資源簡介

(共26張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
數與式
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共30分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．－2 025的相反數是(　　)．
A．2 025 B．－ C．－2 025 D．
A
2．若＝5，則x的值是(　　)．
A．5 B．－5 C．±5 D．
C
3．下列實數是無理數的是(　　)．
A．－1 B．0 C． D．
D
4．一個正數的平方根分別為4m－2與－1－m，則這個正數為(　　)．
A．1 B．2 C． D．4
D
5．下列運算正確的是(　　)．
A．2x＋3y＝5xy B．5m2·m3＝5m5
C．(a－b)2＝a2－b2 D．n12÷n6＝n2
B
6．若分式 有意義，則實數x的取值范圍是(　　)．
A．x＝3 B．x≠3 C．x＝－3　 D．x≠－3
B
7．我國古代數學家祖沖之推算出π的近似值為 ，它與π的誤差小于0.000 000 3．將0.000 000 3用科學記數法表示為(　　)．
A．3×10－7　　 B．0.3×10－6　　 C．3×10－6　　 D．3×107
A
8．估計 的值在(　　)．
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
C
9．計算 的結果是(　　)．
A． B． C． D．
B
10．已知三個實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則的值是(　　)．
A．2a B．2b C．2c D．－2a
D
二、填空題．(每小題4分，共28分)
11． 化簡：＝　　　　．
3
12．分解因式：ab－ac＋bc－b2＝　 　　　　．
(a－b)(b－c)
13．已知a，b互為相反數，c，d互為倒數，則2 025cd－a－b的值為
　　　　．
2 025
14．單項式xm-1y3與4xyn的和是單項式，則nm的值為　　　　．
9
15．對于任意不相等的兩個實數a，b，定義運算※如下：a※b＝，如3※2＝．則4※12＝　　　　．
－
16．若＋(xy－6)2＝0，則x2＋y2的值為　　　　．
13
17．觀察下列各式：
，……
請利用你所得的結論，化簡代數式：＋…＋
(n≥3且n為整數)，其結果為　　　　　　　　．
三、解答題．(共42分)
18．(6分)計算：
(1)－2sin 45°＋(－1)－2＋；　　　　　　
(2)－2cos 30°＋－(4－π)0．
(1)原式＝2－－2×＋1＋2＝3.
(2)原式＝3－2×－1＝2.
19．(5分)分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy．
原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝(x＋4y)(x－4y).
20．(5分)已知 (a≠b)，求 的值．
原式＝.
21．(5分)先化簡，再從－1，0，1，2中選擇一個恰當的數代入求值．
原式＝.∵當x＝－1，0，1時，原分式無意義，∴x＝2.當x＝2時，原式＝.
22．(5分)先化簡再求值：
［(3a＋b)2－(b＋3a)(3a－b)－6b2］÷2b，其中a＝－，b＝－2．
原式＝－2b＋3a.當a＝－，b＝－2時，原式＝－2×(－2)＋3×
＝3.
23．(8分)如圖，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A，B兩點之間的距離AB＝．

利用數形結合思想解答下列問題：
(1)數軸上表示2和6的兩點之間的距離為　　　　；數軸上表示3和－1的兩點之間的距離為　　　　．
4
4
(2)數軸上表示x和－2的兩點之間的距離表示為　　　　．
(3)試用數軸探究：當＝3時，m的值為　　　　．
(4)利用數軸求出的最小值，并寫出此時x可取哪些整
數值．
(5)當的值最小時，m的值為　　　　．
4或－2
∵表示數軸上表示x和2兩點之間的距離，表示數軸上表示x和5兩點之間的距離，∴當2≤x≤5時，取最小值，最小值
為(5－x)＋(x－2)＝3，x可取2，3，4，5.　
8
24．(8分)如圖，將長和寬分別是a，b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形．
(1)用含a，b，x的代數式表示紙片剩余部分的面積．
(2)當a＝6，b＝4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長．
(1)ab－4x2　
(2)依題意得ab－4x2＝4x2.將a＝6，b＝4代
入上式，得24－4x2＝4x2，則x2＝3，解得x1＝，
x2＝－(不合題意，舍去)，即正方形的邊長為 .(共30張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
圓
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共27分)
1．能說明命題“任意數a的平方都大于0”是假命題的一個反例可以是(　　)．
A．a＝－2　 B．a＝0　　　　 C．a＝　　　　 D．a＝3.14
B
2．如圖，在☉O中，AO＝3，∠C＝60°，則的長度為(　　)．
A．6π　　 B．9π　　 C．2π　　 D．3π
C
3．一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，點O為鋼管的圓心．若鋼管的直徑為20 cm，∠MPN＝60°，則OP的長度是(　　)．
A．40 cm　　 B．40 cm　　 C．20 cm　　 D．20 cm
D
4．如圖，OA，OB，OC都是☉O的半徑，AC與OB相交于點D．已知AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長度為(　　)．
A．5 B．4 C．3 D．2
B
5．如圖，在☉O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的平分線與☉O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD的度數為(　　)．
A．40° B．30° C．25° D．35°
D
6．如圖，在☉O中，C是圓上的一點，且∠ACB＝120°，弦AB的長為12，則☉O的直徑長是(　　)．
A．8 B．4　 C．24 D．12
A
7．如圖，在圓內接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD．若∠BOC＝2∠COD，則∠CBD的度數是(　　)．
A．25° B．30° C．35° D．40°
A
8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜邊AB上一點，以點O為圓心，OA為半徑作圓，☉O恰好與邊BC相切于點D，連接AD．若AD＝BD，☉O的半徑為，則CD的長度為(　　)．
A．　 B．　 C．3　　 D．2
B
9．如圖，四邊形ABCD內接于半圓O，AB為直徑，AD＝CD，過點D作DE⊥AB于點E，連接AC交DE于點F．若sin∠CAB＝，DF＝5，則BC的長為(　　)．
A．8 B．10 C．12 D．16
C
二、填空題．(每小題4分，共20分)
10．如果一個正多邊形的中心角是20°，那么這個正多邊形的邊數為
　　　　．
18
11．若☉O的半徑r和圓心O到直線l的距離d分別為關于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩根之和與兩根之積，則直線l與☉O的位置關系是
　　　　．
相交
12．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．圖①是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖②所示，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°．若OA＝120 cm，OB＝60 cm，則陰影部分的面積是　　　　cm2．
3 000π
13．如圖，在△ABC中，AC＝，O是AB邊上的一點，☉O與AC，BC分別相切于點A，E，F為☉O上一點，連接AF，EF．若四邊形ACEF
是菱形，則圖中陰影部分的面積是　　 　　．
14．如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AC為☉O的直徑，∠ACD＋∠BCD＝180°，連接OD，過點D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F．下列結論：①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF與☉O相切；④若AE＝4，EC＝1，則BC＝3．其中正確的有　　　　．(填序號)
①③④
三、解答題．(共53分)
15．(9分)如圖，☉O的直徑AB＝4，AC＝2．
(1)尺規作圖：過點B作☉O的切線，交AC的延長線于點D．(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)求BD的長．
(1)如圖1，切線BD即為所求.
圖1
(2)如圖1，連接BC.
∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，
∴cos A＝.
∴∠A＝30°.
∵BD為☉O的切線，∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABD中，BD＝AB·tan A＝4×tan 30°＝.
圖1
16．(10分)如圖，AB是☉O的直徑，BC是☉O的切線，OC與☉O相交于點D，連接AD并延長與BC交于點E．
(1)若BC＝，CD＝1，求☉O的半徑．
(2)取BE的中點F，連接DF．求證：DF是☉O的切線．
(1)設☉O的半徑為r.∵BC是☉O的切線，
∴AB⊥BC.∴BC2＋OB2＝OC2＝(CD＋OD)2.
又BC＝，CD＝1，
∴()2＋r2＝(1＋r)2，解得r＝1.
(2)證明：連接OF，可得OF為△ABE的中位線.
∴OF∥AE.∴∠A＝∠BOF，∠DOF＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.
∴∠BOF＝∠DOF.又OF＝OF，OB＝OD，
∴△OBF≌△ODF.∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
又OD為半徑，∴DF是☉O的切線.
17．(10分)如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，O為AB的中點，☉O與AC相切于點D．
(1)求證：BC是☉O的切線．
(2)延長CO交☉O于點E，連接AE交☉O于點F，若AC＝4，
求EF的長．
(1)證明：如圖2，過點O作OM⊥BC于點M，連接OD.
∵AC＝BC，O是AB的中點，
∴CO平分∠ACB.
∵☉O與AC相切于點D，∴OD⊥AC.∴OD＝OM.
∴BC是☉O的切線.
圖2
圖2
(2)如圖2，過點O作ON⊥AE于點N，則EF＝2EN.
∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB的中點，
∴∠OAC＝45°，OC⊥OA.
∴OA＝AC·cos 45°＝4＝4.
又OD⊥AC，∴OD＝OA·sin 45°＝4×＝2.
∴OE＝2.
在Rt△AOE中，AE＝＝2.
∵cos E＝，∴EN＝.∴EF＝2EN＝.
18．(12分)如圖，直線AB與☉O相切于點B，AO交☉O于點M，其延長線交☉O于點C，連接BC，∠ABC＝120°，D為☉O上一點且的中點為M，連接AD，CD．
(1)求∠ACB的度數．
(2)求證：四邊形ABCD是菱形．
(3)若AC＝6，求的長．
(1)連接OB.
∵直線AB與☉O相切于點B，
∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°.
∵∠ABC＝120°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝30°.
∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC＝30°.

(2)證明：連接BM，DM.
∵的中點為M，∴.
∴∠DCM＝∠BCM＝30°，DM＝BM.
∵∠CAB＝180°－∠ABC－∠BCM＝30°，
∴∠DCM＝∠BCM＝∠CAB.
∴AB＝CB，AB∥CD.
∵CM是☉O的直徑，∴∠CDM＝∠CBM＝90°.
又DM＝BM，CM＝CM，
∴Rt△CDM≌Rt△CBM.
∴CD＝CB.∴CD＝AB.
又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又AB＝CB，∴四邊形ABCD是菱形.
(3)連接OD.
∵∠DCM＝30°，OC＝OD，
∴∠ODC＝∠DCM＝30°.∴∠COD＝120°.
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∠CAB＝30°，
∴∠ADC＝120°，∠CAD＝30°.
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°.
∴OA＝2OD＝2OC.
∵AC＝OA＋OC＝6，∴OC＝2.
∴的長為 π.
19．(12分)手工課堂上，老師給每個小組發放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學們認真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．
(1)【模型建立】如圖①，從花折傘中抽象出“傘形圖”．已知AM＝AN，DM＝DN．求證：∠AMD＝∠AND．
(2)【模型應用】如圖②，在△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點D．請從①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM＋MD這兩個條件中選擇一個作為已知條件，另一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．(選擇一種情況作答即可)
(3)【拓展提升】如圖③，AC為☉O的直徑，，∠BAC的平分線AD交BC于點E，交☉O于點D，連接CD．求證：AE＝2CD．

(1)證明：在△ADM和△ADN中，
AM＝AN，DM＝DN，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADN.∴∠AMD＝∠AND.
(2)選擇②為條件，①為結論.證明如下：
如圖3，在AC上取點N，使AN＝AM，連接DN.
∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN.
在△ADM和△ADN中，
AM＝AN，∠DAM＝∠DAN，AD＝AD，
∴△ADM≌△ADN.
∴MD＝ND，∠AMD＝∠AND.
∵AC＝AM＋MD，AC＝AN＋NC，
∴MD＝NC.∴ND＝NC.∴∠C＝∠CDN.
∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN＋∠C＝2∠C.
(也可選擇①為條件，②為結論，證明過程略.)
圖3
(3)證明：如圖4，連接BD，取AE的中點F，連接BF.
∴AE＝2AF.
∵AD平分∠BAC，∴.
∴∠BAF＝∠CBD.
∵AC為☉O的直徑，∴∠ABC＝90°.
∴BF＝AF.∴∠ABF＝∠BAF.∴∠ABF＝∠CBD.
∵，∴BA＝BC.
又∠BAF＝∠BCD，
∴△ABF≌△CBD.∴AF＝CD.
∴AE＝2CD.
圖4(共27張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
三角形
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共30分)
1．如圖，直線AB與CD相交于點O，ON平分∠DOB．若∠BOC＝110°，則∠AON的度數是(　　)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．165°　　 B．135°　　 C．145°　　 D．155°
C
2．如圖，直線a，b被直線c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，
∠3＝85°，則∠4的度數是(　　)．
A．80°　　　 B．85°　 C．95°　　 D．100°
B
3．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，則∠1，∠2，∠3的數量關系為(　　)．
A．∠3＝∠2＋∠1　　　　　　　B．∠3＝∠2＋2∠1
C．∠3＋∠2＋∠1＝180°　　　 D．∠1＋∠3＝2∠2
D
4．若某人沿坡角為α的斜坡前進100 m，則他上升的最大高度是
(　　)．
A．100sin α m　 B． m C． m　 D．100cos α m
A
5．如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，需添加一個條件．以下添加的條件錯誤的是(　　)．
A．∠ABD＝∠C　 B．　
C．　 D．∠ADB＝∠ABC

C
6．我國古代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a，b，斜邊長為c，若b－a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為(　　)．
A．64　 　　B．96　　　 C．128　　 D．192
B
7．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝，則BD＝(　　)．
A．　　　 B．　　　 C．3－　　 D．3－
D
8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C'處，連接BC'，則BC'的最小值為(　　)．
S
A．　　　 B．3－3　 C．－1 D．3－
B
9．如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點F，過點F作 DF∥BC 交AB于點D，交AC于點E．若BD＝8 cm，DE＝2.5 cm，則CE的長為(　　)．
S
A．4.5 cm B．5 cm C．5.5 cm　　 D．6 cm
C
10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊作等腰三角形ACD，AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．下列結論：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE＋2BE．其中正確的有(　　)．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
C
二、填空題．(每小題4分，共20分)
11．在△ABC中，若∠A，∠B滿足＝0，則∠C＝　　　　°．
75
12．如圖，用5根木條釘成一個五邊形框架ABCDE，要使框架穩固且不活動，至少還需要添加木條的根數為　　　　．

2
13．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，連接BE，CE．若△ABC的面積為8，則陰影部分的面積為　　　　．
4
14．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC邊的中點，P是AD上的一個動點，連接PE，PC．當PC＋PE的值最小時，∠APE的度數為　　　　．

60°
15．“只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？”小聰所在的學習小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼在杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點，利用刻度尺量得該紙條寬為3.5 cm，AB＝3 cm，CD＝4 cm，則紙杯的直徑為
　　　　cm．
5
三、解答題．(共50分)
16．(8分)如圖，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°．
(1)求證：AB∥CD．
證明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥FG.∴∠2＝∠A.
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∴AB∥CD.
∵AB∥CD，∴∠C＝∠3，∠D＋∠CBD＋∠3＝180°.
∵∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＋60°＋70°＋∠3＝180°.∴∠3＝25°.
∴∠C＝∠3＝25°.
(2)求∠C的度數．
17．(10分)如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
　　(1)求證：∠EAD＝∠EDA．
　　

證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，
∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED.
又BE＝CD，∴△ABE≌△ECD.
∴AE＝ED.∴∠EAD＝∠EDA.
∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED是等邊三角形.
∴AE＝AD＝ED＝4.
過點A作AF⊥ED于點F，
∴EF＝ED＝2.
∴AF＝＝2.
∴S△AED＝ED·AF＝4.
　(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面積．
18．(10分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝4．將△ABC繞點B逆時針旋轉得到△DBM，使點C的對應點M落在AB邊上，點A的對應點為D，連接AD．求AD的長．

在Rt△ABC中，AB＝＝5.
由旋轉的性質，得MB＝CB＝3，MD＝CA＝4，
∴AM＝AB－MB＝5－3＝2.
在Rt△DMA中，AD＝＝2.

19．(10分)某樂園的滑梯平面圖如圖所示．已知BC＝4 m，AB＝6 m，中間平臺寬度DE＝1 m，EN，DM，CB為三根垂直于地面AB的支柱，垂足分別為N，M，B，EF⊥BC于點F，∠EAB＝31°，∠CDF＝45°．求BM的長．(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 31°≈0.52，
cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)

∵EN⊥AB，DM⊥AB，CB⊥AB，EF⊥BC，
∴∠ENB＝∠DMB＝∠FBN＝∠DFB＝90°.
∴四邊形ENBF，DMBF，ENMD都是矩形.
∴EN＝FB，DF＝BM，DE＝MN＝1 m.
設CF＝x m，則EN＝FB＝BC－CF＝(4－x)m.
在Rt△CFD中，∠CDF＝45°，
∴BM＝DF＝CF＝x m.
又AB＝6 m，∴AN＝AB－MN－BM＝(5－x)m.
在Rt△AEN中，∠EAB＝31°，
∴tan∠EAB＝，即tan 31°＝，解得x≈2.5.
∴BM的長約為2.5 m.
20．(12分)如圖，△ABC，△CDE是兩個等腰直角三角形，DE交AC于點G，連接AD，作EF⊥AD交AC于點H，垂足為F．
(1)當AF＝DF時，求∠AED的度數．
(2)求證：△EHG∽△ADG．
(3)求證：．

(1)∵△ABC，△CDE是兩個等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，∠ECD＝90°.
∴CG平分∠ECD.
∵CE＝CD，
∴EG＝DG，CG⊥DE.
即AC是線段DE的垂直平分線.
∴AE＝AD.
又AF＝DF，EF⊥AD，
∴AE＝DE＝AD.
∴△AED是等邊三角形.
∴∠AED＝60°.
(2)證明：由(1)得CG⊥DE，
∴∠AGD＝∠EGH＝∠AFH＝90°.
∵∠AHF＝∠EHG，
∴∠DAG＝∠HEG.
∴△EHG∽△ADG.
(3)證明：過點H作HK⊥BC于點K.
∵HK⊥BC，∠ACB＝45°，
∴△HKC是等腰直角三角形.
∴HC＝HK.
∵在Rt△HEK中，∠CED＝45°，∠HKE＝90°，
∴∠KHE＝45°－∠HEG.
∵AC是線段DE的垂直平分線，AE＝AD，
∴∠EAG＝∠DAG.
由(2)知∠HEG＝∠DAG，
∴∠HEG＝∠EAG.
∵∠BAE＝45°－∠EAG＝45°－∠HEG，
∴∠BAE＝∠KHE.
又∠ABE＝∠HKE＝90°，
∴△ABE∽△HKE.
∴.
∵AC＝AB，HC＝HK，∴.(共27張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-
單元強化練習——
尺規作圖及圖形變換
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共24分)
1．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)．
A　　　　 B　　　　 C　　　　 D
A
2．由11個大小相同的正方體搭成如圖所示的幾何體，它的左視圖是
(　　)．
A　　　　 B　　　　 C　　　 　 D

B
3．如圖，若把展開圖折成一個正方體的盒子，折好后與“中”相對的字是(　　)．
A．祝 B．你 C．順 D．利
C
4．在平面直角坐標系中，將點P(1，－1)向右平移2個單位長度后，得到的點P1關于x軸對稱的點的坐標是(　　)．
A．(3，1) B．(1，1) C．(3，－1) D．(1，－1)
A
5．按照以下步驟畫線段AB的三等分點．
這一畫圖過程體現的數學依據是(　　)．
A．兩直線平行，同位角相等
B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
畫法 圖形
(1)以A為端點畫一條射線； (2)用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC，CD，DE，連接BE； (3)過點C，D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M，N．M，N就是線段AB的三等分點．
D
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，F是AB的中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上，則線段CF在平移過程中掃過區域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是
(　　)．
A．16；6 B．18；18 C．16；12 D．12；16
C
7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積是(　　)．
A．39π B．45π C．48π D．54π
B
8．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，P是BC邊上的一個動點，在BC的延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連接DP，與AQ相交于點M．當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為(　　)．
A． B． C． D．
B
二、填空題．(每小題4分，共16分)
9．在平面直角坐標系中，將點A(m，2)先向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B，若點B的橫坐標和縱坐標相等，則m=　 ．
4
10．如圖，在 ABCD中，AB＝6，AD＝4，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以點D，E為圓心，以大于 DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB于點N，則MN的長為　　　　．

4
11．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊長為2，點B在x軸的正半軸上，且∠AOC＝60°，將菱形OABC繞原點O逆時針旋轉60°，得到四邊形OA'B'C'(點A'與點C重合)，則點B'的坐標是　　 　　．
(3，3)
12．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別位于邊AB，CD上，且BE＝1．將BC沿CE所在直線翻折，AD沿AF所在直線翻折，B，D兩點的對應點均落在對角線AC上，則EF＝　　　　．
三、解答題．(共60分)
13．(10分)如圖，正方形ABCD的邊長為2，以直線AB為軸，將正方形旋轉一周，求所得幾何體的體積和主視圖的周長．
易知所得幾何體為圓柱，體積為π·22·2＝8π；
其主視圖為矩形，故周長為2×(4＋2)＝12.
14．(12分)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A，B(0，2)，先將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B，O分別落在點B1，C1處，點B1在x軸上；然后將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上；再將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上；……依次進行下去．
(1)填寫下列各點的坐標：B1(　　　，　　　)，B2(　　　，　　　)，B3(　　　，　　　)．
4
0
6
2
10
0
∵AO＝，BO＝2，∴AB＝.
∴OA＋AB1＋B1C2＝6.
∴點B2的橫坐標為6，且B2C2＝2.
∴點B4的橫坐標為2×6＝12.
∵2 024÷2＝1 012，
∴點B2 024的橫坐標為1 012×6＝6 072，縱坐標為2.
∴點B2 024的坐標為(6 072，2).
(2)求點B2 024的坐標．
15．(12分)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．
(1)尺規作圖：過點C作AB的垂線，垂足為E．(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)在(1)的條件下，若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．
(1)如圖1，CE即為所求.
圖1
(2)∵四邊形ABCD為菱形，AC＝4，BD＝2，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝OD＝1.
∴AB＝CB＝.
∵∠BAO＝∠CAE，∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴△AOB∽△AEC.
∴，即 .∴EC＝.
∴cos∠BCE＝.
16．(12分)如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點均在格點上．
(1)將△ABC向下平移3個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1．
(2)將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△A2B2C，畫出△A2B2C．
(3)在(2)的運動過程中，請計算出△ABC掃過的面積．
(1)如圖2，△A1B1C1即為所求.

圖2
(2)如圖3，△A2B2C即為所求.
圖3
(3)如圖4，在旋轉過程中△ABC掃過的面積即為△ABC與扇形CAA2的面積之和.

圖4
∵AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB＝BC.
∵，即AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC為等腰直角三角形.
∴AB·BC＝.
根據旋轉可知∠ACA2＝90°，∴.
∴△ABC掃過的面積為S＝S△ABC＋.
　
17．(14分)數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，先固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，進而探究圖形旋轉的性質．已知在三角形紙片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
(1)【初步感知】如圖①，連接BD，CE，在三角形紙片ADE繞點A旋轉的過程中，試探究 的值．
(2)【深入探究】如圖②，在三角形紙片ADE繞點A旋轉的過程中，當點D恰好落在△ABC的中線BM的延長線上時，延長ED交AC于點F，求CF的長．
(3)【拓展延伸】在三角形紙片ADE繞點A旋轉的過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，請直接寫出所有Rt△CDE的面積；若不能，請說明理由．
　　　　　　　　　
　　　 備用圖　　　
(1)∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴AC＝AE＝＝5.
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD.
∵＝1，∴△ADB∽△AEC.
∴.
(2)如圖5，連接CE，延長BM交CE于點Q，連接AQ交EF于點P，延長EF交BC于點N.
圖5
同(1)得△ADB∽△AEC，∴∠ABD＝∠ACE.
∵BM是△ABC的中線，
∴BM＝AM＝CM＝AC＝.
∴∠MBC＝∠MCB.
∵∠ABD＋∠MBC＝90°，
∴∠ACE＋∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°.
∴AB∥CE.∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM.
又AM＝CM，∴△BAM≌△QCM.
∴BM＝QM.∴四邊形ABCQ是平行四邊形.
∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCQ是矩形.
∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN.
∴EQ＝＝3.∴EQ＝CQ.
∴PQ是△CEN的中位線.∴PQ＝CN.
設PQ＝x，則CN＝2x，AP＝4－x.
∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3，
∴△EQP≌△ADP.∴EP＝AP＝4－x.
圖5
∵EP2＝PQ2＋EQ2，∴＝x2＋32，解得x＝.
∴AP＝4－x＝，CN＝2x＝.
∵PQ∥CN，∴△APF∽△CNF.
∴.設CF＝y，則AF＝5－y.
∴，解得y＝.∴CF的長為 .
(3)C，D，E三點能構成直角三角形，Rt△CDE的面積為4或16或12或 .
圖5(共29張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
四邊形
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共24分)
1．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(　　)．
A．AB∥DC，AD∥BC　　 B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC　　　 D．OA＝OC，OB＝OD
C
2．如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為OC的中點，EF∥AB交BC于點F．若AB＝4，則EF的長為(　　)．
A．　　　　 B．1　　 C．　　 D．2
B
3．如圖，在 ABCD中，E為DC的中點，AE交BD于點O．若＝9 cm2，則＝(　 　 )．
A．18 cm2　　 B．27 cm2　 C．36 cm2　 D．45 cm2
C
4．如圖，E是正方形ABCD內的一點，將△ABE繞點B順時針旋轉90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，則∠EGC的度數為(　　)．
A．60°　　　 B．75°　　　 C．80°　 D．85°
C
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，則cos∠CEF的值為(　　)．
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　 D．
A
6．如圖，矩形OABC的頂點A在反比例函數y＝(x＜0)的圖象上，頂點B，C在第一象限內，對角線AC∥x軸，交y軸于點D．若矩形OABC的面積是6，cos∠OAC＝，則k＝(　　)．
A．－　　　　 B．－　　 C．－ D．－
A
7．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD＝120°．E，F分別是邊AB，AD上的點，BE＝AF．AC與EF相交于點G，連接EC，CF．有下列結論：①△BCE≌△ACF；②△CEF為等邊三角形；③∠AGE＝∠BEC；④若AF＝1，則EG＝3FG．其中正確的有(　　)．
A．1個　　　　 B．2個　　　 C．3個　　 D．4個
D
8．如圖，正方形ABCD的邊長為10，G是邊CD的中點，E是邊AD上一動點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF．當GF最短時，AE的長是(　　)．
A．5－5　　　　 B．5－10　　　 C．5　　 D．5
A
二、填空題．(每小題4分，共20分)
9．如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的度數為
　　　　　．
63°
10．如圖，O是AC的中點，將周長為4 cm的菱形ABCD沿對角線AC方向平移AO的長度得到菱形OB'C'D'，則四邊形OECF的周長是　 　cm．
2
11．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'
處，折痕為MN，點D落在點D'處，C'D'交AD于點E．若BM＝3，BC'＝4，
AC'＝3，則DN＝ ．
12．如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連接AP并延長交CD于點F．給出以下結論：①△AEP為等腰三角形；②F為CD的中點；③AP∶PF＝2∶3；④cos∠DCQ＝．其中正確的有_________________．
(填序號)
①②③
13．在平面直角坐標系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為(1，0)，點D的坐標為(0，2)．延長CB交x軸于點A1，作第2個正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作第3個正方形A2B2C2C1；……按此規律進行下去，若點D，C，C1，……在直線y＝x＋2上，
則A2 024A2 025 的長為　　　 　　．
三、解答題．(共56分)
14．(8分)如圖， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，FA．
(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴EO＝FO.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2.
又∵EO＝FO，
∴S△CFO＝1.
(2)若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
15．(8分)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE．過點C作CF∥BD交OE的延長線于點F，連接DF．求證：
(1)△ODE≌△FCE．
(2)四邊形OCFD是矩形．
第15題圖
證明：(1)∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，∠DOE＝∠CFE.
∵E是CD的中點，
∴DE＝CE.
∴△ODE≌△FCE.
(2)∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC.
又∵CF∥OD，
∴四邊形OCFD是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°.
∴四邊形OCFD是矩形.

16．(8分)如圖，在 ABCD中，點F在邊AD上，AB＝AF，連接BF，O為BF的中點，AO的延長線交邊BC于點E，連接EF．
(1)求證：四邊形ABEF是菱形．
(2)若 ABCD的周長為22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的長．

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.∴∠AFO＝∠EBO.
∵O是BF的中點，∴OB＝OF.
又∠AOF＝∠EOB，∴△AOF≌△EOB.
∴OA＝OE.∴四邊形ABEF是平行四邊形.
∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形.
(2)由(1)知四邊形ABEF是菱形，∴AB＝BE＝AF.
∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝60°.
∴△ABE是等邊三角形.
∴AE＝AB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD.
∴EC＝DF＝1.
∵AB＋BC＋CD＋AD＝22，
∴AB＋BE＋1＋CD＋AF＋1＝22.
∴4AB＝20.∴AE＝AB＝5.
17．(10分)如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED交BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFM，連接CM．
(1)求證：矩形DEFM是正方形．
(2)求CE＋CM的值．
(1)證明：作EG⊥CD于點G，EH⊥BC于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD.
∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH.
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四邊形EGCH是矩形.∴∠GEH＝90°.
∵四邊形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°.
∴∠DEG＝∠FEH.
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，EG＝EH，
∴△EGD≌△EHF.∴ED＝EF.∴矩形DEFM是正方形.
(2)∵四邊形DEFM是正方形，四邊形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD＝AB＝6，∠ADC＝∠EDM＝90°.
∴∠ADE＝∠CDM.∴△ADE≌△CDM.
∴AE＝CM.∴CE＋CM＝CE＋AE＝AC＝＝6.
18．(10分)如圖，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD．
(1)求證：AD2＝DE·DC．
(2)若F為線段AE延長線上一點，且滿足EF＝CF＝BD，求證：CE＝AD．

　
第18題圖
證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，BA＝DC.
∴∠ABD＋∠ADB＝90°.
∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝∠DAE.∴△ADE∽△BAD.
∴.∴AD2＝DE·BA.∴AD2＝DE·DC.
(2)取BD的中點O，連接AO.
∴AO＝DO＝BO＝BD.∴∠ADO＝∠OAD.
又EF＝CF＝BD，
∴EF＝CF＝DO＝AO，∠FEC＝∠FCE.
∵∠EDA＝90°，∴∠EDO＋∠ADO＝90°.
∵AE⊥BD，∴∠EDO＋∠DEA＝90°.∴∠ADO＝∠DEA.
又∠DEA＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE.
又DO＝EF，∴△OAD≌△FCE.∴CE＝AD.
19．(12分)如圖①， ABCD的對角線AC與BD交于點O，點M，N分別在邊AD，BC上，且AM＝CN．E，F分別是BD與AN，CM的交點．
(1)求證：OE＝OF．
(2)連接BM交AC于點H，連接HE，HF．
Ⅰ．如圖②，若HE∥AB，求證：HF∥AD．
Ⅱ．如圖③，若 ABCD為菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求 的值．
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA＝OC.
∵AM＝CN，∴四邊形AMCN是平行四邊形.
∴AN∥CM.∴∠OAE＝∠OCF.
又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
(2)Ⅰ.證明：∵HE∥AB，∴.
∵OB＝OD，OE＝OF，∴.
∵∠HOF＝∠AOD，∴△HOF∽△AOD.
∴∠OHF＝∠OAD.∴HF∥AD.
Ⅱ.∵ ABCD為菱形，
∴AC⊥BD.
∵OE＝OF，∠EHF＝60°，
∴∠EHO＝∠FHO＝30°.
在Rt△HOE中，OH＝OE.
∵AM∥BC，∴△AMH∽△CBH.
又MD＝2AM，∴，即HC＝3AH.
∵OA＝OC，∴OA＋OH＝3(OA－OH)，解得OA＝2OH.
∵BN∥AD，∴△BNE∽△DAE.
又MD＝2AM，AM＝CN，AD＝BC，
∴，即3BE＝2ED.
∵OB＝OD，∴3(OB－OE)＝2(OB＋OE)，解得OB＝5OE.
∴.(共24張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
統計與概率
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共30分)
1．下列事件是必然事件的是(　　)．
A．中考期間會下雨 B．在地球上，拋出的籃球會下落
C．若a是實數，則a2＞0 D．打開電視，它正在播放亞運會相關賽事
B
2．為了解某市參加中考的32 000名學生的體重情況，隨機抽查了其中1 600名學生的體重進行統計分析，下列說法正確的是(　　)．
A．32 000名學生是總體
B．1 600名學生的體重是總體的一個樣本
C．每名學生是總體的一個個體
D．調查方式是普查
B
3．一個盒子里裝有大小、形狀均相同的4個球，其中紅球1個，綠球1個，白球2個．小明先從中隨機摸出一個球后不放回，再從中隨機摸出一個球，兩次都摸到白球的概率是(　　)．
A．　 　 B．　 　 C．　 　 D．
C
4．某校開展了主題為“牢記歷史·吾輩自強”的演講比賽，九年級8名同學參加該演講比賽的成績分別為76，78，80，85，80，74，78，80．這組數據的眾數和中位數分別為(　　)．
A．80；79 B．80；78　　
C．78；79　　 D．80；80
A
5．甲、乙兩名同學在相同條件下六次射擊訓練的成績(單位：環)如圖所示，則下列說法正確的是(　　)．
A．甲的平均數大，甲的方差大
B．甲的平均數大，乙的方差大
C．乙的平均數大，甲的方差大
D．乙的平均數大，乙的方差大
A
6．在四張完全相同的卡片上，分別標上1，2，3，4．從中隨機抽取一張，放回攪勻后再隨機抽取一張，則第二張卡片上的數字能夠整除第一張卡片上的數字的概率是(　　)．
A．　　　　　B．　　　　　　 C．　　　　　　D．
A
7．若關于x的一元二次方程x2－mx＋4＝0中，數m是－4，－3，－2，－1，1，2，3，4中的一個，則該一元二次方程有兩個相等實數根的概率為(　　)．
A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．
A
8．如圖，電路圖上有四個開關A，B，C，D和一個小燈泡，則任意閉合其中兩個開關，小燈泡發光的概率是(　　)．
A．　　　　　 B．　　 C．　　　　　 D．
A
9． 某手表廠抽查了10只手表的日走時誤差，數據如下表所示，則這10只手表的平均日走時誤差是(　　)．
A．0 s B．0.6 s C．0.8 s D．1.1 s
日走時誤差/s 0 1 2 3
手表數量 3 4 2 1
D
10．在邊長為1的小正方形網格中，A，B兩點如圖所示，在格點中任意放置點C，恰好能使△ABC的面積為1的概率是(　　)．
A． B． C． D．
D
二、填空題．(每小題4分，共20分)
11．甲、乙、丙三名運動員在5次射擊訓練中，平均成績都是8.5環，方差分別是＝0.78，＝0.2，＝1.28，則這三名運動員中5次訓練成績最穩定的是　　　．(填“甲”“乙”或“丙”)
乙
12．如圖，等邊三角形ABC是由9個大小相同的小等邊三角形構成，隨
機地往△ABC內投一粒米，則該米粒落在陰影區域的概率為　　　．
13．在一個不透明的袋中，有黃、白、黑三種除顏色外其他完全相同的小球共50個．小紅從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回袋中，通過多次重復試驗后，發現摸到白球、黑球的頻率分別穩定在20%和36%附近，則估計袋中黃球大約有　　　　個．
22

14．從1，2，－3，0四個數中隨機取兩個數求和，結果記為a，則使得
一次函數y＝ax的圖象經過第一、第三象限的概率為　　　　．
　
15. 5瓶飲料中有2瓶過了保質期，隨機地從這5瓶飲料中選取2瓶，至少
取到1瓶過期飲料的概率為　　　　．
三、解答題．(共50分)
16． (12分)某中學九年級舉辦中華優秀傳統文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學生中抽取20名，其競賽成績統計圖如圖所示．
(1)求這20名學生成績的眾數、中位數和平均數．
(2)若規定成績大于或等于90分為優秀等級，試估計該年級獲優秀等級的學生人數．
(1)眾數是90，中位數是90，平均數是90.5.　
(2)600×＝450(人)
17．(12分)隨著杭州亞運會的成功舉辦，杭州賽區的競賽場館吸引了無數游客前來參觀．小明和小穎都是志愿者，為游客提供咨詢服務，他們將被隨機分配到杭州賽區的4個競賽場館，這4個場館分別為：A．杭州奧體中心體育場；B．杭州奧體中心體育館；C．杭州奧體中心游泳館；D．杭州奧體中心網球中心．已知小明和小穎被隨機分配到這4個場館中的任意一個場館的可能性相同．
(1)小明被分配到D場館做志愿者的概率為　　　　　．
(2)用列表法或畫樹狀圖法，求小明和小穎被分配到同一個場館做志愿者的概率．
(2)畫樹狀圖如下：
一共有16種等可能的結果，其中小明和小穎被分配到同一個場館做志愿者的結果有4種，∴P(小明和小穎被分配到同一個場館做志愿者)＝
.

18．(13分)某校為了解本校九年級女生體育測試項目“仰臥起坐”的訓練情況，隨機調查了50名九年級女生一分鐘仰臥起坐的個數，將她們的成績分為四組進行統計，并繪制成如下不完整的統計表．請根據統計表中的信息，解答下列問題．
分組 個數x 頻數(人數) 每組仰臥起坐的平均個數
A 10≤x＜20 n 15
B 20≤x＜30 18 26
C 30≤x＜40 2n 34
D 40≤x≤50 8 46
(1)若要將統計表中的信息繪制為扇形統計圖，則C組對應的圓心角的度數
為 °．
(2)本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐成績的中位數落在　　　　組．
(3)求本次所抽取的50名女生一分鐘仰臥起坐的平均個數．
(4)若在該校體育考試中，一分鐘仰臥起坐個數不少于20個才算通過考試，
請你估計該校九年級700名女生中能通過體育考試的女生人數．
115.2
B
(3)易知n＝8，∴＝30(個).
(4)×700＝588(人)
19．(13分)“強國必須強語，強語助力強國”．為全面落實國家語言文字方針政策，弘揚中華民族優秀傳統文化，某學校組織學生參加以“推廣普通話，奮進新征程”為主題的朗誦比賽．該校隨機抽取部分學生的比賽成績進行統計，將成績分為：A(優秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)四個等級，并根據結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請根據圖中所給信息，解答下列問題．
(1)這次調查活動共抽取　　　　人．
(2)請補全條形統計圖．
(3)學校要從答題成績為A等級且表達能力較強的甲、乙、丙、丁4名學生中，隨機選取2名學生做“推廣普通話宣傳員”，請用列表法或畫樹狀圖法，求選取的2名學生恰好是甲和乙的概率．
50
(2)50×24%＝12(人)，圖略.
(3)畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能的結果，其中選取的2名學生恰好是甲和乙的結果有2種，∴P(選取的2名學生恰好是甲和乙)＝.(共32張PPT)
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函數
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共27分)
1． 在函數y＝ 中，自變量x的取值范圍是(　　)．
A．x＞－1　　　　　 B．x≥－1
C．x＞－1且x≠2　　 D．x≥－1且x≠2
D
2．下列函數，當x＞0時，y隨x的增大而減小的是(　　)．
A．y＝x2 B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝
D
3．若一次函數y＝(k－3)x＋2的函數值y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是(　　)．
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
C
4．如圖，這是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為(－2，2)，則“炮”所在位置的坐標為(　　)．
A．(3，1) B．(1，3) C．(4，1) D．(3，2)
A
5．已知函數y＝(k－1)＋2是一次函數，則k的值是(　　)．
A．－1　 B．1　 C．±1　　 D．0
A
6．已知100 N的壓力F作用于物體上時，產生的壓強p(單位：Pa)與受力面積S(單位：m2)的函數表達式為p＝，若產生的壓強要大于1 000 Pa，則下列關于物體受力面積S的說法正確的是(　　)．
A．S小于0.1 m2 B．S大于0.1 m2 C．S小于10 m2 D．S大于10 m2
A
7． 在反比例函數y＝－ 的圖象上有三個點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＜0＜x2＜x3，則下列結論正確的是(　　)．
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
C
8．拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如圖所示，則下列說法錯誤的是(　　)
A．拋物線關于直線x＝1對稱
B．函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4
C．－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根
D．當x＜1時，y隨x的增大而增大
D
9． 已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數
y＝ax＋b和反比例函數y＝ 在同一平面直角坐標系中的圖象大致為
(　　)．
　 A　 　 B　 　 C　 　 D
C
二、填空題．(每小題4分，共28分)
10．如果點P在第二象限內，點P到x軸的距離是5，到y軸的距離是2，那么點P的坐標為　　　　　．
(－2，5)
11．已知正比例函數y＝kx(k是常數，k≠0)的圖象經過第二、第四象限，則y隨著x的增大而　　　　　．(填“增大”或“減小”)
減小
12．若拋物線y＝－4x2不動，將平面直角坐標系的x軸、y軸分別向上平
移1個單位長度、向右平移2個單位長度，則在新的平面直角坐標系中此
拋物線的解析式為 ．
y＝－4(x＋2)2－1
13．已知反比例函數y＝(k是常數，k≠1)的圖象有一支在第二象限，則k的取值范圍是　　　　　．
k＜1

14．小沖對實心球投擲訓練錄像進行了分析，發現實心球在行進過程中高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數圖象如圖所示(P為頂點)，由此可知此次投擲的成績是　　　　m．
8
15．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，有下列結論：①abc＜0；②3a＋c＜0；③b2－4ac＞0；④b＞a．其中正確的是　　　　　．(填序號)
②③
16．如圖，Rt△ABC的直角邊BC在x軸負半軸上，斜邊AC上的中線BD的反向延長線交y軸正半軸于點E，反比例函數y＝(x＜0)的圖象經過點A．若＝8，則k的值為　　　　　．
16
三、解答題．(共45分)
17． (9分)某服裝店經銷A，B兩種T恤衫，進價和售價如下表所示．
(1)第一次進貨時，服裝店用6 000元購進A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？
(2)受市場因素影響，第二次進貨時，A種T恤衫進價每件上漲了5元，B種T恤衫進價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進量不超過A種T恤衫購進量的2倍．設此次購進A種T恤衫m件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．
①求W與m之間的函數解析式．
②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
品種 A B
進價/(元/件) 45 60
售價/(元/件) 66 90
(1)設購進A種T恤衫x件，B種T恤衫 y件.
根據題意，得解得
∴全部售完可獲利(66－45)×80＋(90－60)×40＝1 680＋1 200＝2 880(元).
(2)①易知購進B種T恤衫(150－m)件.
根據題意，得150－m≤2m，解得m≥50，
∴W＝(66－45－5)m＋(90－60－10)(150－m)＝－4m＋3000(50≤m≤150).
②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利.理由如下：
由①可知，W＝－4m＋3 000(50≤m≤150)，
∵－4＜0，∴W隨m的增大而減小.
∴當m＝50時，W取得最大值，最大值為－4×50＋3 000＝2 800.
∵2 800＜2 880，
∴服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利.
18． (10分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x＋5和y＝－2x的圖象相交于點A，反比例函數y＝ 的圖象經過點A．
(1)求反比例函數的解析式．
(2)設一次函數y＝x＋5的圖象與反比例函數y＝ 的圖象的另一個交點為B，連接OB，求△ABO的面積．

(1)聯立 解得∴A(－2，4).
∵反比例函數y＝ 的圖象經過點A，∴k＝－8.
∴反比例函數的解析式為y＝－.
(2)由(1)知反比例函數的解析式為y＝－，
聯立 解得 或
∴B(－8，1).
設直線AB與x軸交于點C，
將y＝0代入y＝x＋5，得x＝－10，∴C.
∴S△ABO＝S△ACO－S△BCO＝×10×4－×10×1＝15.∴△ABO的面積為15.
19． (12分)如圖，頂點為C(0，－3)的拋物線y＝ax2＋b(a≠0)與x軸交于A，B兩點，直線y＝x＋m過頂點C和點B．
(1)求m的值．
(2)求拋物線y＝ax2＋b(a≠0)的解析式．
(3)拋物線上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
將(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3.
(2)將y＝0代入y＝x－3，得x＝3，
∴點B的坐標為(3，0).
將(0，－3)，(3，0)代入y＝ax2＋b，
可得解得
∴拋物線的解析式為y＝x2－3.
(3)存在.易知OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
分以下兩種情況：
①若點M在點B上方，設MC交x軸于點D，則∠OCD＝45°－15°＝30°，
∴OD＝OC·tan 30°＝.∴D(，0).
由C(0，－3)，D(，0)可求得DC所在直線的解析式為y＝x－3.
聯立解得
∴M1(3，6).
②若點M在點B下方，設MC交x軸于點E，則∠OCE＝45°＋15°＝60°，
∴OE＝OC·tan 60°＝3.∴E(3，0).
由C(0，－3)，E(3，0)可求得EC所在直線的解析式為 y＝x－3.
聯立解得
∴M2(，－2).
綜上所述，點M的坐標為(3，6)或(，－2).
20． (14分)在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c(0＜a＜12)過點A(1，c－5a)，B(x1，3)，C(x2，3)．頂點D不在第一象限，線段BC上有一點E，設△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2＋．
(1)用含a的式子表示b．
(2)求點E的坐標．
(3)若直線DE與拋物線的另一個交點F的橫坐標為 ＋3，求y＝ax2＋
bx＋c在 1＜x＜6時的取值范圍．(用含a的式子表示)
將點A(1，c－5a)代入y＝ax2＋bx＋c，得a＋b＋c＝c－5a，∴b＝－6a.
(2)由(1)知拋物線的對稱軸為直線x＝－＝3.
過點O作OP⊥BC于點P，則OP＝3，
∴S1＝×3·BE，S2＝×3·CE.
∵S1＝S2＋，
∴×3·BE－×3·CE＝.∴BE－CE＝1.
∵點B，C在拋物線上，拋物線的對稱軸為直線x＝3，∴x1＋x2＝6.
設點E的坐標為(xE，3).
①當點B在點C左側時，BE＝xE－x1，CE＝x2－xE.
∵BE－CE＝1，∴xE－x1－(x2－xE)＝1.
∴2xE＝x1＋x2＋1＝7.∴xE＝.
②當點B在點C右側時，BE＝x1－xE，CE＝xE－x2.
∵BE－CE＝1，∴x1－xE－(xE－x2)＝1.
∴2xE＝x1＋x2－1＝5.∴xE＝.
綜上所述，點E的坐標為或.
(3)∵0＜a＜12，∴.∴＋3＞.
∴點F在對稱軸右側的拋物線上.
∴點E也應在對稱軸的右側，即E.
設拋物線的解析式為y＝a(x－3)2＋k，k≤0，
∴D(3，k)，F.
設直線DE的解析式為y＝mx＋n，
將點D(3，k)，E代入，
得 解得
∴直線DE的解析式為y＝(6－2k)x＋7k－18.
當x＝＋3時，y＝＋k－.
∵點F在直線DE上，
∴＋k－＋k.∴k＝0.
∴拋物線的解析式為y＝a(x－3)2.
當x＝3時，y＝0；當x＝1時，y＝4a；當x＝6時，y＝9a.
∵a＞0，∴9a＞4a.∴當1＜x＜6時，0≤y＜9a.(共32張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破-單元強化練習——
方程與不等式
一、選擇題
二、填空題
三、解答題
一、選擇題．(每小題3分，共30分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如果x＞y，那么下列各式正確的是(　　)．
A．x＋5＜y＋5　　 B．x－5＜y－5 C．5x＞5y D．－5x＞－5y
C
2．分式方程 的解是(　　)．
A．x＝3　　 B．x＝2　　　 C．x＝　 D．x＝
D
3．下列方程中，有兩個相等的實數根的是(　　)．
A．(x－2)2＝－1　B．(x－2)2＝0　 C．(x－2)2＝1　 D．(x－2)2＝2
B
4．《九章算術》中記載這樣一個問題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設每頭牛值x金，每只羊值y金，可列方程為(　　)．
A．　 B．　
C．　 D．
A
5．實數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則下列結論正確的是
(　　)．

A．b＋c＞3 B．a－c＜0 C． D．－2a＜－2b
B
6．一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為(　　)．
A．20% B．22% C．25% D．28%
C
7．一艘貨輪在靜水中的航速為40 km/h，它以該航速沿江順流航行120 km所用時間與以該航速沿江逆流航行80 km所用時間相等，則江水的流速為
(　　)．
A．5 km/h B．6 km/h C．7 km/h D．8 km/h
D
8．若關于x的不等式組的解集為x＜3，則m的取值范圍是
(　　)．
A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
B
9．已知關于x，y的二元一次方程組 的解為 則
a－2b的值是(　　)．
A．－2 B．2 C．3 D．－3
B
10．已知關于x的分式方程 －2＝ 無解，則k的值為(　　)．
A．k＝2或k＝－1　 B．k＝－2
C．k＝2或k＝1 D．k＝－1
A
二、填空題．(每小題4分，共20分)
11．已知2xm－1＋4＝0是一元一次方程，則 m＝　　　　．
2
12．已知m是方程x2＋4x－1＝0的一個根，則(m＋5)(m－1)的值為
　　　　．
-4
13．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的兩個實數根，則
(x1－x2)2＋3x1x2的值是　　　　．
14
14．《九章算術》是我國古代的數學專著，書中第八章“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走100 m，速度慢的人每分鐘走60 m，現在速度慢的人先走100 m，速度快的人去追他．問速度快的人追上他需要　　　　min．
2.5
15．定義一種新運算：a※b＝例如：－2※4＝(－2)2－4＝0，2※3＝－2＋3＝1．若x※1＝－，則x的值為　　　　．
－ 或
三、解答題．(共50分)
16．(6分)(1)解方程組：　　　　　　　 　　　　　
解：
①×3＋②得，10x＝5，解得x＝.把x＝ 代入①得1－y＝5，
解得y＝－4.∴原方程組的解為
解：x－2－2(x－4)＝x
－2x＝－6
x＝3
經檢驗，x＝3是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝3.
(2)解方程：－2＝．
17．(4分)解不等式組：
解：2(x－2)＜x＋3
x＜7
＜2x
x＞
∴不等式組的解集為 ＜x＜7.
18．(4分)為傳承我國傳統節日文化，端午節前夕，某校組織了包粽子活動．已知七(3)班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組同學包150個粽子所用的時間與乙組同學包120個粽子所用的時間相同．求甲、乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子．
設乙組同學平均每小時包x個粽子，則甲組同學平均每小時包(x＋20)個粽子，由題意得 ，解得x＝80.經檢驗，x＝80是原分式方程的解，且符合題意.∴x＋20＝100.∴甲組同學平均每小時包100個粽子，乙組同學平均每小時包80個粽子.
19．(6分)已知關于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0．
(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不等的實數根．
(2)若方程的兩個實數根為x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值．
(1)證明：Δ＝－4×1×＝m2＋8≥8，∵無論m取何值，m2＋8＞0恒成立，∴無論m取何值，方程都有兩個不等的實數根.　
(2)∵x1，x2是方程的兩個實數根，∴x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1.∴－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(m＋2)2－3(m－1)＝9，解得m1＝1，m2＝－2.
20．(6分)某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．
(1)求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價．
(2)該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1 000棵，且總費用不超過38 000元，則最多可以購買臍橙樹苗多少棵？
(1)設臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為 x元，y元，
根據題意得解得
∴臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為50元，30元.
(2)設購買臍橙樹苗a棵，則購買黃金貢柚樹苗 (1 000－a)棵，根據題意得50a＋30(1 000－a)≤38 000，解得a≤400.∴最多可以購買臍橙樹苗400棵.
21．(8分)某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻(墻的長度為10 m)，另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24 m，設較小矩形的寬為x m(如圖)．
(1)若矩形養殖場的總面積為36 m2，求此時x的值．
(2)當x為多少時，矩形養殖場的總面積S最大？最大值為多少？
(1)依題意得，較大矩形平行于墻的一邊長為 2x m，垂直于墻的一邊長為 ＝(8－x) m，∴(x＋2x)(8－x)＝36，解得x1＝2，x2＝6.
當x＝6時，3×6＝18＞10，不合題意，舍去.∴x＝2.此時x的值為2.
(2)由已知得S＝(x＋2x)(8－x)＝－3(x－4)2＋48，由
得0＜x≤.又－3＜0，∴S隨x的增大而增大.
∴當x＝ 時，S有最大值，最大值為 .
∴當x＝ 時，矩形養殖場的總面積S最大，最大值為 m2.
22．(8分)【定義】我們把數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值．數軸上表示數a，b的點A，B之間的距離AB＝a－b(a≥b)．特別地，當a≥0時，表示數a的點與原點的距離等于a－0；當a＜0時，表示數a的點與原點的距離等于0－a．
【應用】如圖，在數軸上，動點A從表示－3的點出發，以每秒1個單位長度的速度沿著數軸的正方向運動．同時，動點B從表示12的點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著數軸的負方向運動．
(1)經過多長時間，點A，B之間的距離等于3個單位長度？
(2)求點A，B到原點距離之和的最小值．

(1)設經過x s，則點A表示的數為－3＋x，點B表示的數為12－2x，根據題意，得＝3，解得x＝4或x＝6.∴經過4 s或6 s，點A，B之間的距離等于3個單位長度.
(2)由(1)知，點A，B到原點距離之和為.①當0≤x＜3時，＝3－x＋12－2x＝15－3x.∵0≤x＜3，∴6＜15－3x≤15，即 6＜≤15.②當3≤x≤6時，＝x－3＋12－2x＝9－x.∵3≤x≤6，∴3≤9－x≤6，即3≤≤6.③當x＞6時，＝x－3＋2x－12＝3x－15.∵x＞6，∴3x－15＞3，即＞3.綜上所述，≥3.∴點A，B到原點距離之和的最小值為3.
23．(8分)一個三角點陣如圖所示，從上向下數有無數行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，……第n行有n個點．容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

(1)【探索】三角點陣中前8行的點數之和為　　 　，前15行的點數之
和為 　 　，前n行的點數之和為　　　 　．
36
120
提示：
三角點陣中前8行的點數之和1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝×8＝36；
前15行的點數之和為1＋2＋3＋…＋14＋15＝×15＝120；
前n行的點數之和為1＋2＋3＋…＋n＝×n＝.
(2)【體驗】三角點陣中前n行的點數之和　　　　(填“能”或“不能”)為500．
　提示：由題意得 ＝500，即n2＋n－1 000＝0.∵Δ＝12－4×(－1 000)＝4 001，∴此方程無正整數解.∴三角點陣中前n行的點數之和不能是500.
不能
(3)【運用】某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，……第n排2n盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
前n排的盆數之和為2＋4＋6＋…＋2n＝2××n＝n，由題意得n＝420，即n2＋n－420＝0.∴(n＋21)(n－20)＝0，解得n＝20或n＝－21(舍去).∴一共能擺放20排.

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