資源簡介

/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
7.1.2 兩條直線垂直 教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第七章“相交線與平行線”7.1.2兩條直線垂直，內容包括：理解垂線、垂線段等概念；能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線；掌握基本事實：同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.
2.內容解析
本節課是在學生已經學習了相交線、對頂角等知識的基礎上，進一步研究兩條直線相交的特殊情況——垂直，學習垂線的概念和性質，點到直線的距離等知識，是進一步學習空間里的垂直關系，研究三角形、四邊形等平面圖形以及平面直角坐標系等知識的基礎．
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：理解垂線的概念和性質.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）理解垂線、垂線段的概念；能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線；掌握基本事實：同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.
（2）經歷觀察、思考、探究、猜想、驗證等活動歸納出垂線的概念和性質，體會從一般到特殊的數學思想方法，進一步培養觀察、分析、歸納能力，發展空間觀念.
（3）會利用所學知識進行簡單的推理，感受數學語言的簡潔美，并能將學到的知識應用到生活中去，增強應用意識．
2.目標解析
在本節課的學習中，學生從相交線出發，研究特殊的相交——垂直，在這個過程中感悟“從一般到特殊”的數學研究路徑. 學生在觀察、思考、探究、猜想、驗證的過程中，逐步提高幾何直觀和邏輯推理能力，為今后學習幾何證明打下基礎.
學生從實際問題中抽象出垂直模型，再用數學知識解決實際問題，在這個過程中逐步提高數學應用能力和數學建模的核心素養.
三、教學問題診斷分析
關于“有且只有”的學習：
“有且只有”是一種比較嚴謹的數學邏輯用語，它和日常生活中相對模糊的表達習慣不同. “有”表示存在，“只有”表示唯一性，合起來就是強調存在且唯一. 對于初次接觸這種說法的學生來說，這種精確的雙重限定的表達比較復雜. 另外，要正確運用“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這個基本事實來解決問題，需要學生具備較強的邏輯思維能力.
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：理解關于垂線的基本事實.
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題1 如圖，在相交線的模型中，如果兩根木條a，b所成的角中有一個角∠α=35 ，其他三個角分別等于多少度？如果∠α等于90 呢？
設計意圖：結合上一節課的研究內容展開本節課的學習，不僅可以讓學生感悟“從一般到特殊”的數學研究路徑，還可以加強知識間的聯系，幫助學生建構數學知識體系.
（二）合作探究
1.垂直
一般地，當兩條直線a、b相交所成的四個角中有一個角是直角時，我們說a與b互相垂直，記作“a⊥b”.
2.垂線和垂足
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足. 如圖，AB⊥CD，垂足為O.
3.垂線的性質
如果直線AB，CD相交于點O，∠AOD=90 ，那么AB⊥CD.
推理過程
因為 ∠AOD=90 ，
所以 AB⊥CD.
4.垂線的判定
如果AB⊥CD，那么∠AOD=90 .
推理過程
因為 AB⊥CD，
所以 ∠AOD=90 .
問題2 兩條直線垂直和相交是什么關系？
答：垂直是相交的特殊情況.
問題3 如何判定兩條射線垂直？兩條線段呢？
答：兩條射線垂直、兩條線段垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．
問題4 在日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見.你能再舉出其他例子嗎？
探究1 用三角尺畫已知直線l的垂線.
(1)經過直線l上一點A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
(2)經過直線l外一點B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？
關于垂線的基本事實
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
設計意圖：在學習了垂直的相關概念和性質之后，讓學生聯系生活實際，從生活中發現垂直模型，這個過程加強了數學與現實世界的聯系，有助于數學抽象的核心素養的培養.
（三）典例分析
例2 如圖，過點P畫出射線AB或線段AB的垂線.
（畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線. ）
（2） （3）
（四）合作探究
問題5 如圖，在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖渠能使渠道最短？
探究2 如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，垂足為O，我們稱PO為點P到直線l的垂線段. A是直線l上除點O外一點，連接PA. 測量并比較線段PO與PA的長度，你能得到什么結論？改變點A的位置呢？
結論：線段PO的長度比線段PA的長度短.
驗證：利用幾何畫板軟件進行驗證.
1.垂線段最短
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡單說成垂線段最短.
2.點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.
問題解決：
設計意圖：學生在度量、猜想的基礎上，運用信息技術手段（幾何畫板）進行驗證，一是提高研究的一般性，體現邏輯的嚴密性；二是通過動態演示變化過程，幫助學生感受變化過程中的不變規律，增強幾何直觀，化抽象為形象.
鞏固練習
1. 當兩條直線相交所成的四個角都相等時，這兩條直線有什么位置關系，為什么？
解：這兩條直線是垂直關系.
因為 兩條直線相交所成的四個角都相等，
所以 每個角都是360 ÷4=90 ，
所以 這兩條直線是垂直關系.
2. 如果只有直尺，你能在方格紙上畫出兩條互相垂直的直線嗎？
3. 如圖，在一張半透明的紙上畫一條直線l，在l上任取一點P，在l外任取一點Q，折出過點P且與l垂直的直線，這樣的直線能折出幾條？為什么？過點Q呢？
解：過點P且與l垂直的直線只能折出一條，過點Q且與l垂直的直線也只能折出一條.因為在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
4. 如圖，分別過點P畫直線AB，CD的垂線，并量出點P到直線AB的距離.
（點P到直線AB的距離就是線段PQ的長度.）
5. 如圖，在三角形ABC中，∠C=90 .
(1)分別指出點A到直線CB，點B到直線AC的距離是哪些線段的長度？
(2)三條邊AB，AC，CB中哪條邊最長，為什么？
解：(1)點A到直線CB的距離是線段AC的長度；點B到直線AC的距離是線段BC的長度.
(2)三條邊中AB邊最長，理由如下：
因為垂線段最短，
所以AB>AC，AB>BC，
所以AB邊最長.
6. 如圖，AB⊥l，CB⊥l，B為垂足，那么A，B，C三點在同一條直線上嗎？請說明理由.
解：A，B，C三點在同一條直線上.
理由如下：
因為 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，
所以 若AB⊥l，BC⊥l，則直線AB與直線BC重合，
所以 A，B，C三點在同一條直線上．
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略.
歸納總結
感受中考
1. (2024 北京)如圖，直線AB和CD相交于點O，OE⊥OC．若∠AOC＝58 ，則∠EOB的大小為（B）A．29 B．32 C．45 D．58
第1題圖 第2題圖
2. (2020 河北)如圖，在平面內作已知直線m的垂線，可作垂線的條數有（D）
A．0條 B．1條 C．2條 D．無數條
3. (2016 淄博)如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別為A，D，則圖中能表示點到直線距離的線段共有（D）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
第3題圖 第4題圖
4. (2020 吉林)如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處．這樣做最節省水管長度，其數學道理是 　 　．
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（八）小結梳理
（九）布置作業
1.必做題：習題7.1 第3題，第4題，第6題.
2.選做題：選做題：用量角器畫已知直線l的垂線.
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