資源簡介

(共32張PPT)
2025年廣東省初中學業水平考試
數學模擬試卷(二)
一、選擇題
二、填空題
三、解答題(一)
四、解答題(二)
五、解答題(三)
六、綜合能力題
一、選擇題．(本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1． － 的相反數是(　　)．
A．2　　　　 B．－2　　　　 C．　　　　 D．－
2．某三角形的三邊長分別為3，4，a，則a的值不可能為(　　)．
A．3　　　　 B． 4　　　　 C． 5　　　　　 D． 8
C
D
3． 圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4 000多年的歷史．以下是在棋譜中截取的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(　　)．
A B C D
A
4． 如圖，在這個“箭頭”圖形中，AB∥ CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，則圖中∠G的度數是(　 　 )．
A．80° B．76° C．66° D．56°
C
5．如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是AD，BD的中點，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為(　　)．
A．20　　　 B．30　　　 C．40　　　 D．50
C
6．已知m＝＋1，則下列對m值的估算正確的是(　　)．
A． 1＜m＜2 B． 2＜m＜3　
C． 3＜m＜4 D． 4＜m＜5
7． 將拋物線y＝x2先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到拋物線的表達式為(　　)．
A．y＝(x＋3)2＋2　　　 B．y＝(x＋3)2－2
C．y＝(x－3)2＋2　　　 D．y＝(x－3)2－2
C
A
8．將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點C在半圓上，點A，B的讀數分別為100°，150°，則∠ACB的大小為(　　)．
A． 25°　　　 B． 40°　　 C． 30°　　　　D． 50°
A
9．如圖，在平面直角坐標系中，A是x軸上的一點，BC∥ x軸，分別交反比例函數 y＝，y＝－ 的部分圖象于B，C兩點，則△ABC的面積為(　 　)．
A．6　　　　　 B．4　　　　　　 C．2　　　　　 D．3
D　
10． 如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，直線l⊥AB．當直線l沿射線BC的方向從點B開始向右平移時，直線l與四邊形ABCD的邊分別相交于點E，F．設直線l向右平移的距離為x，線段EF的長為y，且y與x的函數關系如圖②所示．當x＝ 時，△BEF的面積為(　 　)．
A． B． C． D．
C
二、填空題．(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11． 的平方根是　　　　．
±2
12． 如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥ CD，要使四邊形ABCD為菱形，可以添加的條件是　　　　　　　　　　　　．
(只需寫出一個條件即可)
答案不唯一，如：AB＝CD　
13．“圓材埋壁”是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數學語言表示是：“如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸(1尺＝10寸)，求直徑CD的長．”該問題中CD的長為　　　　寸．
26
14． 一個圓錐的側面積為6π，底面圓半徑為2，則該圓錐的母線長為
　　　　．
15． 斐波那契數列因意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在實際生活中，很多花朵的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在現代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．若斐波那契數列中的第n個數記為an，則1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 025恰好等于斐波那契數列中的第　 　　　個數．
3
2 026
三、解答題(一)．(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
16．先化簡：，再從－2，0，1，2中選擇一個你認為合適的x值代入求值．
原式＝.
∵x≠0且x≠±2，∴x＝1.
當x＝1時，原式＝.
17．如圖，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函數y＝kx＋b的圖象和反比例函數 y＝ 的圖象的兩個交點．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)直接寫出使不等式kx＋b＜ 成立時x的取值范圍．
(1)把點B(2，－4)代入y＝ 中，得m＝－8，∴反比例函數的表達式為y＝－.把點A(－4，n)代入y＝－ 中，得n＝2，∴點A(－4，2).
把點A(－4，2)，B(2，－4)分別代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函數的表達式為y＝－x－2.
(2)－4＜x＜0或x＞2
18． 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．
(1)用尺規作圖法作∠BAC的平分線，交BC于點D．(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)在(1)的條件下，求tan∠CAD．
(1)略　(2)過點D作DE⊥AB于點E.
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC.
在Rt△ABC中，BC＝＝4.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得 AC·BC＝AB·DE＋AC·DC，即 ×3×4＝×5·DC＋×3·DC，∴DC＝.
∴tan∠CAD＝.
四、解答題(二)．(本大題共3小題，每小題9分，共27分)
19． 某體校射擊隊計劃從甲、乙兩名運動員中選拔一名隊員參加比賽．在選拔過程中，每名選手射擊10次，根據甲、乙隊員的成績繪制了如圖①、圖②所示的統計圖，并求得甲、乙隊員10次射擊成績的方差：＝1.6，＝3.4．
(1)甲隊員成績的平均數是　　　　環，眾數是　　　　環；乙隊員成績的平均數是　　　　環，中位數是　　　　環．
(2)根據甲、乙兩名隊員的選拔賽成績，說明推薦誰參加比賽比較合適．
8
7與8
7
6.5
∵＝8＞＝7，＝1.6＜＝3.4，∴甲隊員的平均成績好于乙隊員的，且甲隊員的成績比乙隊員的穩定，故應推薦甲隊員參加比賽.(答案不唯一)
畫樹狀圖如下.

∴共有6種等可能的結果，其中恰好選出一名男生和一名女生的結果有4種.∴P(恰好選出一名男生和一名女生)＝.
(3)為提升射擊隊技戰術水平，學校決定除甲、乙兩名隊員外，再從射擊隊其他三名隊員(一名男生，兩名女生)中隨機選出兩名隊員一同前往觀看比賽，求恰好選出一名男生和一名女生的概率．
20．如圖，O是矩形ABCD對角線AC的中點，過點O作EF⊥AC，分別交BC，AD于點E，F，連接AE，CF．
(1)求證：△AOF≌△COE．
(2)若AB＝4，BC＝8，求四邊形AECF的面積．
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA，∠AFE＝∠CEF.
∵O是AC的中點，∴OA＝OC.
∴△AOF≌△COE.
(2)由(1)知△AOF≌△COE，AD∥BC，
∴AF＝CE.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
又EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形.
∴AE＝CE.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(8－CE)2＝CE2，解得CE＝5.
∴S四邊形AECF＝CE·AB＝5×4＝20.
21． 某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同．
(1)該工廠現在平均每天生產多少臺機器？
(2)現在每臺機器的成本為600元，售價為900元，每天生產的機器恰好全部售完．工廠決定調整價格，經市場調查，每臺機器每漲價50元，每天少售出20臺，則工廠如何定價才能使每天的利潤最大？
(1)設該工廠現在平均每天生產x臺機器，則原計劃每天生產(x－50)臺機器.根據題意，得 ，解得x＝200.經檢驗，x＝200是原分式方程的解，且符合題意.∴該工廠現在平均每天生產200臺機器.
(2)設每臺機器漲價a元，每天的利潤為w元.
根據題意，得w＝(900＋a－600)＝－·(a－100)2＋64 000.
∵－＜0，∴當a＝100時，w有最大值，最大值為64 000.
∴900＋a＝1 000.∴每臺機器定價為1 000元時，工廠每天的利潤最大.
五、解答題(三)．(本大題共2小題，每小題12分，共24分)
22．如圖，∠ACE＝90°，以CE為直徑作☉O，過點O作OD⊥AD，AO平分∠CAD，延長AD交CE的延長線于點B，連接DE．
(1)求證：AB是☉O的切線．
(2)求證：AO·DE＝2OC2．
(3)若tan∠BDE＝2－，BC＝4，求BE的長．
(1)證明：∵AO平分∠CAD，OD⊥AD，∠ACE＝90°，
∴OD＝OC.
又OC是☉O的半徑，∴OD是☉O的半徑.
∴AB是☉O的切線.
(2)證明：連接DC.
∵CE是☉O的直徑，∴∠EDC＝90°.
∴∠EDC＝∠OCA＝90°.
∵OC⊥AC，OC是☉O的半徑，
∴AC是☉O的切線.∴AC＝AD.
∵AO平分∠CAD，∴AO⊥CD.
∴∠ACD＋∠OAC＝90°.
又∠ACD＋∠ECD＝90°，∴∠OAC＝∠ECD.
∴△DCE∽△CAO.∴.
∴AO·DE＝CE·OC＝2OC·OC＝2OC2.
(3)由(2)得∠DCB＋∠DEC＝90°，∠BDE＋∠EDO＝90°.
又OE＝OD，∴∠DEC＝∠EDO.
∴∠DCB＝∠BDE.
又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD.∴.
在Rt△CDE中，tan∠DCE＝＝2－，BC＝4，
∴BD＝8－4.∴BE＝28－16.
　　23． 【問題情境】小紅在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點G，以BG為邊長向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉．
【特例感知】(1)如圖①，當BG在BC上時，連接DF，AC相交于點P，小紅發現P恰為DF的中點．針對小紅發現的結論，請給出證明．
(2)如圖②，小紅繼續連接EG，并延長與DF相交，發現交點恰好也是DF的中點P．根據小紅發現的結論，請判斷△APE的形狀，并說明理由．
【規律探究】(3)如圖③，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉α，連接DF，P是DF的中點，連接AP，EP，AE，△APE的形狀是否發生改變？請說明理由．
(1)證明：連接BF，BD，BD與AC相交于點Q.
∵四邊形ABCD，BEFG都是正方形，
∴DQ＝DB，∠CAB＝∠FBE＝45°.
∴AC∥BF.∴.∴P為DF的中點.
(2)△APE是等腰直角三角形.理由如下：
∵四邊形ABCD，BEFG都是正方形，
∴∠CAB＝∠GEB＝45°.∴∠APE＝90°.
∴△APE是等腰直角三角形.
(3)△APE的形狀不發生改變.理由如下：
延長EP至點M，使PM＝PE，連接MA，MD，設DF交BC于點H，交BG于點N，連接DE，MF.
∵四邊形ABCD，BEFG都是正方形，∴AB＝AD，BE＝EF，AD∥BC，BG∥EF，∠BAD＝∠ABC＝∠EBG＝90°.∴∠ADN＝∠BHN.
∵ME，DF互相平分，∴四邊形MDEF是平行四邊形.∴DM∥EF，DM＝EF.∴DM∥BG，DM＝BE.∴∠MDN＝∠BND.又∠BHN＋∠BND＋∠HBN＝180°，∴∠ADN＋∠MDN＋∠HBN＝180°.∴∠ADM＝180°－∠HBN.又∠ABE＝360°－∠ABC－∠GBE－∠HBN＝180°－∠HBN，∴∠ADM＝∠ABE.∴△ADM≌△ABE.∴∠DAM＝∠BAE，AM＝AE.又∠DAB＝∠DAM＋∠MAB＝90°，∴∠MAE＝∠BAE＋∠MAB＝90°.∴△MAE是等腰直角三角形，∠AEP＝45°.
∵P是ME的中點，∴AP⊥ME.∴∠APE＝90°.∴△APE是等腰直角三角形.(共34張PPT)
2025年廣東省初中學業水平考試
數學模擬試卷(一)
一、選擇題
二、填空題
三、解答題(一)
四、解答題(二)
五、解答題(三)
六、綜合能力題
一、選擇題．(本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1． 下列各數最大的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．π　　　　 B．－3　　　　　 C．　　　　 D．－(－3)
A　
2． 如圖，該幾何體的俯視圖是(　　)．
　A　　　　 B　　　　 C　　　　 D
C
3． 常溫下，氫離子濃度為0.000 000 1 mol/L的溶液為中性溶液，數據0.000 000 1用科學記數法表示是(　　)．
A．1×10－5　　　 B．1×10－6　 C．1×10－7　　D．0.1×10－6
C
4． 一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數是
(　　)．
A．5 B．6 C．7 D．8
A
5．如圖，a∥ b，若∠1＝130°，則∠2＝(　 　)．
A．50°　　 B．130°　　　
C．70°　　　 D．120°
B
6．數軸上表示數a，b的點如圖所示，則下列式子錯誤的是(　　)．
A．ab＞0　　 B．a＋b＜0　　　 C．＜1　　　 D．a－b＜0
C
7．《九章算術》中記載著這樣一個問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數、羊價各幾何？”其大意是：“今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數、羊價各是多少？”此問題中羊價為(　　)．
A．160錢 B．155錢
C．150錢 D．145錢
C
8．若關于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有實數根，則m的取值范圍是(　　)．
A．m＞2　　　 B．m≥3　　　　
C．m＜5　　　　 D．m≤5
D　
9． 現有一盞亮度可調節的臺燈，其燈光亮度的改變，可以通過調節總電阻控制電流的變化來實現．該臺燈的電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)成反比例函數的圖象如圖所示，該圖象經過點M(880，0.25)．根據圖象可知，下列說法正確的是(　　)．
A．當R＜880時，I＜0.25
B．I與R的函數關系式是I＝(R＞0)
C．當1 000＜R＜1 100時，I的取值范圍是0.2＜I＜0.22
D．已知該臺燈的發熱功率P(單位：W)為P＝I2R，則P隨R的增大而增大
C　
10．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則反比例函數y＝ 與正比例函數y＝cx在同一平面直角坐標系內的大致圖象是(　　)．
A　　　　 B　　　　 C　　　　 D
C
二、填空題．(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11．分解因式：a3－a＝　　　　　　　　　　．
12．已知＝0，則x＋y＝　　　　　　　　　　．
a(a＋1)(a－1)　
2
13． 為了弘揚我國優秀傳統文化，某中學廣播站在“春節”“元宵節”“清明節”“端午節”“中秋節”這5個節日中隨機選取1個來講解其文化內涵，則“春節”被選中的概率是　　　　　　．
14．已知a2＋2a－3＝0，則代數式2a2＋4a－3的值是　　　　．
3
15． 如圖，將 ABCD繞點A逆時針旋轉到 AB'C'D'的位置，使點B'落在BC上，B'C'與CD 相交于點E．若AB＝3，BC＝4，BB'＝1，則CE的長為　　　　．
三、解答題(一)．(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
16． 計算：＋2sin 30°＋．
原式＝4＋2×＋1＝6.
17． 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
(1)尺規作圖：作線段AB的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E．(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)連接CE，求證：△BCE是等邊三角形．
(1)略
(2)證明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°.
∵DE垂直平分AB，∴CE＝AB＝BE.
∴△BCE是等邊三角形.
18． 勞動教育是新時代黨對教育的新要求，是中國特色社會主義教育制度的重要內容，是全面發展教育體系的重要組成部分，是大中小學必須開展的教育活動．為此，某校擬組建A(烹飪)、B(種植)、C(陶藝)、D(木雕)4個勞動小組，規定每名學生必須參加且只能參加一個小組．為了解學生參加勞動小組的意愿，學校隨機抽取了部分學生進行調查，根據調查結果制作了如圖所示的兩個不完整的統計圖．
請根據以上信息，解決下列問題：
(1)參加這次調查的學生總數為　　　　人，將條形統計圖補充完整．

(2)扇形統計圖中A小組所對應的扇形圓心角度數為　　　　．
(3)若該校共有1 800名學生，請根據調查結果，估計該校選擇D小組的學生人數．
B小組人數為180－50－45－25＝60(人)，補全條形統計圖略.
180
100°
1 800×＝250(人).
∴若該校共有1 800名學生，估計該校選擇D小組的學生人數約為250人.
四、解答題(二)．(本大題共3小題，每小題9分，共27分)
19．某校為豐富同學們的課余生活，購買了一批數量相等的象棋和圍棋供興趣小組使用，其中購買象棋用了420元，購買圍棋用了756元，已知每副圍棋比每副象棋貴8元．
(1)求每副圍棋和象棋各多少元．
(2)若該校決定再次購買同種圍棋和象棋共40副，且再次購買的費用不超過600元，則該校最多可再購買多少副圍棋？
(1)設每副圍棋x元，則每副象棋(x－8)元，依題意得 ，解得x＝18.經檢驗，x＝18是原分式方程的解，且符合題意.∴每副圍棋18元，每副象棋10元.
(2)設購買y副圍棋，則購買(40－y)副象棋，依題意得10(40－y)＋18y≤600，解得y≤25.∴該校最多可再購買25副圍棋.
20． 綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動，有一名同學的操作過程如下：
操作一：對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；
操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在正方形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM，延長PM交CD于點Q，連接BQ．
(1)如圖①，當點M在EF上時，求∠EMB的度數．
(2)如圖②，改變點P在AD上的位置(點P不與點A，D重
合)，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由．
(1)由折疊的性質，得AE＝BE＝AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，∴sin∠EMB＝.∴∠EMB＝30°.
(2)∠MBQ＝∠CBQ.理由如下：由折疊的性質，得AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°.∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°.又BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ.∴∠MBQ＝∠CBQ.
　　21． 如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC一腰AB分別與x軸、y軸交于點A，B，已知點A(2，0)，B(0，6)．
(1)求直線AB的函數解析式．
(2)若等腰直角三角形ABC的頂點C恰好在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上，求k的值．
(3)把等腰直角三角形ABC沿x軸向右平移d個單位長度后，點B恰好落在反比例函數y＝ 的圖象上，求d的值．
(1)設直線AB的函數解析式為y＝ax＋b(a≠0)，
把點A(2，0)，B(0，6)分別代入y＝ax＋b得解得
∴直線AB的函數解析式為y＝－3x＋6.
(2)過點C作CH⊥x軸于點H.
由題意可得AB＝AC，∠BAC＝90°.
∴∠CAH＋∠BAO＝180°－∠BAC＝90°.
∵CH⊥x軸，∴∠CHA＝90°.
∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠BAO＝∠ACH.
在△BOA和△AHC中，
∵∠AOB＝∠CHA，∠BAO＝∠ACH，AB＝CA，
∴△BOA≌△AHC.∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝6.
∵OH＝OA＋AH＝2＋6＝8，∴C(8，2).
∵點C在反比例函數y＝ 的圖象上，
∴k＝8×2＝16.
(3)由(2)可知，反比例函數的解析式為y＝，將點B向右平移d個單位長度后，得到點B(d，6)，把點 B(d，6)代入y＝ 中，得d＝.
五、解答題(三)．(本大題共2小題，每小題12分，共24分)
22．如圖，AB是☉O的直徑，C是☉O上一點，P是AB延長線上一點，過點A作AD⊥PC交PC延長線于點D，且AC平分∠DAP．
(1)求證：DP是☉O的切線．
(2)若AB＝6，CP＝4，求tan∠CAP．
(3)在(2)的條件下，∠PDA的平分線與AC相交于點M，求點M到DP的距離．
(1)證明：如圖，連接OC.
∵OC＝OA，∴∠2＝∠3.　
∵AC平分∠DAP，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴AD∥OC.
∴∠OCP＝∠D＝90°，即OC⊥DP.
∵OC是☉O的半徑，∴DP是☉O的切線.
(2)如圖，連接BC.由已知，得OA＝OC＝AB＝3，
由勾股定理得OP＝5，∴PA＝OA＋OP＝8.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°.
∵∠PCB＝90°－∠OCB＝∠3＝∠2，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC.∴.
∴tan∠CAP＝.
(3)∵sin∠DAP＝sin∠COP，即 ，PA＝8，∴DP＝6.4.∴DA＝4.8.
∴點M到DP的距離為 ＝1.6.
　　23．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于 A(－1，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C(0，－2)．
(1)求拋物線的表達式．
(2)連接AC，BC，若P是拋物線上一點(不與點C重合)，且S△ABC＝S△ABP，求點P的坐標．
(3)D為拋物線第四象限上一點，連接AD，交BC于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△BAE的面積為S2，求 的最大值．
(1)依題意得c＝－2，把點A(－1，0)，B(4，0)分別代入y＝ax2＋bx－2得解得故拋物線的表達式為y＝x2－x－2.
(2)設點P.
∵S△ABC＝S△ABP，
∴AB·OC＝AB·.
∴＝2，解得m1＝，m2＝，m3＝3，m4＝0(與點C重合，舍去).
∴點P的坐標為 或 或(3，－2).
(3)過點D作DG⊥AB于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥AB，交BC的延長線于點K，則AK∥DF.
∴△FDE∽△KAE.∴.
∴.
設直線BC的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，把點B(4，0)， C (0，－2)分別代入，得解得
∴直線BC的解析式為y＝x－2.
當x＝－1時，y＝－2＝－.
∴K.∴AK＝.
設點D(0＜n＜4)，則點F.
∴DF＝＝－n2＋2n.
∴＝－n2＋n＝－.
∵－＜0，∴當n＝2時， 有最大值，最大值為 .(共39張PPT)
2025年廣東省初中學業水平考試
數學模擬試卷(三)
一、選擇題
二、填空題
三、解答題(一)
四、解答題(二)
五、解答題(三)
六、綜合能力題
一、選擇題．(本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．如圖，已知平行四邊形的高為5，其面積是(　　)．
A． 30
B． 20
C． 30或20
D． 25
B
2． 經過折疊可以圍成正方體，且在正方體側面上的字恰好環繞組成一個四字成語的圖形是(　　)．
A B C D
C
3． 被譽為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST的反射面總面積約為250 000 m2，數據250 000用科學記數法表示為
(　　)．
A．2.5×105　　　　 B．0.25×106　　　C．25×104　　D．2.5×106
4． 若分式 有意義，則實數x的取值范圍是(　　)．
A．x＞5　　　　 B．x＝5　　　　 C．x＜5　　　 D．x≠5
A　
D
5．要得到拋物線y＝x2，需要將拋物線y＝(x＋2)2＋1(　　)．
A．先向下平移1個單位長度，再向左平移2個單位長度
B．先向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度
C．先向上平移2個單位長度，再向左平移1個單位長度
D．先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度
B
6． 在我國傳統節日清明節前后，某茶葉經銷商對甲、乙、丙、丁四種包裝的春茶(售價、利潤均相同)在一段時間內的銷售情況統計如下表，最終決定增加乙種包裝春茶的進貨數量，則影響經銷商決策的統計量是
(　　)．
A．中位數　　　　 B．平均數　　 C．眾數　　　　　D．方差
包裝 甲 乙 丙 丁
銷售量/盒 15 22 18 10
C
7．關于x的方程ax2＋(a＋2)x＋1＝0的根的情況是(　　)．
A． 有兩個不等的實數根　　　
B． 有兩個相等的實數根　　
C． 沒有實數根
D． 有兩個不等的實數根或只有一個實數根
D
8．明代數學家程大位所著的《算法統宗》中有這樣一個問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁．”意思是：“有100個和尚分100個饅頭，若大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，則大、小和尚各有幾人？”此問題中大、小和尚的
人數分別是(　　)．
A．25；75　　 B． 50；50 C． 40；60　　　 D． 75；25
A
9．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D為AB的中點，連接DF并延長交AC于點E．若AB＝10，BC＝16，則EF的長為(　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
B
10． 如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，F是CD上一點，OE⊥OF交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．有下列結論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP－BP＝OP；④若BE∶CE＝2∶3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的 ．其中正確的是(　 　)．
A．①②④⑤　　　　 B．①②③⑤　　　
C．①②③④ 　　 D．①③④⑤
B
二、填空題．(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11．若二次函數y＝ax2＋4x＋a－1的最大值是2，則a＝　　　　．
12．如圖，四邊形AFEB和四邊形BEDC都是正方形，則tan∠ADB
＝　　　．
－1
13．關于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＋2＝0的兩實數根x1，x2滿足x1x2＝2(x1＋x2)＋2，則k＝　　　　．
14． 如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交最上方的網格線于點D，則CD的長為　　　　．
5
3－
15．如圖，已知正方形ABCD邊長為4，☉B的半徑為2，P是☉B上的一個動點，則PD＋PC的最小值為　　　　．
5
三、解答題(一)．(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
16． 解不等式組： 并將解集在數軸上表示出來．
解：4x－2≥3(x－1)
4x－2≥3x－3
x≥－1
＞x－4
x－5＞2x－8
x＜3
∴不等式組的解集為－1≤x＜3.在數軸上表示略.
17．如圖，點E，F分別在菱形ABCD的邊DC，DA上，且∠ABF＝∠CBE．求證：DE＝DF．　
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.
又∠ABF＝∠CBE，∴△ABF≌△CBE.
∴AF＝CE.
∴CD－CE＝AD－AF，即DE＝DF.
18． 在旅游期間，甲到某風景區登山．已知該山峰高600 m，甲從山底A處先步行300 m到達B處，再從B處乘坐登山纜車到達山頂D處．已知點A，B，D，E，F在同一平面內，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°．(換乘登山纜車的時間忽略不計)
(1)求登山纜車上升的高度DE．
(2)若甲的步行速度為30 m/min，登山纜車
的速度為60 m/min，則甲從山底A處到達山
頂D處大約需要多少分鐘？(結果精確到0.1 min)
(參考數據：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
(1)如圖1，過點B作BC⊥AF于點C，則四邊形BEFC是矩形.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝300 m，∴EF＝BC＝AB＝150 m.∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m).∴登山纜車上升的高度DE為450 m.
圖1
圖1
(2)在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝53°，DE＝450 m，∴BD＝＝562.5(m).∴從山底A處到達山頂D處需要 ＝19.375≈19.4(min).∴從山底A處到達山頂D處大約需要19.4 min.
四、解答題(二)．(本大題共3小題，每小題9分，共27分)
19． 為了提高學生書寫漢字的能力，增強保護漢字的意識，某市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”．經選拔后有50名學生參加決賽，這50名學生同時聽寫50個漢字，每正確聽寫出一個漢字得1分．根據比賽成績繪制了如下不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖，請結合圖表解決下列各題．
組別 比賽成績x/分 頻數(人數)
第1組 25≤x＜30 4
第2組 30≤x＜35 8
第3組 35≤x＜40 16
第4組 40≤x＜45 a
第5組 45≤x＜50 10
(1)a＝　　　　，并補全頻數分布直方圖．
(2)若比賽成績不低于40分為優秀，求本次比賽的優秀率．
12
補全頻數分布直方圖略　
×100%＝44%，故本次比賽的優秀率為44%.
(3)第5組10名學生中，有4名男生，若將這10名學生平均分成兩個小組進行對抗練習，且4名男生每個小組分兩人，用列表法或畫樹狀圖法求小宇和小強兩名男生分在同一小組的概率．
列表或畫樹狀圖略，由題意易知共有12種等可能的結果，其中小宇和小強兩名男生分在同一小組的結果有4種，則小宇和小強兩名男生分在同一小組的概率為 .
　　20．某超市計劃同時購進甲、乙兩種商品，若購進10件甲商品和8件乙商品，共需要資金880元；若購進2件甲商品和5件乙商品，共需要資金380元．
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價．
(2)該超市計劃購進這兩種商品共50件，且可用于購買這兩種商品的資金不超過 2 520元．根據市場行情，銷售一件甲商品可獲利10元，銷售一件乙商品可獲利15元．該超市希望銷售完這兩種商品所獲利潤最大，最大利潤是多少？
(1)設甲商品每件的進價是x元，乙商品每件的進價是y元.根據題意，得解得∴甲商品每件的進價是40元，乙商品每件的進價是60元.
(2)設購進a件甲商品，(50－a)件乙商品，該超市銷售完這兩種商品所獲利潤為w 元.根據題意，得w＝10a＋15(50－a)＝－5a＋750，∵－5＜0，∴w隨著a的增大而減小.又40a＋60(50－a)≤2 520，解得a≥24，∴當a＝24時，w取得最大值，即超市銷售完這兩種商品所獲利潤最大，最大利潤為－5×24＋750＝630(元).
21． 如圖，點A的坐標為(0，4)，BA＝OA，BA⊥y軸，反比例函數y＝(x＜0)的圖象經過點B，點C在線段AB上運動(不與點A，B重合)，過點C作DE⊥x軸于點E，交反比例函數的圖象于點D，將線段DE繞點E逆時針旋轉90°得到線段FE，連接OC，FC，BD．
(1)求反比例函數的解析式．
(2)若C為線段AB的中點，求證：OC＝BD．
(3)求證：CF⊥OC．
(1)∵點A的坐標為(0，4)，BA＝OA，BA⊥y軸，∴B(－4，4).
∵反比例函數y＝(x＜0)的圖象經過點B，∴4＝，解得k＝－16.
∴反比例函數的解析式為y＝－.
(2)證明：∵C為線段AB的中點，A(0，4)，B(－4，4)，
∴BC＝CA，C(－2，4)，OA＝4.
∵點D在反比例函數y＝－ 的圖象上，DE⊥x軸，
∴E(－2，0)，D(－2，8).
∴DC＝DE－CE＝8－4＝4＝OA.
∵DE⊥x軸，BA⊥y軸，∴DE⊥AB.
∴∠DCB＝∠OAC＝90°.
∴△BCD≌△CAO.∴OC＝BD.
(3)證明：設點E(m，0)，則OE＝－m.
∵DE⊥x軸，點D在反比例函數y＝－ 的圖象上，
∴D.∴DE＝－.
由旋轉的性質，得FE＝DE＝－，∠DEF＝90°.
∵，＝－，∴.
又∵∠CEF＝∠OEC＝90°，∴△CFE∽△OCE.
∴∠FCE＝∠COE.∵∠OCE＋∠COE＝90°，
∴∠OCE＋∠FCE＝∠OCF＝90°.∴CF⊥OC.
五、解答題(三)．(本大題共2小題，每小題12分，共24分)
22．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于
點A(1，0)，B，與y軸交于點C(0 ，3)．
(1)求這個拋物線的表達式．
(2)P是拋物線上一個動點，且點P在BC上方，過點P作y軸的平行線，交BC于點D，以PD為直徑的圓與BC相交于點E．當點P運動到什么位置時，線段DE的長取得最大值？
(3)點F與點B關于y軸對稱，動點M沿x軸從點O運動到點F，在y軸正半軸上截取ON＝OM，連接BN并延長，交CM于點R．請求出在點M運動的過程中，點R的運動路徑長．
(1)把點A(1，0)，C(0，3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，
得 解得
∴這個拋物線的表達式為y＝－x2－2x＋3.
(2)∵拋物線的對稱軸為直線x＝－＝－1，
∴點B(－3，0).∴OB＝OC＝3.
∴在Rt△OBC中，∠OCB＝45°.
又PD∥y軸，∴∠PDE＝45°.
連接PE，則∠PED＝90°.
∴DE＝PD·cos∠PDE＝PD.
由B(－3，0)，C(0，3)可求得直線BC的表達式為y＝x＋3.
設點P(m，－m2－2m＋3)(－3＜m＜0)，則點 D(m，m＋3).
∴DE＝［(－m2－2m＋3)－(m＋3)］＝－(m2＋3m)＝－.
∴當m＝－ 時，線段DE的長取得最大值，此時點P的坐標為.
(3)∵OB＝OC＝3，∠BON＝∠COM＝90°，ON＝OM，∴△BON≌△COM，BC＝3.∴∠NBO＝∠MCO.
∴∠CRB＝∠NBO＋∠CMO＝∠MCO＋∠CMO＝90°.
∴在點M運動過程中，點R在以BC為直徑的圓上，且其運動路徑為.
∴點R的運動路徑長為 .
　　23． 如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB邊上的一個點 O為圓心，OB長為半徑作圓，分別交邊BA，BC于點D，E，AE是☉O的切線，且DE＝3，CE＝4．
(1)求證：∠AEC＝∠ACE．
(2)求☉O的面積．
(3)如圖②，過點A作BC的平行線交☉O于點K，P為上的一個動點，連接AP，在AP上取點F，使得∠DFP＝∠ABE，連接CF交AD于點H，求 的最大值．
(1)證明：如圖2，連接OE.
∵AE是☉O的切線，∴∠OEA＝90°.
∴∠OEB＋∠AEC＝90°.
∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠B.
∴∠B＋∠AEC＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACE＝90°.
∴∠AEC＝∠ACE.
圖2
圖2
(2)如圖2，連接CD，過點A作AN⊥CE于點N，交CD于點M.
∵BD為☉O的直徑，
∴∠BED＝∠DEC＝90°.
在Rt△DEC中，由勾股定理得CD＝＝5.
由(1)得∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC.
∵AN⊥CE，
∴CN＝EN＝CE＝2.
∵∠BED＝∠BNA＝90°，∴DE∥AN.
∴△CMN∽△CDE.
∴.
∴MN＝DE＝，M為CD的中點.
在Rt△DAC，∠DAC＝90°，
∴AM＝CD＝.
∴AN＝AM＋MN＝4.
∵DE∥AN，∴△BDE∽△BAN.
∴，即 .
又EN＝2，∴.
∴BE＝6.
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD＝＝15，∴S☉O＝π×.
圖2
圖3
(3)如圖3，過點F作FQ⊥AD于點Q，連接EM.
由(2)得M是CD的中點，
∴在Rt△DCE中，EM＝CD.
∴EM＝CM＝DM＝AM＝CD＝.
∴A，D，C，E都在以點 M為圓心，CD長為直徑的圓上.
∵∠DFP＝∠ABE，
∴∠DFA＝180°－∠DFP＝180°－∠ABE.
∵∠OEA＝∠OED＋∠DEA＝90°，∠DEB＝∠OED＋∠OEB＝90°，
∴∠DEA＝∠OEB＝∠ABE.
∴∠DFA＝180°－∠DEA，即∠DFA＋∠DEA＝180°.
∴點F也在以CD長為直徑的☉M上.


∵FQ⊥AD，∴∠FQH＝∠CAH＝90°.
又∠FHQ＝∠CHA，∴△FHQ∽△CHA.
∴.
∵∠DEB＝∠CAB＝90°，∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB.
∴.
∴CA＝10，BA＝20.∴.
∴當FQ最大時， 取得最大值，
圖3
如圖3，過點M作MG⊥AD于點G，
∴DG＝AD＝.
在Rt△DMG中，MG＝＝5，
易知點F在劣弧AD上，∴FQ≤FM－MG.
∴FQ最大值＝FM－MG＝－5＝.
∴ 的最大值為 .
圖3

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