資源簡介

(共25張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第三單元　函數
——平面直角坐標系與函數
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

1．平面直角坐標系
(1)平面直角坐標系的四個象限內點的坐標的符號特征．
1．已知點P(a＋1，2a－3)在第一象限，則a的取值范圍是(　　)．
A．a＜－1　　　
B．－ ＜a＜1
C．a＞　　　
D．－1＜a＜
C　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

(2)點P(x，y)到x軸的距離為______，到y軸的距離為__________，到原點的距離為__________．
　
　
2．在平面直角坐標系的第四象限內有一點M，到x軸的距離為4，到y軸的距離為5，則點M的坐標為(　　)．
A．(－4，5)　　　
B．(－5，4)
C．(4，－5)　　　　
D．(5，－4)
D
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．函數自變量的取值范圍
(1)當函數解析式是整式時，自變量的取值范圍是　　　　　　　．
(2)當函數解析式是分式時，分母
　　　　　　　?。?
(3)當函數解析式是二次根式時，被開方數　 　　　　?。?
(4)當函數解析式表示一個實際問題時，自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．
3．在函數y＝ 中，自變量x的取值范圍是　　　　　?。?
4．在函數y＝ 中，自變量x的取值范圍是　　　　　?。?
全體實數　
不等于0
大于或等于0
x≠－2　
x≥－2且x≠0　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．表示函數的方法
解析式法、__________和__________．
4．描點法畫函數圖象的一般步驟
①列表；
②__________；
③__________．
5．星期日小峰去朋友家借書，他離家的距離y(單位：km)與時間x(單位：min)的函數圖象如圖所示．根據圖象提供的信息，下列說法正確的是(　　)．
A．小峰去時的速度大于回家的速度
B．小峰在朋友家停留了10 min
C．小峰去時所花的時間少于回家所花的時間
D．小峰去時走上坡路，回家時走下坡路
列表法　
圖象法
描點　
連線
B
對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

6．某加油站的加油機顯示器上顯示某種油的單價為每升8.25元，總價從0元開始隨著加油量的變化而變化，則總價y(單位：元)與加油量x(單位：L)之間的函數解析式是__________．
y＝8.25x
A組　基礎題
1．下列曲線，不能表示y是x的函數的是(　　)．
A　 B
C　 D
C　
2．函數y＝中，自變量x的取值范圍是(　　)．
A．x≤2 B．x≤2且x≠－1
C．x≥2 D．x≥2且x≠－1
3．在平面直角坐標系中，點P(x2＋2，－3)所在的象限是(　　)．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B　
D　
4．一名司機駕駛汽車從甲地出發去乙地，他以80 km/h的平均速度用了4 h到達乙地．當他按原路勻速返回時，汽車的速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)之間的函數關系是(　　)．
A．v＝320t
B．v＝
C．v＝20t
D．v＝
B　
5．如圖，若在該中國象棋棋盤上建立平面直角坐標系，使“帥”位于點(－1，－2)，“馬”位于點(2，－2)，則“炮”位于點(　　)．
A．(－2，－1)
B．(0，0)
C．(1，－2)
D．(－1，1)
B　
6．在平面直角坐標系中，若點P(1－m，5－2m)在第二象限，則整數m的值為　　　　．
7．為了加強市民的節水意識，某市制定了如下收費標準：每戶每月的用水量不超過10 m3時，按每立方米2.2元收費；超過10 m3時，超過的部分按每立方米3.8元收費．某戶居民5月份用水x m3(x＞10)，應繳水費
y元，則y與x之間的函數解析式是　　　　　　　　．
2　
y＝3.8x－16
8．已知等腰三角形的周長為12 cm，設底邊長為y cm，一腰長為x cm．
(1)寫出y與x之間的函數解析式．
(2)求自變量x的取值范圍．
(1)由2x＋y＝12，得y＝12－2x.
(2)由題意得x＞0，y＞0，且2x＞y，即x＞0，12－2x＞0，且2x＞12－2x，解得3＜x＜6.
B組　能力題
9．如圖，將一個盛有部分水的圓柱形小水杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內．現用一個注水管沿大容器內壁勻速注水，則小水杯水面的高度h(單位：cm)與注水時間t(單位：min)的函數圖象大致為(　　)．
A　　 B
C　　 D
B
10．已知M(－4，a－2)，N(－2，a)，P(2，a)三點在同一個函數圖象上，則這個函數圖象可能是(　　)．
A　 B
C　 D
B　
11．將矩形紙板剪掉一個小矩形后的剩余部分如圖①所示，動點P從點A出發，沿路徑A→B→C→D→E→F勻速運動，速度為1 cm/s，點P到達終點F后停止運動．△APF的面積S(S≠0，單位：cm2)與點P運動的時間t(單位：s)的關系如圖②所示，根據圖象得出下列結論：①AF＝5 cm；②a＝6；③點P從點E運動到點F需要10 s；④矩形紙板裁剪前后周長均為34 cm．其中正確的有(　　)．
A．4個　　　 B．3個
C．2個　　　 D．1個
C
12．在函數y＝ 中，自變量x的取值范圍是__________．當x＝6時， 函數值y＝__________．
13．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有 n(n≥2)個圓點，每個圖案中圓點的總數是S．按此規律，可推斷出S與n的關系式為
　　　　　　?。?
n＝2　 n＝3 　n＝4
S＝4　 S＝8 　S＝12
x＞2　
　
S＝4n－4
14．甲、乙兩位專業自行車手從A地出發，騎自行車沿同一條路行駛到B地．他們離出發地的距離s(單位：km)和行駛時間t(單位：h)之間的關系如圖所示．已知甲在途中休息了一段時間，之后他再次騎行的速度是原來的一半．
(1)求乙的速度．
由圖象可知，乙的速度為20÷(km/h).∴乙的速度為 km/h.
14．甲、乙兩位專業自行車手從A地出發，騎自行車沿同一條路行駛到B地．他們離出發地的距離s(單位：km)和行駛時間t(單位：h)之間的關系如圖所示．已知甲在途中休息了一段時間，之后他再次騎行的速度是原來的一半．
(2)求甲在途中休息的時間．
由圖象可知，甲休息前的速度為8÷0.5＝16(km/h)，∴甲再次騎行的速度為16÷2＝8(km/h).∴÷(2.5－a)＝8，解得a＝1.∴甲在途中休息的時間為1－0.5＝0.5(h).
14．甲、乙兩位專業自行車手從A地出發，騎自行車沿同一條路行駛到B地．他們離出發地的距離s(單位：km)和行駛時間t(單位：h)之間的關系如圖所示．已知甲在途中休息了一段時間，之后他再次騎行的速度是原來的一半．
(3)兩人相遇時，離B地的路程還有多少千米？
設甲、乙在x h時相遇.∵＜8，∴x＞1.∴(x－0.5)＝8＋8，解得x＝.∴此時乙騎行了 ＝10(km).
∴20－10＝10(km).∴兩人相遇時，離B地的路程還有10 km.
1．(2022·廣東)水中漣漪(圓形水波)不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr．下列判斷正確的是(　　)．
A．2是變量 B．π是變量
C．r是變量 D．C是常量
C　
2．(2023·四川)函數y＝ 的自變量x的取值范圍是(　　)．
A．x＞－2且x≠1
B．x≥2且x≠1
C．x≥－2且x≠1
D．x≠1
3．(2023·浙江)在平面直角坐標系中，點P位于
(　　)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C　
B　
4．(2022·武漢)勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿．在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規律如圖所示(圖中OABC為一折線)．這個容器的形狀可能是(　　)．
A　　　　 B C　　　　 D
A　
5．(2023·淄博)下列函數圖象中，能反映y的值始終隨x值的增大而增大的是(　　)．
A　　　 B
C　　　 D
C　
6．(2022·北京)下面的三個問題中都有兩個變量：
①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；
②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；
③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x．
其中，變量y與變量x之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是(　　)．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
A　
7．(2023·寧夏)某種桿秤如圖所示．在秤桿的點A處固定提紐，點B處掛秤盤，C為0刻度點．當秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點C，秤桿處于水平狀態．秤盤放入質量為x(單位：g)的物品后移動秤砣，當秤砣所掛位置與提紐的距離為y(單位：mm)時，秤桿處于水平狀態．測得x與y的幾組對應數據如下表：
x/g 0 2 4 6 10
y/mm 10 14 18 22 30
由表中數據的規律可知，當x＝20 g時，y＝__________mm．
50(共35張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第三單元　函數
——反比例函數
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

1．反比例函數的圖象和性質
(1)反比例函數y＝(k是常數，k≠0)的圖象是__________．
(2)①當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于　　 　　　象限，在每一個象限內，y隨x的增大而____________________．
②當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于
　　 　象限，在每一個象限內，y隨x的增大而__________．
1．已知函數y＝(k－1)是反比例函數，則k的值為(　　)．
A．－1 B．1　
C．±1 D．無法確定
A　 B C　 D
雙曲線　
第一、第三　
減小
第二、第四　
增大
A　
2．反比例函數y=與二次函數y=-kx2+k (k≠0)在同一平面直角坐標系中的大致圖象是( ).
D
知識要點 對點訓練
　　　　

1．反比例函數的圖象和性質
(1)反比例函數y＝(k是常數，k≠0)的圖象是__________．
(2)①當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于　　 　　　象限，在每一個象限內，y隨x的增大而____________________．
②當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于
　　 　象限，在每一個象限內，y隨x的增大而__________．
3．若y＝(m＋2)是反比例函數，則m＝__________．
4．關于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有兩個相等的實數根，A(x1，y1)，
B(x2，y2)是反比例函數y＝ 圖象上的兩個點，若x1＜x2＜0，則y1　 　y2．
(填“＞”“＜”或“＝”)
雙曲線　
第一、第三　
減小
第二、第四　
增大
2　
＞
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．反比例函數解析式的確定
用__________法求反比例函數解析式的一般步驟：
①設出含有待定系數的反比例函數解析式；
②把已知條件代入解析式，得到關于待定系數的方程；
③解方程，求出待定系數；
④將求出的待定系數的值代入所設的函數解析式，可得所求的函數解析式．
5．已知反比例函數y＝(k≠0)的圖象經過點A(－2，1)．
(1)求該反比例函數的解析式．
(2)當x＝4時，求y的值．
待定系數　
(1)∵函數圖象經過點 A(－2，1)，∴1＝，解得k＝－2.∴y＝－.
(2)把x＝4代入y＝－，得y＝－.
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

6．如圖，反比例函數y＝(k≠0)的圖象經過點A(－2，8)．
(1)求該反比例函數的解析式．
(2)若(2，y1)，(4，y2)是該反比例函數圖象上的兩個點，請比較y1，y2的大小，并說明理由．
(1)將A(－2，8)代入y＝(k≠0)，得 ＝8，解得k＝－16.∴反比例函數的解析式為y＝－.
(2)y1＜y2.理由如下：
∵當x＞0時，反比例函數y＝－中y隨x的增大而增大，且0＜2＜4，∴y1＜y2.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．反比例函數的幾何應用
過雙曲線y＝(k≠0)上任意一點分別作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積為　　　?。?br/>7．如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數y＝(k為常數，k＞0，x＞0)的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝__________．
　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．實際問題中的反比例函數
根據實際意義列出反比例函數關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，進而解決實際問題．
8．某蓄電池的電壓為定值，用此蓄電池作為電源時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)之間的函數關系如圖所示．如果以此蓄電池作為電源的用電器限制電流不得超過10 A，那么此用電器的可變電阻應(　　)．
A．不小于3.6 Ω
B．不大于3.6 Ω
C．不小于13 Ω
D．不大于13 Ω
A
A組　基礎題
1．已知反比例函數y＝ 的圖象上有兩點P1(1，y1)和P2(2，y2)，則(　　)．
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0
C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0
D　
2．已知正比例函數y1的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點A(2，4)，下列說法正確的是(　　)．
A．反比例函數y2的解析式是y2＝－
B．兩個函數圖象的另一個交點坐標為(2，－4)
C．當x＜－2或0＜x＜2時，y1＜y2
D．正比例函數y1與反比例函數y2都隨x的增大而增大
C　
3．一次函數y＝ax＋b和反比例函數 y＝ 在同一平面直角坐標系中的大致圖象是(　　)．
A　　　 B
C　　　 D
A　
4．若y＝(a－1)是反比例函數，則a的值為__________．
5．正比例函數y＝k1x的圖象與反比例函數y＝ 的圖象相交于點(1，2)，則 k1＋k2＝__________．　
6．設函數y＝x－3與y＝ 的圖象的兩個交點的橫坐標分別為a，b，則 ＝__________．
－1　
4　
－
7．如圖，直線AB與反比例函數 y＝(x＜0)的圖象交于點A(－2，m)，B(n，2)，過點A作AC∥y軸交x軸于點C，在x軸的正半軸上取一點D，使OC＝2OD，連接BC，AD，△ACD的面積是6．
(1)求反比例函數的解析式．
∵點A(－2，m)，AC∥y軸，
∴OC＝2，AC＝m.
∵OC＝2OD，∴OD＝1，CD＝3.
∵S△ACD＝×3·m＝6，∴m＝4，即 A(－2，4).
∴k＝－2×4＝－8.
∴反比例函數的解析式為y＝－.
7．如圖，直線AB與反比例函數 y＝(x＜0)的圖象交于點A(－2，m)，B(n，2)，過點A作AC∥y軸交x軸于點C，在x軸的正半軸上取一點D，使OC＝2OD，連接BC，AD，△ACD的面積是6．
(2)P為第一象限內直線AB上一點，且△PAC的面積等于△ABC面積的2倍，求點P的坐標．
(2)∵點B(n，2)在反比例函數y＝－ 的圖象上，∴B(－4，2). ∴S△ABC＝×4×(4－2)＝4.
設直線AB的解析式為y＝ax＋b(a≠0).將A(－2，4)，B(－4，2)分別代入，得解得∴直線AB的解析式為y＝x＋6.設點
P(t，t＋6)，則S△PAC＝×4×(t＋2)＝2S△ABC＝8，∴2t＋4＝8，解得
t＝2. ∴P(2，8).　
8．某氣球內含有一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p是氣體體積V的反比例函數，其圖象如圖所示．
(1)求該反比例函數的解析式．
(2)當氣體的體積為1 m3時，氣球內的氣壓是多少？
(3)當氣球內的氣壓大于140 kPa時，氣球將被撐破．安全起見，氣體的體積應不小于多少？(結果精確到0.01 m3)
(1)設p＝(k≠0)，由題意知120＝，解得 k＝96，故p＝(V＞0).
(2)當V＝1 m3時，p＝＝96(kPa).
(3)由題意知p≤140 kPa，∴V≥≈0.69(m3).
∴安全起見，氣體的體積應不小于0.69 m3.
9．如圖，反比例函數y1＝ 和一次函數y2＝ax＋1的圖象在第一象限內的交點為A，且點A的橫坐標為1．過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為1．
(1)求反比例函數和一次函數的解析式．
(2)若一次函數y2＝ax＋1的圖象與x軸相交于點C，求∠ACO的度數．
(3)結合圖象，直接寫出當y1＞y2＞0時x的取值范圍．
(1)∵在Rt△AOB中，AB⊥OB，OB＝1且S△AOB＝1，
∴AB·OB＝1.∴AB＝2，點A(1，2).
∵點A(1，2)在反比例函數y1＝ 的圖象上，
∴2＝，解得k＝2.
∴反比例函數的解析式為 y1＝.
∵點A(1，2)在一次函數y2＝ax＋1的圖象上，
∴2＝a＋1，解得a＝1.
∴一次函數的解析式為 y2＝x＋1.
(2)∵直線y2＝x＋1與x軸交于點C，把y2＝0代入y2＝x＋1得0＝x＋1，解得x＝－1，即OC＝1.
∴CB＝2.
又AB⊥CB，AB＝2，
∴∠ABC＝90°，AB＝CB.∴∠ACO＝45°.
(3)觀察圖象可得，當0＜x＜1時，y1＞y2＞0.
B組　能力題
10．如圖，已知點P(6，3)，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，反比例函數y＝ 的圖象交PM于點A，交PN于點B．若四邊形OAPB的面積為12，則k的值為(　　)．
A．6 B．12 C．3 D．4
A　
11．如圖，A，B是函數y＝ 圖象上的兩點，作PB∥y軸，PA∥x軸，交點為P，下列說法正確的是(　　)．
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，則S△ABP＝16．
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
B　
12．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為平行四邊形，點O(0，0)，A(3，1)，B(1，2)．若反比例函數y＝(k≠0)的圖象經過 OABC的頂點C，則k＝__________．
－2
13．如圖，反比例函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象與直線y＝3x相交于點C，過直線上的點A(1，3)作AB⊥x軸于點B，交反比例函數的圖象于點D，且AB＝3BD．
(1)求k的值．
(2)求點C的坐標．
(3)在y軸上確定一點M，使點M到C，D兩點的距離之和d＝MC＋MD最小，求點M的坐標．
(1)∵點A的坐標為(1，3)，∴AB＝3，OB＝1.
∵AB＝3BD，∴BD＝1，點D(1，1).
把D(1，1)代入y＝，得k＝1.
(2)由(1)知k＝1，
∴反比例函數的解析式為y＝.
由解得或
∵x＞0，∴點C的坐標為.
(3)如圖，作點C關于y軸的對稱點C'，連接C'D交y軸于點M，則此時d＝MC＋MD最小，∴C'.
設C'D所在直線的解析式為y＝ax＋b(a≠0)，代入D(1，1)，C'得 解得
∴C'D所在直線的解析式為y＝(3－2)x＋2－2.
當x＝0時，y＝2－2.
∴點M的坐標為(0，2－2).
14．在平面直角坐標系中，一次函數 y＝kx＋b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數y＝ 的圖象的一個交點為 P．
(1)求m的值．
(2)若PA＝2AB，求k的值．
(1)由題意知m＝.∴m＝4.
(2)令y＝kx＋b＝0， 得x＝－，∴A.
令x＝0，得y＝b，∴B(0，b).
①點B在y軸的正半軸上時，b＞0.
過點P作PH⊥x軸于點H，則B1O∥PH.
∴△A1OB1∽△A1HP.∴.
∴B1O＝PH＝4×＝2.∴b＝2.
∴A1O＝OH＝1.∴－＝－1，即k＝2.
②點B在y軸的負半軸上時，b＜0.
∵PA2＝2A2B2，
∴PB2＝PA2＋A2B2＝3A2B2.
過點P作PQ⊥y軸于點Q，則PQ∥A2O.
∴△A2OB2∽△PQB2.∴.
∴A2O＝－PQ＝，
B2O＝－b＝B2Q＝OQ＝2.
∴b＝－2，k＝6.
綜上所述，k＝2或k＝6.
1．(2022·廣東)點 在反比例函數 y＝ 的圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是(　　)．
A．y1　 B．y2　 C．y3　 D．y4
2．(2023·廣州)已知正比例函數y1＝ax的圖象經過點(1，－1)，反比例函數 y2＝ 的圖象位于第一、第三象限，則一次函數y＝ax＋b的圖象一定不經過(　　)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　
C　
3．(2021·廣州)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC的點A在函數y＝(x＞0)的圖象上，點C在函數 y＝－(x＜0)的圖象上，若點B的橫坐標為－，則點A的坐標為(　　)．
A． B．
C．　 D．
A　
4．(2023·廣東)某蓄電池的電壓為 48 V，使用此蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)的函數表達式為I＝．當R＝12 Ω時，I的值為__________A．
5．(2023·深圳)如圖，Rt△OAB與 Rt△OBC 位于平面直角坐標系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函數y＝(k≠0)恰好經過點C，則k＝__________．
4
4　
6．(2021·深圳)如圖，已知反比例函數的圖象過A，B兩點，點A的坐標為(2，3)，直線AB經過原點，將線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段CB，則點C的坐標為__________．
(4，－7)
7．(2024·廣州)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B在函數y＝
(x＞0)的圖象上，A(1，0)，C(0，2)．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B' (點A平移后的對應點為A')，A'B'交函數y＝(x＞0)的圖象于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結論：①k＝2；②△OBD的面積等于四邊形ABDA'的面積；③A'E的最小值是 ；④∠B'BD＝∠BB'O．其中正確的有__________．(填序號)
①②④
8．(2022·廣州)某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V(V為定值，單位：m3)的圓柱形天然氣儲存室，儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．
(1)求儲存室的容積V的值．
(2)受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲存室的底面積S的取值范圍．
(1)由圖知，當深度d＝20 m時，底面積S＝500 m2.∴V＝Sd＝10 000(m3).
(2)由(1)知Sd＝10 000，則S＝(d＞0)，故S隨著d的增大而減小.當d＝16時，S＝625；當d＝25時，S＝400.∴當16≤d≤25時，400≤S≤625.(共33張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第三單元　函數
——一次函數
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

1．正比例函數的圖象與性質
一般地，正比例函數y＝kx(k是常數，k≠0)的圖象是一條經過原點的__________．當k＞0時，直線y＝kx經過　　　　　　象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也__________；當k＜0時，直線y＝kx經過　　　　　　象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而__________．
直線　
第三、第一　
增大　
第二、第四　
減小
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．一次函數的圖象與性質
一般地，一次函數y＝kx＋b(k，b是常數，k≠0)的圖象是一條__________．當k＞0時，y隨x的增大而__________；當k＜0時，y隨x的增大而__________．
直線　
增大
　減小
1．對于一次函數y＝－2x＋4，下列結論錯誤的是(　　)．
A．函數值隨自變量的增大而減小
B．函數的圖象不經過第三象限
C．函數的圖象向下平移4個單位長度得到y＝－2x的圖象
D．函數的圖象與x軸的交點坐標是(4，0)
D　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．一次函數的圖象與性質
一般地，一次函數y＝kx＋b(k，b是常數，k≠0)的圖象是一條__________．當k＞0時，y隨x的增大而__________；當k＜0時，y隨x的增大而__________．
2．已知關于x，y的一次函數y＝(m－1)x－2m＋4的圖象經過第一、第三、第四象限，則m的取值范圍是__________．
直線　
增大
　減小
m＞2
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．一次函數解析式的確定
用　　　　　　法求一次函數解析式的一般步驟：①設出含有待定系數的一次函數解析式；②把已知條件代入解析式，得到關于待定系數的方程(組)；③解方程(組)，求出待定系數；④將求出的待定系數的值代入所設的函數解析式，可得所求的函數解析式．
3．正比例函數y＝kx和一次函數y＝ax＋b的圖象都經過點A(1，2)，且一次函數的圖象交x軸于點B(4，0)．求正比例函數和一次函數的解析式．
待定系數
將A(1，2)代入y＝kx，得k＝2，
∴正比例函數的解析式為y＝2x.將
A(1，2)，B(4，0)分別代入y＝ax＋b，
得解得
∴一次函數的解析式為y＝－x＋.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．一次函數與一元一次方程
解一元一次方程kx＋b＝0，相當于確定直線y＝kx＋b與x軸交點的__________的值．
4．已知一次函數y＝ax＋4的圖象與x軸的交點坐標為(2，0)，則一元一次方程ax＋4＝0的解為
(　　)．
A．x＝4　　　　 B． x＝0
C．x＝2　　　　 D． x＝a
橫坐標
C　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

5．一次函數與一元一次不等式
解一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)，相當于確定直線y＝kx＋b在x軸上方(或下方)的點所對應的__________的取值范圍．
5．函數y＝k1x＋b與y＝k2x在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關于x的不等式k1x＋b＞k2x的解集為__________．
橫坐標
x＞－1
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

6．一次函數與二元一次方程組
解二元一次方程組(k1≠k2)，相當于確定兩條直線y＝k1x＋b1與y＝k2x＋b2的交點的__________．
6．如圖，已知函數y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得關于x，y的二元一次方程組的解是　　　　?。?
　 坐標
知識要點

7．實際問題中的一次函數
利用函數解決問題時，關鍵在于分析問題中變量之間的對應關系，將實際問題轉化為函數模型．若判斷出某問題的變化規律可用一次函數模型刻畫，則可根據已知條件用待定系數法得出一次函數解析式，利用一次函數的圖象和性質來研究．
對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

(1)當每月用水量不超過20 m3時，y＝1.9x(0≤x≤20)；當每月用水量超過20 m3時，y＝1.9×20＋2.8(x－20)＝ 2.8x－18(x＞20).
(2)由題意知x＞20，∴2.2x＝2.8x－18，解得x＝30.故該戶5月份用水30 m3.
7．某市居民用水實施階梯收費：每戶每月用水量若不超過20 m3，按每立方米1.9元收費；若超過20 m3，超過的部分按每立方米2.8元收費．設某戶每月用水量為x m3，應繳水費為y元．
(1)分別寫出每月用水量不超過20 m3和超過20 m3時，y關于x的函數解析式．
(2)若該市某戶5月份平均每立方米的水費為2.2元，求該戶5月份用水多少立方米．
A組　基礎題
1．在平面直角坐標系中，一次函數 y＝kx＋b的圖象如圖所示，則k和b的取值范圍分別是(　　)．
A．k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C．k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
C　
2．一次函數y＝x＋2的圖象經過(　　)．
A．第一、第二、第三象限
B．第一、第三、第四象限
C．第一、第二、第四象限
D．第二、第三、第四象限
3．若點A(2，4)在函數y＝kx－2的圖象上，則下列各點也在此函數圖象上的是(　　)．
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－2，－2) D．(2，－2)
A　
A　
4．對于函數y＝2x－1，下列說法正確的是(　　)．
A．它的圖象經過點(1，0)
B．y值隨著x值的增大而減小
C．它的圖象經過第二象限
D．當x＞1時，y＞0
5．一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關于x的方程kx＋b＝0的解為(　　)．
A．x＝2 B．x＝－2
C．x＝－1 D．x＝1
D
C　
6．已知一次函數y＝kx＋k－3的圖象經過點(2，3)，則k的值為__________．
7．將直線y＝－2x向上平移1個單位長度，平移后直線的解析式為___________．
2　
y＝－2x＋1
8．A地與B地的距離為90 km，甲、乙兩人同時從A地前往B地，甲乘汽車，乙騎摩托車，甲到達B地停留半小時后返回A地．他們離A地的距離y(單位：km)與時間x(單位：h)之間的關系如圖所示．
(1)求甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
設甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數解析式為y＝kx＋b(k≠0).由圖象可知該函數圖象經過點(1.5，90)，(3，0)，
∴解得
∴甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數解析式為y＝－60x＋180(1.5≤x≤3).
8．A地與B地的距離為90 km，甲、乙兩人同時從A地前往B地，甲乘汽車，乙騎摩托車，甲到達B地停留半小時后返回A地．他們離A地的距離y(單位：km)與時間x(單位：h)之間的關系如圖所示．
(2)若乙出發2 h后和甲相遇，求乙從A地到B地用了多長時間．
對于y＝－60x＋180，當x＝2時，y＝60，∴乙的速度為60÷2＝30(km/h).∴乙從A地到B地用的時間為90÷30＝3(h).
B組　能力題
9．已知一次函數y1＝ax＋b和y2＝bx＋a (a≠b)，則函數y1和y2的圖象可
能是(　　)．　
A　　　 B C　　　 D
A　
10．若一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，且k≠0)的圖象經過點A(0，－1)，B(1，1)，則不等式kx＋b＞1的解集為(　　)．
A．x＜0 B．x＞0
C．x＜1　　 D．x＞1
D
11．有A，B兩個發電廠，每焚燒1 t垃圾，A發電廠比B發電廠多發40度電，A發電廠焚燒20 t垃圾比B發電廠焚燒 30 t 垃圾少發1 800度電．
(1)求每焚燒1 t垃圾，A發電廠和B發電廠分別發電多少度．
設每焚燒1 t垃圾，A發電廠發電a度，B發電廠發電b度，根據題意得 解得 故每焚燒1 t垃圾，A發電廠發電300度，B發電廠發電260度.
11．有A，B兩個發電廠，每焚燒1 t垃圾，A發電廠比B發電廠多發40度電，A發電廠焚燒20 t垃圾比B發電廠焚燒 30 t 垃圾少發1 800度電．
(2)A，B兩個發電廠共焚燒90 t垃圾，若A發電廠焚燒垃圾的數量不多于B發電廠焚燒垃圾數量的2倍，求A發電廠和B發電廠的總發電量最多為多少度．
設A發電廠焚燒x t垃圾，B發電廠焚燒(90－x)t垃圾，總發電量為y度，根據題意得y＝300x＋260(90－x)＝40x＋23 400.由x≤2(90－x)，得x≤60.∵40＞0，∴y隨x的增大而增大.∴當x＝60時，y有最大值，最大值為40×60＋23 400＝25 800.故A發電廠和B發電廠的總發電量最多為25 800度.
12．某科技公司銷售某種高新科技產品，該產品成本為8萬元，銷售單價x(單位：萬元)與月銷售量y(單位：件)的關系如下表所示：
x/萬元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
(1)求y與x之間的函數解析式．
易知y與x之間的函數關系為一次函數關系.設y＝kx＋b(k≠0)，則 解得∴y與x之間的函數解析式為y＝－5x＋90.
12．某科技公司銷售某種高新科技產品，該產品成本為8萬元，銷售單價x(單位：萬元)與月銷售量y(單位：件)的關系如下表所示：
x/萬元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
(2)當銷售單價定為多少時，該公司每月獲取的利潤最大？最大利潤為多少？
設該產品的銷售利潤為w，由題意得w＝y(x－8)＝－5(x－13)2＋125，∵－5＜0，∴當x＝13時，w取到最大值，最大值為125.故當銷售單價定為13萬元時，該公司每月獲取的利潤最大，最大利潤為125萬元.
13．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－x＋5的圖象l1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，正比例函數的圖象l2與l1交于點C(m，4)．
(1)求m的值及直線l2的解析式．
∵點C(m，4)在直線l1上，∴4＝－m＋5，解得m＝2.∴點C的坐標為(2，4).
設直線l2的解析式為y＝ax(a≠0)，將C(2，4)代入，得4＝2a，解得
a＝2.
∴直線l2的解析式為y＝2x.
13．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－x＋5的圖象l1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，正比例函數的圖象l2與l1交于點C(m，4)．
(2)求S△AOC－S△BOC的值．
對于y＝－x＋5，令y＝0，得x＝10，∴點A的坐標為(10，0).
令x＝0，得y＝5，∴點B的坐標為(0，5).
過點C分別作CE⊥x軸于點E，CF⊥y軸于點F，則CE＝4，CF＝2.
∵S△AOC＝OA·CE＝×10×4＝20，S△BOC＝OB·CF＝×5×2＝5，
∴S△AOC－S△BOC＝15.
13．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－x＋5的圖象l1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，正比例函數的圖象l2與l1交于點C(m，4)．
(3)若一次函數y＝kx＋1的圖象為l3，且l1，l2，l3不能圍成三角形，請直接寫出k的值．
k的值為－，2或 .
提示：分三種情況討論.①當l3∥l1時，k＝－；②當l3∥l2時，k＝2；③當l3過點C時，k＝.
1．(2024·廣東)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，則一次函數y＝kx＋b的圖象大致是(　　)．
A　 B C　 D
B　
2．(2022·廣州)已知點(3，－5)在正比例函數y＝kx 的圖象上，則k的值為(　　)．
A．－15 B．15　 C．－　 D．－
D　
3．(2021·深圳)二次函數y＝ax2＋bx＋1與一次函數y＝2ax＋b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是(　　)．
A　 B C 　 D
A　
4．(2020·廣州)一次函數y＝－3x＋1的圖象過點(x1，y1)，(x1＋1，y2)，(x1＋2，y3)，則(　　)．
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
B　
5．(2023·深圳)如圖①，在Rt△ABC中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為每秒2個單位長度，其中BP的長與運動時間t(單位：s)的關系如圖②所示，則AC的長為(　　)．
A．
B．
C．17
D．5
C
6．(2023·廣東)已知一次函數y＝kx＋b的圖象經過點(0，1)與點(2，5)，求該一次函數的表達式．
將(0，1)和(2，5)分別代入y＝kx＋b，得解得
∴該一次函數的表達式為y＝2x＋1.
7．(2022·廣東)物理實驗證實：在彈性限度內，某彈簧長度y
(單位：cm)與所掛物體質量x(單位：kg)滿足函數關系 y＝kx＋15．下表是測量物體質量時，該彈簧長度與所掛物體質量的數量關系．
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y與x之間的函數關系式．
(2)當彈簧長度為20 cm時，求所掛物體的質量．
(1)把x＝2，y＝19代入y＝kx＋15中，得19＝2k＋15，解得k＝2.
∴y與x之間的函數關系式為y＝2x＋15(x≥0).
(2)把y＝20代入y＝2x＋15中，得20＝2x＋15，解得x＝2.5.∴所掛物體的質量為2.5 kg.
8．(2023·廣州)因活動需要購買某種水果，數學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1(單位：元)與該水果的質量x(單位：kg)之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2(單位：元)與該水果的質量x(單位：kg)之間的函數解析式為y2＝10x(x≥0)．
(1)求y1與x之間的函數解析式．
(2)現計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？
(1)由圖象可知y1的圖象經過點(0，0)，(5，75)，(10，120)，∴y1＝
(2)甲商店：9x＋30＝600，解得x＝；乙商店：10x＝600，解得x＝60.∵＞60，∴選甲商店能購買該水果更多一些.(共42張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
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體驗中考
知識要點

　　　　　　　　　　　　　　

1．二次函數的圖象和性質
(1)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的圖象是一條__________，對稱軸是直線__________，頂點是_________________．
(2)①當a＞0時，拋物線開口向_____，當x_________時，y隨x的增大而增大；當x______時，y隨x的增大而減??；當x______時，y有最小值，為_______．
②當a＜0時，拋物線開口向______，當x______時，y隨x的增大而增大；當x______時，y隨x的增大而減小；當x　　　時，y有最大值，為_________．
拋物線　
x＝－　
上　
＞－　
＜－　
＝－　
　
下　
＜－　
＞－　
＝－　
　
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　
1．二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，已知A(1，y1)，B(2，y2)是該函數圖象上的兩個點，則y1與y2的大小關系是(　　)．
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．無法確定
2．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝1，下列結論：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正確的有(　　)．
A．4個　 B．3個 C．2個 D．1個
第1題圖
第2題圖
C　
B　
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

3．拋物線y＝－2x2＋8x－1的頂點坐標為(　　)．
A．(2，7)　　 B．(－2，7)
C．(2，－9)　 D．(－2，－25)
4．拋物線y＝x2－4x＋3的頂點坐標是__________．
5．當x＝______時，二次函數y＝x2＋2x－2有最小值，最小值是______．
A　
(4，－5)　
－1　
－3　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．二次函數解析式的確定
(1)若已知拋物線上三個點的坐標，則可設函數解析式為　　　　　　?。?
(2)若已知拋物線的頂點坐標為(h，k)，則可設函數解析式為　　　　　　?。?
(3)若已知拋物線與x軸的兩個交點(x1，0)，(x2，0)，則可設函數解析式為
　　　　 　　?。?
6．先把拋物線y＝－x2向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后拋物線的解析式為(　　)．
A．y＝－(x－1)2－3 B．y＝－(x＋1)2－3
C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x＋1)2＋3
7．先把拋物線y＝x2＋bx＋4向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，所得拋物線的解析式為y＝x2－2x＋3，則b的值為 (　　)．
A．2　　B．4 C．6　 D．8
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)　
D　
B
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

設該拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－1)(a≠0)，把點C(2，8)代入y＝a(x＋2)(x－1)，解得a＝2.
∴該拋物線的解析式為y＝2(x＋2)(x－1)，即y＝2x2＋2x－4.
8．若拋物線與x軸交于點A(－2，0)，B(1，0)，且經過點C(2，8)，求該拋物線的解析式．
9．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論正確的是(　　)．
A．abc＞0
B．2a＋b＜0
C．3a＋c＜0
D．關于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有兩個不等的實數根
知識要點 對點訓練
　 　　　　　　　　　　　　　

3．二次函數與一元二次方程的關系
(1)當二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個公共點時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是 ．
(2)當二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有一個公共點時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是 ．
(3)當二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸沒有公共點時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是 ．
有兩個不等的實數根
有兩個相等的實數根
沒有實數根
C
知識要點

　　　　　　　　　　　　　　

4．實際問題中的二次函數
對于某些實際問題，如果其中變量之間的關系可以用二次函數模型來刻畫，那么我們就可以利用二次函數的圖象和性質來研究．
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

10．端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8 000元購進的豬肉粽和用6 000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價每提高1元，每天少售出2盒．
(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價．
(2)設豬肉粽每盒售價x元(50≤x≤65)，y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求y關于x的函數解析式并求最大利潤．
(1)設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價(a－10)元.根據題意，得 ，解得a＝40.經檢驗，a＝40是原分式方程的解，且符合題意.∴豬肉粽每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元.
(2)當豬肉粽每盒售價x元(50≤x≤65)時，每天可售［100－2(x－50)］盒.∴y＝(x－40)［100－2(x－50)］＝－2x2＋280x－8 000＝－2＋1 800.
∵當x＜70時，y隨x的增大而增大，∴當x＝65時，y取得最大值，最大值為－2×＋1 800＝1 750.∴y關于x的函數解析式為y＝－2(x－70)2＋1 800(50≤x≤65)，且最大利潤為1 750元.
A組　基礎題
1．已知二次函數y＝ax2－1的圖象開口向下，則直線y＝ax－1經過
(　　)．
A．第一、第二、第三象限
B．第一、第二、第四象限
C．第一、第三、第四象限
D．第二、第三、第四象限
D
2．把拋物線y＝3x2向右平移1個單位長度后，所得圖象的函數解析式為(　　)．
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
3．一臺機器原價為60萬元，若每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價格為y萬元，則y關于x的函數解析式為(　　)．
A．y＝60(1－x)
B．y＝60(1－x)2
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
B　
B　
4．拋物線y＝－x2＋bx＋4經過(－2，n)和(4，n)兩點，則n的值為(　　)．
A．－2 B．－4 C．2 D．4
5．對于二次函數y＝－x2＋x－4，下列說法正確的是(　　)．
A．當x＞0時，y隨x的增大而增大
B．當x＝2時，y有最大值－3
C．其圖象的頂點坐標為(－2，－7)
D．其圖象與x軸有兩個交點
B　
B
6．拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是 A(2，1)，且經過點B(1，0)，則該拋物線的解析式為　 　　　　　．
7．二次函數y＝x2－2x－3的圖象如圖所示．當y＜0時，自變量x的取值范圍是　　　　．
y＝－x2＋4x－3
－1＜x＜3
8．如圖，拋物線y＝x2－bx＋c交x軸于點A(1，0)，交y軸于點B，對稱軸是直線x＝2．求拋物線的解析式．
依題意得解得
∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.
9．某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件．
若每件商品的售價每上漲1元(每件售價不能高于72元)，則每個月少賣出10件．
設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元．
(1)求y與x之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍．
(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得利潤最大？最大月利潤是多少元？
(1)依題意得y＝(x＋60－50)(200－10x)，即 y＝－10x2＋100x＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250，x的取值范圍為1≤x≤12，且x為正整數.
(2)由(1)知，當x＝5，即售價定為65元時，每個月可獲得利潤最大，最大月利潤是2 250元.
B組　能力題
10．若二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象過不同的五點A(m，n)，
B(0，y1)，C(3－m，n)，D(，y2)，E(2，y3)，則y1，y2，y3的大小關系是(　　)．
A．y1＜y2＜y3　　　　 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1　　　　 D．y2＜y3＜y1
D 　
11．如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3與y軸交于點C，點D的坐標為(0，1)，P是拋物線上的動點．若△PCD是以CD為底的等腰三角形，則點P的坐標為_______________________________________．
(1＋，2)或(1－，2)　
12．拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A(－3，0)，B(4，0)，則關于x的一元二次方程 a(x－1)2＋c＝b－bx的解是_________________．
x1＝－2，x2＝5
13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2＋ax＋b與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點，P是拋物線上在第一象限內的一個點，直線BP與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式．
(2)當P是線段BC的中點時，求點P的坐標．
(3)在(2)的條件下，求sin∠OCB的值．
(1)將點A(1，0)，B(3，0)代入拋物線y＝－x2＋ax＋b，可得解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3.
(2)∵點C在y軸上，∴點C的橫坐標為0.
∵點P是線段BC的中點，∴點P的橫坐標xP＝.
∵點P在拋物線y＝－x2＋4x－3上，
∴點P的縱坐標yP＝－＋4×－3＝.∴點P的坐標為.
(3)∵點P的坐標為，P是線段BC的中點，∴點C的縱坐標為2×－0＝.
∴點C的坐標為.
∴BC＝.
∴sin∠OCB＝.
14．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C，D，其中BC＝CD．
(1)求b，c的值．
(2)求直線BD的函數解析式．
(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上．當△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．
(1)∵BO＝3AO＝3，
∴點A(－1，0)，B(3，0).代入拋物線的解析式為解得
(2)過點D作DE⊥x軸于點E，∴CO∥DE.
∵BC＝CD，OB＝3，∴.∴OE＝.
∴點D的橫坐標為－.∴點D的坐標為(－，＋1).
設直線BD的函數解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
根據題意得 解得
∴直線BD的函數解析式為y＝－x＋.
(3)滿足條件的點Q的坐標為或或或(5－2，0).
提示：∵直線BD與y軸交于點C，∴點C(0，).∴OC＝.
∵點A(－1，0)，B(3，0)，D(－，＋1)，且BC＝CD，
∴AB＝4，AD＝2，BD＝2＋2，拋物線的對稱軸為直線x＝1.
∵tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°.
過點A作AK⊥BD于點K，
∴AK＝AB＝2.∴DK＝＝2.
∴DK＝AK.∴∠ADB＝45°.
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，即點N(1，0).
Ⅰ.若∠PBO＝∠CBO＝30°，
則BN＝PN＝2，BP＝2PN.
∴PN＝，BP＝.
①當△BAD∽△BPQ時，.
∴BQ＝＝2＋.
∴點Q的坐標為.
②當△BAD∽△BQP時，.
∴BQ＝＝4－.
∴點Q的坐標為.
Ⅱ.若∠PBO＝∠ADB＝45°，
則BN＝PN＝2，BP＝BN＝2.
③當△DAB∽△BPQ時，.
∴BQ＝＝2＋2.∴點Q的坐標為(1－2，0).
④當△BAD∽△PQB時，.
∴QB＝＝2－2.
∴點Q的坐標為(5－2，0).
綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為
或或(1－2，0)或(5－2，0).
1．(2024·廣州)函數y1＝ax2＋bx＋c與y2＝的圖象如圖所示，當(　　)時，y1，y2均隨著x的增大而減?。?br/>A．x＜－1
B．－1＜x＜0
C．0＜x＜2
D．x＞1
D　
2．(2024·廣東)若點(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函數y＝x2的圖象上，則(　　)．
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
3．(2021·廣州)拋物線y＝ax2＋bx＋c 經過點(－1，0)，(3，0)，且與 y軸交于點(0，－5)，則當x＝2時，y的值為(　　)．
A．－5 B．－3　
C．－1 D． 5
A　
A　
4．(2022·廣州)如圖，拋物線 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為x＝－2，下列結論正確的是(　　)．
A．a＜0
B．c＞0
C．當x＜－2時，y隨x的增大而減小
D．當x＞－2時，y隨x的增大而減小
C　
5．(2023·廣東)如圖，拋物線y＝ax2＋c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為(　　)．
A．－1
B．－2　　
C．－3　　
D．－4
B　
6．(2021·廣東)設O為坐標原點，A，B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接AB，過點O作OC⊥AB于點C，則點C到y軸距離的最大值為(　　)．
A． B．
C．　 D．1
A　
7．(2021·廣東)把拋物線y＝2x2＋1向左平移1個單位長度，再向下平移 3個單位長度，得到的拋物線的解析式為　　　　　　　?。?
8．(2023·廣州)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，則y1__________y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
y＝2x2＋4x　
＜
9．(2022·廣州)已知直線l：y＝kx＋b 經過點(0，7)和點(1，6)．
(1)求直線l的解析式．
(2)若點P(m，n)在直線l上，以P為頂點的拋物線G過點(0，－3)，且開口向下．
①求m的取值范圍．
②設拋物線G與直線l的另一個交點為Q，當點Q向左平移1個單位長度后得到的點Q' 也在G上時，求G在 ≤x≤＋1的圖象的最高點的坐標．
(1)∵直線y＝kx＋b經過點(0，7)和點(1，6)，∴解得∴直線l的解析式為y＝－x＋7.
(2)①∵點P在直線l上，∴n＝－m＋7.∴由題意設G：y＝a(x－m)2－m＋7(a＜0).∵拋物線G經過點(0，－3)，∴am2－m＋7＝－3，即am2＝m－10.∵當m＝0時，am2≠m－10，∴m≠0.又a＜0，∴a＝＜0，解得m＜10且m≠0.
②∵P，Q是拋物線G與直線l的兩個交點，∴聯立方程組整理得ax2＋x＋am2－m＝0.∵由題意知點Q與點Q'關于直線x＝m對稱，∴點Q的橫坐標為m＋.又點P的橫坐標是m，∴由一元二次方程根與系數的關系，可得m＋m＋，即a＝－2.∴y＝－2(x－m)2－m＋7.∵拋物線G過點(0，－3)，∴2m2＋m－10＝0，解得m＝2或m＝－.當m＝2時，y＝＋5，此時拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴G在 ≤x≤ 的圖象的最高點坐標為(2，5)；當m＝－ 時，y＝－2，此時拋物線的對稱軸為直線x＝－，∴G在－2≤x≤－1 的圖象的最高點坐標為(－2，9).綜上所述，G在 ≤x≤＋1的圖象的最高點的坐標為(2，5)或(－2，9).
10．(2023·廣州)已知點P(m，n)在函數y＝－(x＜0)的圖象上．
(1)若m＝－2，求n的值．
(2)拋物線y＝(x－m)(x－n)與x軸交于兩點M，N(M在N的左邊)，與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．
①m為何值時，點E到達最高處．
②設△GMN的外接圓圓心為C，☉C與y軸的另一個交點為F，當m＋n≠0時，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，請求出此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由．
(1)將(－2，n)代入y＝－(x＜0)，得n＝1.
(2)①∵P(m，n)在函數y＝－(x＜0)的圖象上，
∴mn＝－2，且m＜0＜n.
令x＝，得y＝(x－m)(x－n)＝－(m－n)2＝－2－(m＋n)2≤－2，
∴當m＋n＝0，且mn＝－2時，y取得最大值－2.
∴m2＝2，解得m＝－ 或m＝(舍去).
∴m＝－ 時，點E到達最高處.
②存在.在y＝(x－m)(x－n)中，
令y＝0，則(x－m)(x－n)＝0，解得x＝m或x＝n；
令x＝0，則y＝mn＝－2，∴M(m，0)，N(n，0)，G(0，－2).∴MG＝，MO＝－m.由①得，E，對稱軸為直線x＝.
如圖，作MG的垂直平分線交MG于點T，交x軸于點K，則點T，MT＝，△MOG∽△MTK.
∴，則MK＝＝－.
∴點K.
由T，K 可求得直線TK的表達式為y＝－mx＋m2－1.當x＝ 時，y＝－，∴點C的坐標為.
由垂徑定理知，點C在FG的垂直平分線上，則FG＝2(yC－yG)＝2×＝3.
∵四邊形FGEC為平行四邊形，∴CE＝FG＝3＝yC－yE＝－－yE，解得yE＝－.
∴－(m－n)2＝－，且mn＝－2，則m＋n＝±.
∴E或.

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