資源簡介

/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
8.1 平方根（第1課時 平方根）教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊第八章 實數 8.1平方根，內容包括：第1課時 平方根.
2.內容解析
本節課是在學生學習了有理數以及有理數乘方的基礎上來學習平方根，之前的有理數乘方的學習為本節課學習奠定了一定的知識基礎，更利于學生找出一個正數的兩個平方根. 它不僅是對前面所學知識的鞏固,也為后面算術平方根的學習奠定了基礎.教材通過求具體數字的平方根引入，順勢給出平方根的定義，結合具體例子便于學生理解與掌握平方根的概念，并運用概念，會求一個數的平方根.
基于以上分析，本節課的教學重點是: 掌握平方根的概念并會求一個數的平方根.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）正確理解平方根的概念，會求一個數的平方根
（2）知道平方根的表示方法
（3）學生經歷由特殊到一般，培養學生觀察，歸納，類比的能力..
2.目標解析
（1）教材由具體數字引入，并引導學生利用有理數乘方公式反推出一個數的平方根，順勢引出平方根的概念過渡自然水到渠成.通過小組討論，培養合作精神，讓學生在探索問題的過程中，體驗解決問題的方法和樂趣，增強學習興趣.
（2）學生能根據平方根的定義求一個數的平方根.
（3）在實際問題中能運用平方根解決問題，并會表示一個數的平方根.
三、教學問題診斷分析
本節課平方根學習是建立有理數乘方學習的基礎上.由具體數字引入，讓學生更加清晰深刻地理解平方根的定義.本節課學生學習的困難之處在能表示一個數的平方根，理解平方根，正的平方根，負的平方根表示的區別，能在具體題目中理解”“”“”這三種所代表的不一樣的意義，一題一解讓學生對解題技巧和解題步驟有清楚的認知，最后通過拓展訓練培養學生綜合解題的能力.
基于以上分析，本節課的教學難點為: 認識和會表示一個數的平方根.
四、教學過程設計
（一）復習引入
觀看表格信息思考問題
有什么運算與乘方互為逆運算的嗎？
【設計意圖】通過復習引入，讓學生明白運算與運算之間的關系，并提出問題，激發學生思考和學習的興趣.
（二）新知講解
①任何數的平方都是一個非負數
②互為相反數的兩個數的平方相等
我們把0，分別叫作，的平方根
歸納：一般地，如果一個數的平方等于，那么這個數叫作的平方根或二次方根．這就是說，如果，那么叫作的平方根．
1.判斷下列說法是否正確。
①是的平方根. （ √ ）
②是的平方根. （ √ ）
③是的平方根. （ √ ）
④的平方根是. （ × ）
⑤是的一個平方根. （ × ）
⑥的平方根是; （ × ）
⑦一個數的一個平方根是，另一個平方根一定是（ √ ）
【設計意圖】通過正反例講解讓學生深刻理解平方根的概念，對比乘方的運算和求平方根的運算，讓學生掌握平方和開方互為逆運算.
（三）典例講解
例1 求下列各數的平方根：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
解(1)∵,∴的平方根是
(2)∵,∴的平方根是
(3)∵,∴的平方根是
(4)∵,∴的平方根是
(5)∵,∴的平方根是
(6)∵,∴的平方根是
(7)∵任何數的平方都是非負數,∴沒有平方根
(8)∵,∴的平方根是
歸納總結：
正數的平方根有兩個，它們互為相反數；
0的平方根就是0 ；
負數沒有平方根．
例2.解下列方程(1) (2)
(3) (4)
解(1)原式可變形為：
∵
∴或
解(2)原式可變形為：
∵
∴或
解(3)原式可變形為：
∵
∴或
解得：或
解(4)∵
∴或
解得或
點撥：變形為開方解方程得的值
【設計意圖】通過練習讓學生熟練運用平方根的定義，求一個數的平方根，并歸納出正數，負數，0的平方根的情況.
（四）新知講解
的平方根表示為，讀作：正負根號
表示的正的平方根
表示的負的平方根
表示的平方根
即得
1.判斷下列各式計算是否正確，并說明理由．
(1) ( × )
(2) ( √ )
(3) ( × )
(4) ( × )
(5)的平方根是±2 （ √ ）
2.下列各式是否有意義？為什么？
(1) (2) (3) (4) (5)
解(1)有意義
(2)無意義，負數沒有平方根，也就沒有負的平方根
(3)有意義
(4)有意義
(5)無意義，負數沒有平方根
歸納總結
因為負數沒有平方根
所以只有當時，有意義，而當時，沒有意義
【設計意圖】通過正反例辨別讓學生掌握正的平方根，負的平方根，平方根三者表示之間的聯系與區別.
（五）典例分析
例3 說出下列各式的意義，并求它們的值
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
解(1)196的平方根；
(2) 的平方根；
(3)的平方根；
(4)的平方根；
(5)169的正的平方根；
(6)0.0049的負的平方根；
(7)的負的平方根；
(8)的正的平方根；
【設計意圖】通過此題練習讓學生更加熟練辨別正的平方根，負的平方根和平方根三者表示之間異同，準確理解式子的含義.
（六）變式訓練
1.計算下列各式
(1)__________ (2)__________
(3)________ (4)_______
2.若則的值為_______
3.若，則的值為_______
4.的平方根是________
5.的平方根是__________
6.若平方根是,則=________
解1.(1) (2) (3) (4)
2.
3.49
4.
5.
6.4
點撥：的平方根：表示的意義為A的正的平方根，即應先算出的值，再求其平方根
7.已知且是正數，求的值
解：由
∴
即得
∵是正數
∴
∴
【設計意圖】通過練習讓學生更加熟練運用平方根解決問題，利用(4)(5)對比兩者的區別，這也是學生一個高頻錯誤點，針對這個錯誤提出了解決方法.
（七）拓展探究
1.已知的平方根是，的平方根是它本身，求的平方根
解：由題意可得，
解得：
∴
2.已知的兩個平方根是與，求的值.　
解：由題意可得
解得：
∴的兩個平方根分別和
∴
3.若與是數的平方根，求這個數 .
解：由題意可得當時，
解得：
∴的兩個平方根分別和
∴
當時
解得：
∴是的平方根
∴
綜上所述：這個數是或
點撥：
①若M的平方根為和：
②若和是M的平方根： 或
4.對定義運算“*”如下: ，已知則求數的值
解：由題意得：
當時，
,
解得 (舍去)
當時，
解得或(舍去)
綜上所述：
【設計意圖】通過練習側重學生培養學生綜合解決問題的能力，通過（2）（3）實例區別兩種表述的不同，利于學生理解和掌握此知識點.
（八）當堂測試
1.9的平方根是( A )
A. B. C. D.
2.下面說法中不正確的是( D )
A.4是16的平方根 B.－4是16的平方根
C.16的平方根是4 D.16的平方根是4
3.下列式子錯誤的是( B )
A. B.
C. D.
4.的平方根分別是，則的值為____1_____
5.計算下列式子
(1)________ (2)________
(3)________ (4)________
(5)_______ (6)_______
解(1)15 (2) (3) (4) (5) (6)
6. 解方程
(1) (2)
(3) (4)
解(1)
(2)或
(3)
(4)
7.已知的平方根是，的平方根是，求的平方根
解：由題意可得
解得：
∴
8.若與是的平方根，求與這個數
解：由題意可得當時，
解得：
∴的兩個平方根分別和
∴
當時
解得：
∴是的平方根
∴
綜上所述：當時，；當時，
【設計意圖】針對本節課所學，鞏固學生求一個數的平方根，理解式子的意義和培養學生綜合解題的能力.
（九）小結梳理
【設計意圖】通過課堂小結，使學生對本節課的知識有一個系統的回顧和認識，進而形成一個清晰的脈絡，加深學生對平方根理解與掌握．
（十）布置作業
P41.練習1，P42練習2，3題.
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