF的最小值是22．其中正確的是（　　）
A．①③ B．①②④ 、
C．②③④ D．①②③④
如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三個(gè)結(jié)論：①若tan∠ADF，則EF＝2；②若Rt△ABG的面積是正方形EFGH面積的3倍，則點(diǎn)F是AG的三等分點(diǎn)；③將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG'，則BG′的最大值為55．其中正確的結(jié)論是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
阿氏圓
定角定高
如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，c；④當(dāng)c＝3時(shí)，在△AOC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，若OP＝2，則CPAP的最小值為．其中正確結(jié)論有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)．若∠MAN＝45°，則MN的最小值為 　 　．
定點(diǎn)定長
定角定邊
如圖，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將△DEF沿EF翻折得△D′EF，連接AD'，BD'，則△ABD′面積的最小值為 　　．
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為 　　，最小值為 　　．
最大張角
如圖，已知兩條平行線l1、l2，點(diǎn)A是l1上的定點(diǎn)，AB⊥l2于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC＝BD，連接CD交線段AB于點(diǎn)E，BH⊥CD于點(diǎn)H，則當(dāng)∠BAH最大時(shí)，sin∠BAH的值為 　　．
模型背景
三、順應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》
《課標(biāo)》課程理念要求：課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”），發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。
模型背景
三、順應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》
課程目標(biāo)要求：初中階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)，創(chuàng)新意識(shí)。
模型背景
三、順應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》
課程內(nèi)容要求：第四學(xué)段（7-9年級(jí)）掌握（節(jié)選）
圖形的性質(zhì)
①掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短；
②理解垂線段的概念；
③理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念。
模型背景
三、順應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》
學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：第四學(xué)段（7-9年級(jí)）（節(jié)選）
知道運(yùn)動(dòng)過程的不變量、圖形運(yùn)動(dòng)的變化特征，能運(yùn)用幾何圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行推理證明。
模型背景
三、順應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》
學(xué)業(yè)水平考試：第四學(xué)段（7-9年級(jí)）（節(jié)選）
適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題比例，題目設(shè)置要注重創(chuàng)新真實(shí)情境，提出有意義的問題，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查。
有“圓” 千里來相會(huì)，無“圓” 對(duì)面不相識(shí)
尋找圓的“影子”， 使得“圓” 形畢露
常見的隱圓模型
模型1:定點(diǎn)定長型
動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)0的距離為d保持不變，則點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)0為圓心，d為半徑的圓弧.
圓的定義:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。
o
P
d
模型1:定點(diǎn)定長型
若AB=AC=AD.則點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上。
1.幾個(gè)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)距離相等可用圓(定點(diǎn)為圓心，相等距離為半徑)
模型1:定點(diǎn)定長型
1.幾個(gè)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)距離相等可用圓(定點(diǎn)為圓心，相等距離為半徑)
例1.如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2 ∠ BDC， ∠ BAC=44°，則∠ CAD的度數(shù)為_____.
模型1:定點(diǎn)定長型
例2.在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，現(xiàn)有一根長為2cm的木棒EF緊貼著矩形的邊(即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上)，按逆時(shí)針方向滑動(dòng)一周，則木棒EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中所圍成的圖形的面積為多少？
2.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離保持不變的可用圓
方法:先確定定點(diǎn)，定點(diǎn)為圓心，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑。
A
B
D
C
E
F
P
S=2x3-πx
=6-π
A
B
D
C
E
F
P
模型1:定點(diǎn)定長型
2.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離保持不變的可用圓
例3.如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，
且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為____
分析:
PA+PG=PA'+PG≥A'G
A'G的最小值為
A'D-DG=5-1=4
A’
一箭穿心
模型1:定點(diǎn)定長型
3.過定點(diǎn)作折疊的可用圓(定點(diǎn)為圓心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑)
例4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C，則A'C長度的最小值是____
【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'軌跡是以M點(diǎn)為圓心，MA為半徑的圓弧，連接CM，與圓的交點(diǎn)即為所求的A'，此時(shí)A'C的值最小，構(gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A'M即可.
模型1:定點(diǎn)定長型
3.過定點(diǎn)作折疊的可用圓(定點(diǎn)為圓心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑)
例5.如圖，在Rt △ABC中， ∠ C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并
且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處
則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是 _____.
【分析】考慮到將△ FCE沿
EF翻折得到△ FPE，可得P點(diǎn)軌跡是以F點(diǎn)為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓弧:過F點(diǎn)作FH⊥AB,與圓的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P到AB的距離最小，由相似或三角函數(shù)先求FH，再減去FP，即可得到PH.
一箭穿心+垂線段最短
模型1:定點(diǎn)定長型
例6.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△ FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的小值是_______.
【分析】F點(diǎn)軌跡是以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑的圓，作點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)D'，連接PD'，PF+PD化為PF+PD'.連接ED'，與圓的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，與BC交點(diǎn)為所求P點(diǎn)，勾股定理先求ED'再減去EF即可
D'
3.過定點(diǎn)作折疊的可用圓(定點(diǎn)為圓心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為半徑)
模型1:定點(diǎn)定長型
4.“瓜豆”里的隱圓(主從聯(lián)動(dòng)型，主動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓則從動(dòng)點(diǎn)的軌跡也是圓)
例7.(泰安)如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為( )
解析:
連接AB，取 AB的中點(diǎn)E，連接EM.易得EM 為△ABC的中位線，
EM=BC=1,OE=
OM 的最大值為 EM+OE= + .故選 B
主動(dòng)點(diǎn)--定點(diǎn)定長型 從動(dòng)點(diǎn)--定點(diǎn)定長型
E
(瓜豆)微課
A.C.2
模型1:定點(diǎn)定長型
方法二：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)
例7.(泰安)如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為( )
A.C.2
模型1:定點(diǎn)定長型
4.“瓜豆”里的隱圓(主從聯(lián)動(dòng)型，主動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓則從動(dòng)點(diǎn)的軌跡也是圓)
例8.如圖，AB=4，0為AB的中點(diǎn)， ⊙0的半徑為1，點(diǎn)P是⊙0上一動(dòng)點(diǎn)，
以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角△PBC(點(diǎn)P，B，C按逆時(shí)針方向排列)，則線
段AC長的取值范圍是 ____
O '
分析：連接O ‘C，連接OP，易得∠OBP=∠ O B‘C，所以 所以 O ‘C ，所以點(diǎn)C在以O(shè) ‘為圓心， 為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可求得A O ‘=2 ，因此AC的最大值為+ ，AC的最小值為 ，所以線段AC長的取值范圍是 .
模型2:直角對(duì)直徑
原理：圓O中，圓周角是90°所對(duì)的弦是直徑。
固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑。
A
B
C（動(dòng)點(diǎn)）
A
B
C（動(dòng)點(diǎn)）
模型2:直角對(duì)直徑
例9.在正方形ABCD中，AD=2，E，F(xiàn)分別為邊DC，CB上的點(diǎn)，且始終保持DE=CF，連接AE和DF交于點(diǎn)P，則線段CP的最小值為_____.
【解析】
如圖，在△ADE和△ DCF中，AD=DC，
∠ADE=∠DCE,DE=DF
∴ △ ADE△ DCF(SAS)
∴∠DAE=∠CDF
∴∠DAE+∠AED=90°
∴∠CDF+∠AED=90°
∠APD=90 °保持不變
∴點(diǎn) P的軌跡為以 AD為直徑的一段弧上
取 AD 中點(diǎn) 2，連接 C，與該圓弧交點(diǎn)即為點(diǎn) P,此時(shí) CP值最小，在 Rt△CQD中，CQ=5，CP=CQ-PQ=
模型2:直角對(duì)直徑
例10.如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是____.
【分析】
根據(jù)條件可知:∠DAG=∠DCG=∠ABE
易證AG⊥BE，即∠AHB=90°,
所以H點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧
當(dāng)D、H、0共線時(shí)，DH取到最小值
勾股定理可求，答案為-1
o
模型2:直角對(duì)直徑
例11.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點(diǎn)D是AC上的一
個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值_____.
【分析】
連接 CE，由于 CD為直徑，故∠CED=90°，考慮到 CD 是動(dòng)線段，故可以將此題看成定線段 CB 對(duì)直角∠CEB.取 CB 中點(diǎn) M，所以E點(diǎn)軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓弧，連接AM，與圓弧交點(diǎn)即為所求 E點(diǎn)，此時(shí)E值最小，AE=AM-EM=2-2.
模型3:定邊對(duì)定角
模型解讀
定邊對(duì)定角微課
P(動(dòng))
固定線段AB所對(duì)動(dòng)角P為定值則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓
P(動(dòng))
原理:弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等備注:點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可
模型3:定邊對(duì)定角
例12.如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn),則CP的最小值為________.
【分析】由BE=CF可推得三角形ABE≌三角形BCF，所以∠APF=60°但∠APF所對(duì)的邊AF是變化的:所以考慮∠APB=120°，其對(duì)邊AB是定值。所以如圖所示，P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓弧。(構(gòu)造OA=OB且∠AOB=120°)當(dāng)0、P、C共線時(shí)，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可.
O
模型3:定邊對(duì)定角
例13.如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P從點(diǎn)P向半徑0A引垂線PH交OA于點(diǎn)H，設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為________.
C
分析：由內(nèi)心的性質(zhì)可得∠PIO=135°
連接AI，∵OI平分∠AOP，OP=OA
∴ △AIO△PIO，
∴ ∠AIO=∠PIO=135°
∵ OA為定邊，∠AIO=135°為定角
∴ 點(diǎn)P在以O(shè)A為弦且圓心角為90°的圓弧上運(yùn)動(dòng)
記圓心為點(diǎn)C，易求得
由弧長公式可求得圓心I的運(yùn)動(dòng)路徑長.
模型3:定邊對(duì)定角
例14.如圖，已知以AB為直徑的圓O，C為弧AB的中點(diǎn)，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD垂直CP交AP于D，連接BD，若AB=6.則BD的最小值為_____.
分析:
連接 AC，易得∠P=45°，所以△CDP為等腰直角三角形，
∴∠ADC=135°為定角，AC為定邊。
∴圓心角∠AGC=90 °
∵AB=6，∴AC=，∴AG=CG=3
∴BG= =
G
例14.如圖，已知以AB為直徑的圓O，C為弧AB的中點(diǎn)，P為弧BC上任意一點(diǎn)，CD垂直CP交AP于D，連接BD，若AB=6.則BD的最小值為_____.
“瓜豆”分析--構(gòu)造“雙子型(手拉手模型)”
連接0C,作CG⊥CO,且 CG=C0,連接 0G，OP,易證得COP≌CGD，∴GD=0P=3，為定值。
點(diǎn)D在以G為圓心3為半徑的圓弧上。可求得 BG= =
G
方法二:定點(diǎn)定長型
模型4:定角夾定高
【題型背景】
在一些最值問題中，給定一個(gè)角，并且過定角的頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線為定值時(shí)，也存在最值問題，面對(duì)這種問題我們借助“隱圓”進(jìn)行說明:我們稱這種問題為:“定角夾定高”模型也成“探照燈”模型。
主要解決:(1)線段最短問題:(2)面積最小問題。
[模型]
如右圖所示，在△ABC中，∠BAC=為定值，AD為BC邊上的高，且AD=h為定值，則底邊BC存在最小值，△ABC面積存在最小值, △ABC周長存在最小值。
模型4:定角夾定高
【模型]如右圖所示，在三角形ABC中，∠BAC=為定值，AD為BC邊上的高且AD=h為定值，則底邊BC存在最小值，△ABC面積存在最小值.
[解題突破點(diǎn)]
1.找出“隱圓”——三角形外接圓
2.定高過外心(半徑+弦心距>定高)，即AB=AC（等腰三角形）
定角定高微課
模型4:定角夾定高
分析:當(dāng)高經(jīng)過外心時(shí)，BC最小，此時(shí)AB=AC,且∠A=60°，所以ABC為等邊三角形，所以可得BC=6.
r
例15.如圖在△ABC中，∠A=60°，BC邊上的高為求BC的最小值。
∵
∴
∴
∴
模型4:定角夾定高
例16.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=4,ADBC,∠B=60°,點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠EAF=60°,則AEF的面積是否存在最小值 若存在,求出其最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
F '
O
H
G
分析：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ABF′，則∠EAF′=60°
易證△AEF≌△AEF′ ，作△AE F′的外接圓⊙O，作OH⊥BC于點(diǎn)H，AG⊥BC于點(diǎn)G，
則∠F′OH＝60°，AG，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OH，
∵OA+OH,∴，∴，
∵∠FAE=∠F′AE=∠FOE＝60°
∴F′E=
∴S△AEF=S△AEF′EF′ AG，
∴△AEF面積的最小值是4．
模型4:定角夾定高
周長的最小值
某地舉辦了迎新年大型燈光秀表演．其中一個(gè)鐳射燈距城墻30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖，若將兩根光線（AB，AC）和光線與城墻的兩交點(diǎn)的連接的線段（BC）看作一個(gè)三角形，記為△ABC，那么該三角形周長有沒有最小值？若有，求出最小值，若沒有，說明理由．
延長CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD，
延長BC至點(diǎn)E，使CE=AC，連接AE。
D
E
當(dāng)點(diǎn)A、F、G、O四點(diǎn)共線時(shí)，半徑r最小，r，故DE最小。
解題突破點(diǎn)：AB=AC時(shí)，周長最小。
O
F
G
模型4:定角夾定高
定角夾定中線
定角夾定角平分線
中線倍長 定邊對(duì)定角
作雙高 定角夾定高
突破點(diǎn)：AB=AC時(shí),△ABC面積有最大值
突破點(diǎn)：AB=AC時(shí),△ABC面積有最小值
模型5:四點(diǎn)共圓
四點(diǎn)共圓的基本圖形
A
B
C
D
C
D
B
A
[對(duì)角互補(bǔ)型]
如圖，∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，
則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
[同側(cè)等角型]
如圖，∠A=∠C，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
模型5:四點(diǎn)共圓
例17.如圖，在正方形ABCD中，0為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為直角三角形∠CED=90°，∠DCE=30°，若 ，則正方形ABCD的面積為____.
F
分析：過點(diǎn)D作DF⊥OE于點(diǎn)F，設(shè)DF=x，則EF=x，OF=
∴
∴
∴
∴
模型5：四點(diǎn)共圓
o
例18.如圖，等邊△ABC中，AB=6，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥BC，PE ⊥AC，則DE的最小值為____.
：∵ ∠PEC=∠PDC=90°，
∴ P、D、C、E四點(diǎn)共圓，且CP為直徑，O為圓心
∴ ∠EOD=2∠ACB=120°，
∴ DE=要使DE最小，則⊙O的半徑r最小，故直徑PC最小。
當(dāng)CP⊥AB時(shí)，
∴,，
∴.
模型5：四點(diǎn)共圓
2.手拉手(雙子型)中的四點(diǎn)共圓
條件:△0CD∽△0AB
結(jié)論:
① △ 0AC ∽ △ 0BD:
②AC與BD交于點(diǎn)E，必有∠AEB=∠AOB;
③點(diǎn)E在△0AB的外接圓上.即O、A、B、E四點(diǎn)共圓. 同理:O、D、C、E也四點(diǎn)共圓.
模型5：四點(diǎn)共圓
2.手拉手(雙子型)中的四點(diǎn)共圓
例19.如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)，將△ BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度(0大于a小于180)；
(1)如圖②，當(dāng)0(2)如圖③，直線CE、AD交于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AGC的大小是否發(fā)生變化
如變化，請(qǐng)說明理由;如不變，請(qǐng)求出這個(gè)角的度數(shù);
(3)將△BDE從圖①位置繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路程
模型5：四點(diǎn)共圓
例19.如圖①，在鈍角ABC中，∠ABC=30°，AC=4，點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)，將BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度(0a≤180)
(1)如圖②，當(dāng)0(2)如圖③，直線CE、AD交于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AGC的大小是否發(fā)生變化
如變化，請(qǐng)說明理由;如不變，請(qǐng)求出這個(gè)角的度數(shù);
(3)將ΔBDE從圖①位置繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路程.
H
K
的長
點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路程是的長的兩倍．
米勒(Johannes Miier 1436--1476)德國數(shù)學(xué)家，對(duì)三角做出了巨大貢獻(xiàn),是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一。米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角學(xué)在歐洲取得獨(dú)立地位的第一部系統(tǒng)性著作。
1471年，米勒提出了一個(gè)有趣的問題:在地球表面什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長 即在什么部位，視角最大 最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問題之一。
模型6：“米勒問題”之最大張角
米勒問題一般的描述是:
已知，點(diǎn)A、B是∠MON的OM邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是ON邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大
問題解決:
當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與邊ON
相切于點(diǎn)C時(shí)，角ACB最大。
模型6：“米勒問題”之最大張角
最大張角微課
如何確定點(diǎn)C
問題解決:
1.C為切點(diǎn)。
2.∠OCB=∠OAC
3.=
模型6：“米勒問題”之最大張角
例20.如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=+bx+3與x軸交于A(-1.0)，B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)D，作DE ⊥ x軸，垂足為點(diǎn)E.雙曲線y=(x>0)經(jīng)過點(diǎn)D，連接MD，BD.
(1)求拋物線的解析式.
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿 0C方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),∠BPD的度數(shù)最大 (請(qǐng)直接寫出結(jié)果)
(1)A(-1，0)、C(0,3)、D(2，3)
y +2x+3
模型6：“米勒問題”之最大張角
例20.如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y= y=+bx+3與x軸交于A(-1.0)，B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥y鈾交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)D，作DE ⊥ x軸，垂足為點(diǎn)E.雙曲線y= (x>0)經(jīng)過點(diǎn)D，連接MD，BD.
(1)求拋物線的解析式.
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿 0C方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),∠BPD的度數(shù)最大 (請(qǐng)直接寫出結(jié)果)
思路1：找思路
G
P
模型6：“米勒問題”之最大張角
作△PBD的外接圓⊙G，使⊙G與y軸相切于點(diǎn)P,連接GP,GB,GD,
∵ P（0，t）,∴ 設(shè)G（r，t），由兩點(diǎn)間的距離公式可得：
解得：= =(舍去)
∴∴時(shí)， ∠BPD的度數(shù)最大。
G
P
例20.如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y= y=+bx+3與x軸交于A(-1.0)，B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥y鈾交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)D，作DE ⊥ x軸，垂足為點(diǎn)E.雙曲線y= (x>0)經(jīng)過點(diǎn)D，連接MD，BD.
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿 0C方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),∠BPD的度數(shù)最大 (請(qǐng)直接寫出結(jié)果)
模型6：“米勒問題”之最大張角
H
思路2：切割線定理
作△PBD的外接圓⊙G與y軸相切于點(diǎn)P，延長BD交y軸于點(diǎn)H，
由B（3,0）、D(2.3)可求得直線BD為：
y=-3x+9
∴H（0,9），HD=2， HB=3，
由切割線定理可得：=60
∴
∴
常見的“隱圓”模型思維導(dǎo)圖

展開更多......

收起↑