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/ 讓教學(xué)更有效 高效備課 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
8.1 平方根（第2課時 算術(shù)平方根）教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級下冊第八章 實(shí)數(shù) 8.1平方根，內(nèi)容包括：第2課時 算術(shù)平方根.
2.內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)方根的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，之前的平方根的學(xué)習(xí)為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了一定的知識基礎(chǔ)，更利于學(xué)生理解算術(shù)平方根的概念. 它不僅是對前面所學(xué)知識的鞏固,也為后面估算算術(shù)平方根，求算術(shù)平方根的整數(shù)和小數(shù)部分的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).教材通過對平方根概念的復(fù)習(xí)引入，直接給出算術(shù)平方根的定義，再由具體例子講解便于學(xué)生理解與掌握算術(shù)平方根的概念，并運(yùn)用概念，會求一個數(shù)的算術(shù)平方根.
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是: 理解算術(shù)平方根的概念并會求一個數(shù)的算術(shù)平方根.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）理解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；
（3）了解算術(shù)平方根的性質(zhì)并用其解題.
2.目標(biāo)解析
（1）教材由復(fù)習(xí)平方根引入，利于學(xué)生理解算術(shù)平方根的概念，理清平方根與算術(shù)平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系，知識生成開門見山，簡單深刻.通過小組討論，培養(yǎng)合作精神，讓學(xué)生在探索問題的過程中，體驗(yàn)解決問題的方法和樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣.
（2）學(xué)生能根據(jù)算術(shù)平方根的定義求一個非負(fù)數(shù)的平方根.
（3）了解算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性，并會用其解題，在具體的試題中，感受算術(shù)平方根雙重非負(fù)性條件的隱蔽性.
三、教學(xué)問題診斷分析
在本課學(xué)習(xí)之前，學(xué)生們已經(jīng)掌握了一些完全平方數(shù)，對乘方運(yùn)算也有一定的認(rèn)識,熟練地掌握了求一個數(shù)的平方根能很自然快速掌握求一個數(shù)的算術(shù)平方根，并對0的算術(shù)平方根作出規(guī)定，容易理解算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性，但是對于用非負(fù)性解決問題存在問題，在實(shí)際問題中雙重非負(fù)性條件的隱蔽性，學(xué)生容易忽略，通過做題歸納初中階段所有的非負(fù)性，便于學(xué)生掌握知識.
基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為: 了解算術(shù)平方根的性質(zhì)并用其解題.
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）復(fù)習(xí)引入
1.求下列各數(shù)的平方根
【設(shè)計(jì)意圖】回顧舊知引入，再次理解平方根，正的平方根和負(fù)的平方根，為引入新知做準(zhǔn)備.
（二）新知講解
定義：正數(shù)有兩個平方根，其中正的平方根 叫作的算術(shù)平方根
1.判斷下列說法是否正確.
(1) －7是49的平方根，7是49的算術(shù)平方根 （ √ ）
(2)是的算術(shù)平方根 （ ×）
(3)的算術(shù)平方根是4 （ × ）
(4)5是的算術(shù)平方根 （ × ）
(5)的算術(shù)平方根的相反數(shù)是 （ √ ）
【設(shè)計(jì)意圖】通過正反例講解讓學(xué)生深刻理解算術(shù)平方根的概念，也讓學(xué)生初步體驗(yàn)平方根與算術(shù)平方根之間的區(qū)別與聯(lián)系.
（三）典例講解
例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)-16
解(1)∵,∴的算術(shù)平方根是
(2)∵,∴的算術(shù)平方根是
(3)∵,∴的算術(shù)平方根是
(4)∵,∴的算術(shù)平方根是
(5)∵,∴的算術(shù)平方根是
(6)∵,∴的算術(shù)平方根是
(7)∵,∴的算術(shù)平方根是
(8)∵任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)， ∴-16沒有算術(shù)平方根
點(diǎn)撥：1.正數(shù)的算術(shù)平方根是個正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根；
2.被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根也越大
歸納總結(jié)：
平方根等于本身的數(shù)是 0 ，
算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是 0，1 ，
算術(shù)平方根和平方根相等的數(shù)是 0 ；
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生熟練運(yùn)用算術(shù)平方根的定義，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，并歸納出正數(shù)，負(fù)數(shù)，0的算術(shù)平方根的情況，通過歸納總結(jié)平方根和算術(shù)平方根之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生深刻理解算術(shù)平方根的定義.
（四）針對訓(xùn)練
1.說出下列各式的意義，并求它們的值
(1) (2) (3) (4) (5)
解(1) 的算術(shù)平方根，
(2)的算術(shù)平方根，
(3)的平方根，
(4)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，
(5)-3的平方的算術(shù)平方根，
2.計(jì)算下列各式的值
(1)
(2)
(3)
解：(1)原式；
(2)原式
(3)原式
3.填空(1)若的平方根為則的算術(shù)平方根為___3__
(2)若是的算術(shù)平方根,是的負(fù)平方根則的算術(shù)平方根為________
(3)如果，那么 =____6_
(4)如果的算術(shù)平方根等于2，那么
(5)若，= ；
點(diǎn)撥：是一種運(yùn)算符號，有根號時，要先算帶根號的.
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生能熟練地運(yùn)用算術(shù)平方根的定義解題，也能根據(jù)一個數(shù)的算術(shù)平方根求這個數(shù)，通過（3）（4）對比練習(xí)讓學(xué)生體會是一種運(yùn)算，攻克這個易錯易混點(diǎn).
（五）變式訓(xùn)練
1.已知的平方根是，的算術(shù)平方根是，求的算術(shù)平方根.
解：由題意可得
解得：
∴
2.已知的算術(shù)平方根是其本身，的算術(shù)平方根是，求的算術(shù)平方根．
解：由題意得：解得
∵算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是和
∴當(dāng)時
解得：
∴ ∴
當(dāng)時
解得：
∴
∴
綜上所述： 的算術(shù)平方根是或
【設(shè)計(jì)意圖】通過此題變式練習(xí)讓學(xué)生更加熟練理解算術(shù)平方根的定義，考查學(xué)生的綜合解題能力.
（六）新知講解
的算術(shù)平方根
(1) 結(jié)果為非負(fù)數(shù)
(2) 被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)
算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性
【設(shè)計(jì)意圖】通過對算術(shù)平方根結(jié)果的探究和被開方數(shù)的探究，得到算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性這一隱含條件，利于學(xué)生運(yùn)用這個知識點(diǎn)解題.
（七）典例講解
例2.已知：,求的值
解：由題意得：
解得：
∴
幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個數(shù)均為0，初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)有絕對值、偶次冪(n為正整數(shù))及一個數(shù)的算術(shù)平方根.
【設(shè)計(jì)意圖】通過本題練習(xí)一方面讓學(xué)生理解算術(shù)平方根的非負(fù)性，另一方面歸納整個初中階段的非負(fù)性，得到幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每個數(shù)均為0.
（八）針對訓(xùn)練
1.已知與互為相反數(shù)，求的算術(shù)平方根
解：由題意可得
∴
解得
∴
∵
∴ 的算術(shù)平方根是
【設(shè)計(jì)意圖】通過本題練習(xí)讓學(xué)生深刻理解算術(shù)平方根的非負(fù)性和熟練地運(yùn)用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題.
（九）拓展探究
1.已知，求的算術(shù)平方根．
解：∵ 和都為非負(fù)數(shù)
∴
∴
∴
2.若,求的值
解：由題意可得：
∵為非負(fù)數(shù)(即減數(shù)小于被減數(shù))
∴
∴
∴
∴
∴
【設(shè)計(jì)意圖】通過本題學(xué)生深刻理解算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性，由于這條件較為隱含，學(xué)生易忽略，利用練習(xí)讓學(xué)生能夠熟練解題，以及雙重非負(fù)性的考查途徑和考查方式.
（十）當(dāng)堂測試
1.數(shù)的算術(shù)平方根是（　A　）
A． B． C． D.
2．下列說法正確的是（　A　）
A.表示的算術(shù)平方根
B．表示的算術(shù)平方根
C．的算術(shù)平方根記作
D．是的算術(shù)平方根
3.計(jì)算
(1)256的平方根___________;算術(shù)平方根__________
(2)的平方根_________;算術(shù)平方根___________
(3)的平方根_________;算術(shù)平方根_________
(4)的平方根________;算術(shù)平方根_________
解(1) ； (2)； (3)； (4) ；
4.計(jì)算下列各式的值
(1)
(2)
(3)
解(1)原式.
(2)原式
(3)原式
5.已知的平方根為的算術(shù)平方根為
(1)求的值
(2)求的算術(shù)平方根5. 解方程
解(1)由題意可得:
解得：
(2)
6.已知求的值．
解：∵
∴
∴
即可得
7.若滿足關(guān)系式求的算術(shù)平方根
解：由題意可得：
∵和為非負(fù)數(shù)
∴
∴
∴
∴
8.用大小完全相同的塊正方形地板磚，鋪一間面積為60的會議室的地面，每塊地板磚的邊長是多少？
解:設(shè)每塊地板磚的邊長為.
由題意得
∴
∴
故每塊地板磚的邊長是.
【設(shè)計(jì)意圖】針對本節(jié)課所學(xué)，鞏固學(xué)生求一個數(shù)的算術(shù)平方根，會利用算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性解題和培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力.
（九）小結(jié)梳理
【設(shè)計(jì)意圖】通過課堂小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)的回顧和認(rèn)識，進(jìn)而形成一個清晰的脈絡(luò)，加深學(xué)生對算術(shù)平方根理解與掌握．
（十）布置作業(yè)
P43.練習(xí)1，P44練習(xí)2，3題.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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