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7.2.3 平行線的性質
第1課時 平行線的性質
第7章 相交線與平行線
人教版(新教材)數學七年級下冊
1.掌握平行線的性質定理1：兩條平行直線被第三條直線所截, 同位角相等；探索并證明平行線的性質定理2、3：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等（或同旁內角互補）.
2.經歷平行線性質的探究過程，從中體會度量、猜想、驗證、證明的幾何研究方法，感受轉化的數學思想．
3.能夠根據平行線的性質定理進行簡單的推理，感受數學語言的簡潔美，并能將學到的知識應用到生活中去，提高應用意識．
核
心
素
養
目
標
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習
4
歸納總結
5
感受中考
6
小結梳理
7
布置作業
8
判定方法1 同位角相等， 兩直線平行.
判定方法2 內錯角相等， 兩直線平行.
判定方法3 同旁內角互補， 兩直線平行.
復習引入
問題1 有哪些判定方法可以證明兩條直線平行？
條件
結論
反過來，如果兩條直線平行，同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢？
合作探究
探究1 畫兩條平行線a∥b，然后任意畫一條截線c與這兩條平行線相交，度量所形成的8個角的度數.
1：度量
這些角中，哪些是同位角？他們的度數有什么關系？
角的名稱 角的度數 角的名稱 角的度數
∠1 ∠2
∠3 ∠4
∠5 ∠6
∠7 ∠8
合作探究
探究1 猜想兩條平行線被第三條直線截得的同位角有什么關系？
兩條平行線被第三條直線所截，
同位角相等.
2：猜想
兩條平行線被第三條直線所截，
同位角相等.
合作探究
探究1 利用信息技術工具改變截線c的位置，同樣度量并比較各對同位角的度數，你的猜想還成立嗎？
3：驗證
畫板驗證
平行線的性質1
兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.
簡單說成：兩直線平行，同位角相等.（因為 a∥b，所以 ∠1=∠2.）
b
合作探究
探究2 我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”，類似的，你能由性質1推出兩條平行線被第三條直線截得的內錯角之間的關系嗎？
合作探究
轉化1：自然語言→符號語言
如圖，平行線a，b被直線c所截，
∠1和∠3的度數有什么關系？
答：∠1=∠3.
你能證明這個結論嗎？
探究2 我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”，類似的，你能由性質1推出兩條平行線被第三條直線截得的內錯角之間的關系嗎？
合作探究
轉化2：內錯角→同位角→平行線
證明：∵a∥b（已知），
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等），
又 ∠3=∠2（對頂角相等），
∴∠1=∠3（等量代換）.
對頂角
平行線的性質2
兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.（因為 a∥b，所以 ∠1=∠2.）
合作探究
探究3 類似的，你能由性質1或性質2推出兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角之間的關系嗎？
合作探究
轉化1：自然語言→符號語言
如圖，平行線a，b被直線c所截，
∠1和∠4的度數有什么關系？
答：∠1+∠4=180°.
你能證明這個結論嗎？
探究3 我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“同旁內角互補，兩直線平行”，類似的，你能由性質1推出兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角之間的關系嗎？
合作探究
轉化2：同旁內角→同位角→平行線
證明：∵a∥b（已知），
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等），
又 ∠2+∠4=180°（鄰補角互補），
∴∠1+∠4=180°（等量代換）.
你還有其它證明方法嗎？
鄰補角
探究3 我們利用“內錯角相等，兩直線平行”推出了“同旁內角互補，兩直線平行”，類似的，你能由性質2推出兩條平行線被第三條直線截得的同旁內角之間的關系嗎？
合作探究
轉化2：同旁內角→內錯角→平行線
證明：∵a∥b（已知），
∴∠1=∠3（兩直線平行，內錯角相等），
又 ∠3+∠4=180°（鄰補角互補），
∴∠1+∠4=180°（等量代換）.
鄰補角
平行線的性質3
兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.（因為 a∥b，所以 ∠1+∠2=180°.）
合作探究
遇到一個新問題時，常常把它轉化為已知的（或已解決的）問題.
性質1
兩直線平行，同位角相等.
性質2
兩直線平行，內錯角相等.
性質3
兩直線平行，同旁內角互補.
轉化
轉化
轉化
證明
證明
證明
合作探究
典例分析
例2 如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A=100°，∠B
=115°，梯形的另外兩個角∠D、∠C分別是多少度？
解：因為梯形上、下兩底DC與AB互相平行，
根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得
∠A與∠D互補，∠B與∠C互補，于是
∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.
所以梯形的另外兩個角∠D，∠C分別是80°，65°.
A
B
C
D
鞏固練習
1. 如圖，直線a∥b，∠1=54°，∠2、∠3、∠4各是多少度？
解：由題意得：∠2=∠1=54°（對頂角相等）.
∵a∥b（已知），
∴∠3+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補），
∠4=∠2（兩直線平行，內錯角相等），
∴∠3=180°-∠2=180°-54°=126°，∠4=54°.
你還有其它計算方法嗎？
2. 如圖，在三角形ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC平行嗎？為什么？
鞏固練習
解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠ADE=∠B=60°（已知）.
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.
2. 如圖，在三角形ABC中，D是AB上一點，E是AC上一點，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（2）∠C是多少度，為什么？
鞏固練習
解：（2）∠C=40°，理由如下：∵DE∥BC（已證）.
∴∠C=∠AED=40°
（兩直線平行，同位角相等）.
3. 如圖，一條水渠兩次轉彎后，和原來的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？為什么？
鞏固練習
解：∠B是135°，理由如下：
∵水渠兩次轉彎后，和原來的方向相同，
∴AC∥BD，
∴∠B=∠A=135°
（兩直線平行，內錯角相等）.
A
B
C
D
4. 當光線從水中射向空氣時，要發生折射，在水中平行的光線，折射到空氣中也是平行的.如圖，∠1=45°，∠2=122°，求圖中∠3、∠4的度數.
鞏固練習
解：根據“兩直線平行，同位角相等”，
可得：∠3=∠1=45°，∠4=∠2=122°.
5. 將一個直角三角尺與兩邊平行的紙條如圖放置，則下列結論正確的是 （填序號）.
①∠1=∠2；
②∠4+∠5=180°；
③∠1+∠4=90°；
④∠4+90°=∠3.
鞏固練習
①②③④
兩直線平行，
同位角相等.
兩直線平行，
同旁內角互補.
兩直線平行，
內錯角相等.
6. 圖中是對頂角量角器，你能說出用它測量角的原理嗎？
鞏固練習
解：根據“兩直線平行，同位角相等”，
可得：∠1=∠2，
根據“對頂角相等”，
可得：∠2=∠3，
∴∠1=∠3.
1
2
3
歸納總結
平行線的性質 性質 簡單說成
1. 兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 兩直線平行，
同位角相等.
2. 兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等. 兩直線平行，
內錯角相等.
3. 兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補. 兩直線平行，
同旁內角互補.
感受中考
1. （2024 重慶）如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數是（　）
A．105°
B．115°
C．125°
D．135°
B
感受中考
2. （2024 東營）已知，直線a∥b，把一塊含有30°角的直角三角板如圖放置，∠1＝30°，三角板的斜邊所在直線交b于點A，則∠2＝（　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
B
感受中考
3. （2024 淄博）如圖，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，則∠D的度數是（　）
A．40°
B．36°
C．35°
D．30°
C
感受中考
4. （2024 福建）在同一平面內，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
A
小結梳理
同位角相等，兩直線平行
平行線的判定
平行線的概念
...
平行線
內錯角相等，兩直線平行
同旁內角互補，兩直線平行
兩直線平行，同位角相等
平行線的性質
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，同旁內角互補
互逆
布置作業
必做題：習題7.2 第5題，第10題.
1
探究性作業：
如圖，潛望鏡中的兩面鏡子是互相
平行放置的，光線經過鏡子反射時，
∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什
么關系？為什么進入潛望鏡的光線
和離開潛望鏡的光線是平行的？
（提示：分析這兩條光線被哪條直線所截.）
2
謝謝觀看

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