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1.2 動量定理
復習回顧：
1、什么是碰撞
2、如何猜想并探究碰撞中不變量？
3、碰撞中的不變量是什么？
4、什么是動量以及動量的特點？
5、如何求動量的變化？
6、動量和動能之間的數量關系？
問題一：雞蛋在運輸的時候為什么加上一層泡沫板？
問題二：船船和碼頭為什么常懸掛一些老舊輪胎？
其中有怎樣的物理原理呢？你認為這樣的相互作用過程中會涉及哪些量呢？
緩沖
問題三：頭盔的內部為什么要放一層厚厚的海綿？
【探究1】在光滑水平面上的質量為m 的物體在水平恒力F 的作用下，經過時間t，速度由v 變為v′。試推導恒力F與物體動量變化量之間的關系。
【分析】如圖所示,物體運動過程中：
由加速度的定義式:
由牛頓第二定律得：F = ma =
可得：Ft = mv′ - mv ，即：Ft = p′ - p
一、利用牛頓第二定律推導動量定理
【探究2】假設在水平恒力 F 和阻力f 的共同作用下，經過時間 t，質量為m的物體的速度由v1 變為v2 ，試找出力與質量和速度的關系。
沖量
動量變化量
F-f = ma
以上推導表明動量的變化與力的時間積累效果有關。
看來Ft也是一個具有特殊意義的物理量，我們把Ft定義為沖量
１.定義：作用在物體上的力和作用時間的乘積，叫做該力對這個物體的沖量I。
3.單位：在國際單位制中，沖量的單位是牛·秒，符號是N·s
4.沖量是矢量：方向由力的方向決定，若為恒定方向的力，則沖量的方向跟這力的方向相同
5.沖量是過程量，反映了力對時間的積累效應。
想一想：之前學習過功W，它與沖量I有哪些異同？
2.公式： I=Ft （注：用該公式直接計算式要求F為恒力）
二、沖量
5.沖量與功的比較
沖量
功
區
別
公式
標、矢量
意義
正負
作用效果
單位
N·S
I=Ft
W=Flcos θ
矢量
標量
N·m（J）
力對時間的積累,對應一段時間
力對位移的積累,對應一段位移
正負表示與正方向相同或相反
正負表示動力做功或阻力做功
改變物體的動量
改變物體的動能
①、作用力與反作用力：作用力的沖量與反作用力的沖量總是等值、反向并在同一條直線上，但是作用力的功與反作用力的功不一定相等。
②、內力：對物體系統內部，內力作用的沖量的矢量和等于零，但內力的功的代數和不一定為零。
例：人在船上行走——人對船的作用力與船對人的反作用力的沖量的矢量和等于零，但是人對船的作用力和船對人的反作用力都做正功，使人和船的動能都增加。
（1） 恒力的 沖量 公式法 利用定義式I=FΔt計算沖量,此方法僅適用于恒力的沖量的計算,無需考慮物體的運動狀態
圖像法 利用F-t圖像中的“面積”來計算

三、沖量的求解方法
（2）變力的沖量 平均值法 若力的方向不變且大小隨時
間均勻變化,則該力的沖量可
以利用平均力來計算,其公式
為I= t

（2）變力的沖量 圖像法 若已知變力的F-t圖像,則該力的沖量可以利用F-t圖像中的“面積”來計算

（3）合力的沖量 (1)分別求出每一個力的沖量,再求各沖量的矢量和; (2)如果各恒力的作用時間相同,可以先求合力,再由I=F合t求合力的沖量; (3)利用動量定理:求出物體動量的變化量,由I=Δp來求
例1、（多選）(2024·無錫高二檢測)恒力F作用在質量為m的物體上，如圖所示.由于地面對物體的摩擦力較大，物體沒有被拉動，則經時間t，下列說法正確的是( )
A.拉力F對物體的沖量大小為零
B.拉力F對物體的沖量大小為Ft
C.拉力F對物體的沖量大小為Ftcosθ
D.合力對物體的沖量大小為零
BD
例2、（單選）如圖所示,質量m=2kg的物體從傾角為θ=37o的固定斜面的頂端勻速滑下,下滑時間為t=1.5s，重力加速度g=10m/s2,下列說法中正確的是（ ）
A.支持力的沖量為零
B.摩擦力的沖量大小為 18N·s
C.重力的沖量大小為 18N·s
D.合力的沖量大小為30N·s
B
小結：1、F-t圖線與時間軸之間所圍的“面積”表示力F的沖量。
2、沖量是矢量，有方向，用正負表示方向。
例3、(多選)一質量為2kg的物塊在合力F的作用下從靜止開始沿直線運動,合力F隨時間t變化的關系圖像如圖所示,則( )
A.0~2s時間內合力F對物塊的沖量為3N·s
B.2~3s時間內合力F對物塊的沖量為1N·s
C.0~3s時間內合力F對物塊的沖量為2N·s
D.0~3s時間內合力F對物塊的沖量為4N·s
AC
1.內容：物體所受合外力的沖量等于物體的動量變化，這就是動量定理。
2.表達式：
或
3.理解：
(1)表明合力的沖量是動量變化的原因；
(2)動量定理是矢量式，合外力的沖量方向與物體動量變化的方向相同;
（3）動量的變化率：動量的變化跟發生這一變化所用的時間的比值。由動量定理，得 ，可見，動量的變化率等于物體所受的合力。當動量變化較快時，物體所受合力較大，反之較小；當動量均勻變化時，物體所受合力為恒力。
或
四、動量定理
例4、（單選）質量為m的籃球自由落下，以大小為v1的速度碰地，豎直向上彈回，碰撞時間極短，離地速度大小為v2.在碰撞過程中，地面對籃球的沖量的方向和大小為( )
A.向上，m(v1-v2) B.向上，m(v1+v2)
C.向下，m(v1-v2) D.向下，m(v1+v2)
【解析】選B.籃球與地面作用時受重力和地面的彈力，由于碰撞時間極短，重力的沖量可以忽略不計，選豎直向上為正方向，則IF=mv2-m(-v1)=m(v1+v2)，沖量的方向與規定的正方向相同，豎直向上，故B正確,A、C、D錯誤.
B
動量定理解釋生活現象
①△P一定，t短則F大，t長則F小；
由Ft=ΔP可知：
②t一定，F大則△P大，F小則△P小；
③F一定，t長則△P大，t短則△P小。
——緩沖裝置
跳高比賽
跳遠比賽
懸掛輪胎的游船準備靠岸
說一說：上述場景中的輪胎、墊子、沙坑的緩沖為什么可以保護好人和船不受到太大力的作用？請利用動量定理加以說明。
由Ft=Δp可知：
△p一定，t長則F小。
雜技表演時，常可看見有人用鐵錘猛擊放在“大力士”身上的大石塊，石裂而人不傷，這是什么道理？
用鐵錘猛擊放在“大力上”身上的大石塊，大石塊受到很大的打擊力而破裂，但是，根據動量定理得
對大石塊來說，雖然受到的作用力F很大，但力作用時間極短，而大石塊的質量又很大，因而引起的速度變化就很小，即大石塊幾乎沒有向下運動，而且石塊與人的身體接觸面積又較大，據 ，所以人身體受的壓強并不很大，故此人不會受傷（當然，這還和表演者技術本領有關）．
例5、 (多選)利用動量定理對下列現象的解釋，其中正確的是（ ）
A.擊釘時，不用橡皮錘僅僅是因為橡皮錘太輕
B.用手接籃球時，手往往向后縮一下，是為了減小沖量
C.易碎品運輸時，要用柔軟材料包裝，船舷常常懸掛舊輪胎，都是為了延長作用時間以減小作用力
D.在車內推車推不動，是因為車(包括人)所受合外力的沖量為零
CD
例6.將質量為m=1 kg的小球,從距水平地面高h=5 m處,以v0=10 m/s的水平速度拋出,不計空氣阻力,g取10 m/s2。求:
(1)拋出后0.4 s內重力對小球的沖量;
(2)平拋運動過程中小球動量的增量Δp; (3)小球落地時的動量p'。
解析:(1)0.4 s內重力對小球的沖量I=mgt=1×10×0.4 N·s=4 N·s,方向豎直向下。
小球飛行過程中只受重力作用,所以合外力的沖量為
I'=mgt=1×10×1 N·s=10 N·s,方向豎直向下
由動量定理得Δp=I'=10 kg·m/s,方向豎直向下。
解析：(3)小球落地時豎直分速度為vy=gt=10 m/s。
方向與水平方向的夾角為45°。
小結：動量是矢量，既要給出其大小，也要說明其方向。

4.用動量定理解題的基本思路
特別說明 對過程較復雜的運動,可分段用動量定理,也可對整個過程用動量定理。
例7.(單選)物體A和B用輕繩相連，掛在輕彈簧下靜止不動，如圖(a)所示，A 的質量為m，B 的質量為M，當連接A、B的繩突然斷開后，物體A上升經某一位置時的速度大小為v，這時物體B的下落速度大小為u，如圖(b)所示，在這段時間里，彈簧的彈力對物體A的沖量為(　)
A．Mv B．Mu
C．mv＋Mu D． mv＋mu
解析：對B由動量定理得：Mgt＝Mu－0，設彈簧沖量為I，對A由動量定理得：I－mgt＝mv－0，聯立解得：I＝mv＋mu，ABC錯誤，D正確。
D　
小結：①彈簧的彈力是變力，變力的沖量一般優先考慮用動量定理I=Δp求解。
②應用動量定理解題時，要注意正方向的選取。
③動量定理中的沖量是指物體所受合外力的沖量或物體所受外力的沖量的矢量和，故列方程前一定先對物體進行受力分析，正確認識物體的受力情況。
例8、　在水平力F＝30 N的作用下，質量m＝5 kg的物體由靜止開始沿水平面運動.已知物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.2，若F作用6 s后撤去，撤去F后物體還能向前運動多長時間才停止？(g取10 m/s2)
12 s
解析　解法一　用動量定理，分段求解.
選物體為研究對象，對于撤去F前物體做勻加速運動的過程，初態速度為零，末態速度為v.取水平力F的方向為正方向，根據動量定理有:(F－μmg)t1＝mv－0，
對于撤去F后物體做勻減速運動的過程，初態速度為v，末態速度為零.根據動量定理有－μmgt2＝0－mv.
解法二　用動量定理，研究全過程.
選物體為研究對象，研究整個運動過程，這個過程的始、末狀態物體的速度都等于零.取水平力F的方向為正方向，根據動量定理得(F－μmg)t1＋(－μmg)t2＝0
五、動量定理在流體類問題中的應用
1.流體模型
對于流體的運動,可沿流速v的方向選取一段柱形流體,設在極短的時間Δt內通過某一面積為S的橫截面的柱形流體的長度為Δl,如圖所示。設流體的密度為ρ,則在Δt時間內流過該截面的流體的質量為Δm=ρSΔl=ρSvΔt,根據動量定理,可知流體微元所受的合外力的沖量等于該流體微元動量的變化量,即FΔt=ΔmΔv。
2.常見分兩種情況:
(1)作用后流體微元靜止,有Δv=-v,代入上式有F=-ρSv2;
(2)作用后流體微元以速率v反彈,有Δv=-2v,代入上式有
F=-2ρSv2。
2.微粒類問題
通常,電子流、光子流、離子流等被廣義地視為“微粒”,其質量具有獨立性,題目通常給出
單位體積內粒子數n。應用動量定理分析微粒類問題的步驟:
(1)建立“柱體”模型。沿微粒運動的方向選取微元,柱體的橫截面積為S。
(2)選取微元研究。微元的長度為Δl=v0Δt,體積為ΔV=Sv0Δt,則微元內的粒子數N=nv0SΔt。
(3)先應用動量定理研究單個粒子,建立方程,再乘以N。
例9、（單選）在某些小區的自助洗車設備中，有一種是用高壓水流沖洗汽車表面.今有一汽車高壓水槍，設水槍噴水口橫截面積為S，由槍口噴出的高壓水流流速為v，假設水柱垂直噴射到汽車豎直的表面上，沖擊汽車豎直表面后水的速度變為零，已知水的密度為ρ，則水柱對汽車豎直表面的平均沖擊力為（ ）
A.ρSv 2 B.2ρSv 2 C.ρSv D.2ρSv
解析：以水柱運動方向為正方向
－Ft＝0－mv
t 時間內噴水質量為m＝ρSvt， 解得F＝ρSv2
A
例10、假如有一宇宙飛船，它的正面面積為 S=1m ,以v=1×10 m/s的速度進入宇宙微粒塵區，塵區每1m 空間有一微粒，每一微粒平均質量m=1×10- g,若要使飛船速度保持不變，飛船的牽引力應增加多少 (設微粒與飛船相碰后附著到飛船上)
解：設飛船對微粒的作用力為F，牽引力應與微粒對飛船的作用力大小相等時間t內附著到飛船上的微粒數量n=S·vt，總質量為M=m·n
則由動量定理得： Ft=Mv，解得F=0.1N.
【方法與技巧】微粒類問題分析方法
通常,電子流、光子流、離子流等被廣義地視為“微粒”,其質量具有獨立性,題目通常給出單位體積內粒子數n。應用動量定理分析微粒類問題的步驟:
(1)建立“柱體”模型。沿微粒運動的方向選取微元,柱體的橫截面積為S。
(2)選取微元研究。微元的長度為△l= v△t,體積為 △V=Svo△t,則微元內的粒子數 N=nvS△t。
(3)應用動量定理建立方程求解。
動量定理
基本
概念
動量
定理
動量：p=mv，狀態量，矢量
適用恒力、
變力、直線
運動、曲線
運動等情況
沖量：I=Ft，過程量，矢量
內容：物體所受合力的沖量等于其動量的變化
表達式1：I合= Δ p
表達式2：F合t= mv′- mv
應用：解釋現象、計算應用
【課堂小結】

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