資源簡介

/ 讓教學(xué)更有效 高效備課 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
7.1.1 兩條直線相交 教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第七章“相交線與平行線”7.1.1兩條直線相交，內(nèi)容包括：理解鄰補(bǔ)角、對頂角的概念，探索并掌握鄰補(bǔ)角、對頂角的性質(zhì).
2.內(nèi)容解析
本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、射線、線段和角的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究平面內(nèi)不重合的兩條直線的一種位置關(guān)系——相交，研究相交線所形成的鄰補(bǔ)角、對頂角的位置和數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)更深入的幾何學(xué)習(xí)提供必要的知識儲備.鄰補(bǔ)角、對頂角的概念及性質(zhì)是解決幾何問題的常用工具，在后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形、相似形、圓等幾何知識時，經(jīng)常會用到這些基礎(chǔ)概念和定理來進(jìn)行推理和計算.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：探索并掌握鄰補(bǔ)角、對頂角的性質(zhì).
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
(1)借助實際物體理解鄰補(bǔ)角，對頂角的概念，初步發(fā)展抽象能力.
(2)經(jīng)歷度量，幾何畫板驗證，演繹證明等過程探索鄰補(bǔ)角，對頂角的性質(zhì)，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯， 形成幾何直觀和推理能力.
(3)運用鄰補(bǔ)角，對頂角的性質(zhì)解決中考題，進(jìn)一步發(fā)展運算能力和推理能力.　
2.目標(biāo)解析
在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要從實際問題中抽象出幾何模型，并將生活中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識來解釋，以提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和建模思想.
學(xué)生需要在觀察、度量、猜想、驗證和推理的過程中，逐步提高幾何直觀和邏輯推理能力，為今后學(xué)習(xí)幾何證明打下基礎(chǔ).
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生初次學(xué)習(xí)幾何證明面臨以下問題：
1.學(xué)生難以把握證明的思路和方向，一方面不知道從哪些已知條件入手，另一方面不清楚如何根據(jù)條件推出結(jié)論.
2.幾何證明過程需要運用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，部分學(xué)生在描述證明過程時容易出現(xiàn)表達(dá)不準(zhǔn)確或不完整的情況.
3.幾何證明通常是基于圖形進(jìn)行的，部分學(xué)生不能快速準(zhǔn)確地從復(fù)雜圖形中提取出有效信息.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：對頂角的性質(zhì)的演繹證明及其應(yīng)用.
四、教學(xué)過程設(shè)計
（一）情景引入
問題1 觀察下列圖片，你能否看到相交線？
問題2 你能再舉出一些相交線的實例嗎？
問題3 取兩根木條a、b，將它們釘在一起，并把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線的模型. 在轉(zhuǎn)動木條的過程中，它們所成的角也在變化，你能發(fā)現(xiàn)這些角之間不變的關(guān)系嗎？
設(shè)計意圖：結(jié)合生活實例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，還可以促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
（二）合作探究1
探究1 任意畫兩條相交的直線，形成四個角，∠1和∠2有怎樣的位置關(guān)系？∠1和∠3呢？
答：∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線. 具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角.∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線. 具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角.
追問：圖中還有沒有其他鄰補(bǔ)角與對頂角？
（三）鞏固練習(xí)1
1. 在下列各圖中，∠1和∠2是不是鄰補(bǔ)角？
(1) (2) (3)
答：(1)不是；(2)不是；(3)是.
2. 在下列各圖中，∠1和∠2是不是對頂角？
(1) (2) (3) (4)
答：(1)不是；(2)不是；(3)不是；(4)是.
（四）合作探究2
探究2 分別量一下各個角的度數(shù)，∠1和∠2的度數(shù)有什么關(guān)系？∠1和∠3呢？
答：∠1和∠2互補(bǔ). ∠1和∠3相等.
追問：改變兩條直線相交所成的角的大小，上述關(guān)系還保持嗎，為什么？
猜想：改變兩條直線相交所成的角的大小，上述關(guān)系還保持.
驗證：利用幾何畫板軟件進(jìn)行驗證.
探究3 你能用數(shù)學(xué)的語言說明∠1=∠3嗎？
證明：因為 ∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)，
所以 ∠1=∠3(同角的補(bǔ)角相等).
結(jié)論：對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.
設(shè)計意圖：在猜想和證明之間加入幾何畫板驗證，一是增強(qiáng)幾何直觀，化抽象為形象；二是讓學(xué)生經(jīng)歷完整的思維過程，體驗邏輯的嚴(yán)密性； 三是通過動態(tài)演示變化過程，幫助學(xué)生感受變化過程中的不變規(guī)律，提高學(xué)生的自主探究能力.
典例分析
例1 如圖，直線a，b相交，∠1=40 ，求∠2，∠3，∠4的度數(shù).
解：由∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角得：∠2=180 -∠1=180 -40 =140 .
由對頂角相等，得：∠3=∠1=40 ，∠4=∠2=140 .
變式1 若∠1+∠3= 80 ，求各個角的度數(shù).
解：由對頂角相等，得：∠1=∠3，
因為∠1+∠3= 80 ，所以∠1=∠3=40 .
由∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，得：∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由對頂角相等，得：∠4=∠2=140°.
變式2 若∠2是∠1的 3倍，求各個角的度數(shù).
解：由∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，得：∠1+∠2= 180 ，
所以∠1+3∠1= 180 ，
所以∠1=45 ，∠2=135 .
由對頂角相等，得：∠3=∠1=45 ，∠4=∠2=135 .
變式3 若1 : 2 = 3 : 7 ，求各個角的度數(shù).
解：由∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，得：∠1+∠2= 180 ，
所以∠1= 180 ×=54 ，∠2= 180 ×=126 ，
由對頂角相等，得：∠3=∠1=54 ，∠4=∠2=126 .
設(shè)計意圖：在教學(xué)過程中加入變式訓(xùn)練，不僅可以讓學(xué)生更深入地理解知識，還能夠提高學(xué)生的知識遷移能力，使學(xué)生思維的靈活性和廣闊性得到鍛煉，同時增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.
鞏固練習(xí)
1.圖中是對頂角量角器，你能說出用它測量角的度數(shù)的原理嗎？
答：對頂角相等.
2. 如圖，在相交線的模型中，如果兩根木條a，b所成的角中有一個角∠α=35 ，其他三個角分別等于多少度？如果∠α等于90 ，115 ，m 呢？請思考以上問題，并填寫下表.
3. 如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC :∠BOC=2 : 7，則∠BOC= 140 ，∠AOD= 40 .
設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略.
歸納總結(jié)
感受中考
1. (2024廣西)已知∠1與∠2為對頂角，∠1=35 ，則∠2= 35 .
2. (2023青海)如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOD=140 ，則∠AOC的度數(shù)是( )　　
A．40 B．50 C．60 D．70
3. (2024日照)如圖，直線AB，CD相交于點O．若∠1=40 ，∠2=120 ，則∠COM的度數(shù)為( )　　
A．70 B．80 C．90 D．100
4. (2021益陽)如圖，AB與CD相交于點O，OE是∠AOC的平分線，且OC恰好平分∠EOB，則∠AOD
= 60 度．
第2題圖 第3題圖 第4題圖
設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力.
（九）小結(jié)梳理
（十）布置作業(yè)
1.必做題：習(xí)題7.1 第1題，第5題.
2.選做題：觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角)
(1)如圖a，圖中共有 對對頂角；
(2)如圖b，圖中共有 對對頂角；
(3)如圖c，圖中共有 對對頂角；
(4)研究(1)～(3)小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之
間的關(guān)系，猜測：若有n條直線相交于一點，則可形成 對對頂角；
(5)若有10條直線相交于一點，則可形成 對對頂角.
圖a 圖b 圖c
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