資源簡介

(共29張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第二單元　方程與不等式
——一元二次方程及應用
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點

　　　　　　　　　　　　　　

1．一元二次方程
等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是　　　 　(a，b，c為常數，a≠0)．其中_____是二次項，______是二次項系數；______是一次項，　　 　是一次項系數；　　 　 是常數項．
ax2＋bx＋c＝0　
ax2　
a　
bx　
b　
c
知識要點

　　　　　　　　　　　　　　

2．一元二次方程的解法
(1)直接開平方法：(x＋n)2＝p(p≥0)的根是　　　　　　　．
(2)配方法：將ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通過配方化成(x＋n)2＝p的形式，如果　　　　，就用直接開平方法求解；如果__________，那么原方程無實數根．
(3)公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式為 ．
(4)因式分解法：將ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通過分解因式化成(x－m)(x－n)＝0的形式，進而得到x－m＝0或x－n＝0來求解．
p≥0　
p＜0
x＝(b2－4ac≥0)
x＝－n±　
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

2．解方程：x2－3x＋2＝0．
解：(x－2)(x－1)＝0
x1＝1，x2＝2
1．解方程：x2－2x－8＝0．
解：x2－2x＝8
(x－1)2＝9
x－1＝±3
x1＝－2，x2＝4
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．一元二次方程的根的判別式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式為Δ＝b2－4ac．
①當Δ＞0時，方程有__________的實數根，x1＝_______________，
x2＝____________．
兩個不等　　
　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

②當Δ＝0時，方程有__________的實數根，x1＝x2＝__________．
③當Δ＜0時，方程　　　　　．
兩個相等　
－　
沒有實數根
3．關于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情況是
(　　)．
A．沒有實數根
B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不等的實數根
D．實數根的個數與實數a的取值有關
C
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．等腰三角形ABC的三邊分別為a，b，c，其中a＝5．若關于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有兩個相等的實數根，求△ABC的周長．
∵方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0.化簡，得b2＋8b－20＝0，解得b1＝－10，b2＝2.∵b為三角形的一邊長，∴b＝2.
∵2＋2＜5，而5－5＜2＜5＋5，∴c＝5.
∴△ABC的周長為12.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．一元二次方程的根與系數的關系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數根為x1，x2，則x1＋x2＝__________，x1x2＝__________．
5．已知關于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的兩個實數根分別為x1，x2．
(1)求m的取值范圍．
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
－　
(1)∵原方程有兩個實數根，∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤.
(2)∵x1，x2為x2＋3x＋m－1＝0的兩個根，∴x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，代入2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，可得m＝－3.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

5．一元二次方程的應用
列一元二次方程解決實際問題的步驟與前面講過的列方程解決實際問題的步驟相同．注意所求出的方程的根一定要使實際問題有意義，不滿足實際問題的根要舍去．
6．直播購物逐漸走進了人們的生活．某商家對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，若按每件60元銷售，則每天可賣出200件．通過市場調查發現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加100件．若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，則每件售價應定為多少元？
設每件的售價應定為x元，依題意得(x－40)＝(60－40)×200，解得x1＝50，x2＝60(舍去).∴每件售價應定為50元.
A組　基礎題
1．關于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有兩個不等的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)．
A．m＜　 B．m≤
C．m＞　 D．m≥
A　
2．若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩個實數根，則x1＋x2的值是(　　)．
A．－2 B．2 C．3 D．－3
3．關于x的一元二次方程x2＋kx－3＝0的一個根是x＝1，則另一個根是(　　)．
A．x＝3 B．x＝－1
C．x＝－3 D．x＝－2
C　
C　
4．某商品原價為180元，連續兩次提價x%后售價為300元，下面所列方程正確的是(　　)．
A．180(1＋x%)＝300
B．180(1＋x%)2＝300
C．180(1－x%)＝300
D．180(1－x%)2＝300
5．若關于x的方程(a＋3)－3x＋2＝0是一元二次方程，則a的值為_________．
6．若關于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0無實數根，則m的取值范圍是_________．
B　
3　
m＞1
7．解下列方程：
(1)(x－1)2＝3； (2)x2－3x＝0；
(1)解：x－1＝±
x1＝1－，x2＝1＋
(2)解：x(x－3)＝0
x1＝0，x2＝3
(3)解：a＝1，b＝1，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，
∴方程有兩個不等的實數根.
∴x＝，
即x1＝，x2＝.
(4)解：(x－1)(x－5)＝0
x1＝1，x2＝5
(3)x2＋x－1＝0； (4)x2－6x＋5＝0．
8．關于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根．
依題意得Δ＝(－2)2－4(2m－1)≥0，解得m≤1.∵m為正整數，
∴m＝1.∴方程為x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.∴m＝1，此時方程的根為x1＝x2＝1.
9．去年某商店 “十一黃金周” 進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的12%．
(1)求該商店去年 “十一黃金周” 這七天的總營業額．
(2)去年該商店7月份的營業額為350萬元，8，9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周” 這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8，9月份營業額的月增長率．
(1)450＋450×12%＝504(萬元).∴該商店去年 “十一黃金周” 這七天的總營業額為504萬元.
(2)設該商店去年8，9月份營業額的月增長率為x，則有350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去).∴該商店去年8，9月份營業額的月增長率為20%.
B組　能力題
10．若x＝1是關于x的一元二次方程 (k2－1)x2＋3x－3k＝0的一個根，則k的值為(　　)．
A．1　　　 B．2
C．1或2　 D．0
11．關于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有兩個實數根x1，x2．若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，則k的值為(　　)．
A．0或2 B．－2或2
C．－2 D．2
B　
D
12．設 x1，是一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個實數根，則＋3x1x2＋的值為__________．
7
13．已知關于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．
(1)求證：無論p取何值，此方程總有兩個實數根．
(2)若原方程的兩根x1，x2滿足－x1x2＝3p2＋1，求p的值．
(1)證明：原方程可變形為x2－5x＋6－p2－p＝0.∵Δ＝(2p＋1)2≥0，∴無論p取何值，此方程總有兩個實數根.
(2)依題意得x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.∵－x1x2＝3p2＋1，即(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1，∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1.∴p＝－2.
14．某商品原來每件的售價為60元，經過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．
(1)求該商品每次降價的百分率．
(2)若該商品每件的進價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少件后，方可進行第二次降價？
(1)設該商品每次降價的百分率為x，依題意得60(1－x)2＝48.6，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去).∴該商品每次降價的百分率是10%.
(2)設第一次降價售出a件，則第二次降價售出(20－a)件，由題意可得，
［60(1－10%)－40］a＋(48.6－40)(20－a)≥200，解得a≥5.∵a為整數，∴a的最小值是6.∴第一次降價至少售出6件后，方可進行第二次降價.
15．某玩具廠生產一種玩具，按照控制固定成本降價促銷的原則，使生產的玩具能夠及時售出．據市場調查，每個玩具按480元銷售時，每天可銷售160個．若銷售單價每降低1元，則每天可多售出2個．已知每個玩具的固定成本為360元，問這種玩具的銷售單價為多少元時，廠家每天可獲利潤20 000元？
設這種玩具的銷售單價為x元，依題意得(x－360)［160＋2(480－x)］＝20 000，整理得x2－920x＋211 600＝0，解得x1＝x2＝460.∴這種玩具的銷售單價為460元時，廠家每天可獲利潤20 000元.
1．(2024·日照)已知實數x1，x2(x1≠x2)是關于x的方程kx2＋2kx＋1＝0(k≠0)的兩個根．若 ＝2，則k的值為(　　)．
A．1 B．－1 C． D．－
B
2．(2024·濰坊)已知關于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n滿足m－2n＝3，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是(　　)．
A．無實數根
B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不等的實數根
D．無法確定
　 C　
3．(2023·廣州)已知關于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有兩個實數根，則的化簡結果是(　　)．
A．－1 B．1
C．－1－2k D．2k－3
A　
6．(2024·德州)已知 a 和 b 是方程 x2＋ 2 024x－4＝0的兩個解，則a2＋2 023a－b的值為__________．
4．(2024·深圳)一元二次方程x2－4x＋a＝0的一個解為x＝1，則a＝__________．
5．(2024·廣東)若關于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有兩個相等的實數根，則c＝__________．
3　
1
2 028
7．(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0．
(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長．
(1)解：(x－1)(x－3)＝0，
x1＝1，x2＝3
(2)當3是直角三角形的斜邊長時，第三邊＝＝2.
當1和3是直角三角形的直角邊長時，第三邊＝.
∴第三邊的長為2 或.
8．(2024·廣州)關于x的方程x2－2x＋4－m＝0有兩個不等的實數根．
(1)求m的取值范圍．
(2)化簡：．
(1)根據題意得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，解得m＞3.
(2)∵m＞3，∴m－3＞0.∴原式＝＝－2.
9．(2024·淄博)“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高，某市參加健身運動的人數逐年增加，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率．
設該市參加健身運動人數的年均增長率為x，由題意得 32(1＋x)2＝50，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(舍去).∴該市參加健身運動人數的年均增長率為25%.
(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1 600元；若購買超過100套，每增加10套，每套售價可降低40元，但最低售價不得少于
1 000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
設購買這種健身器材m套，由題意得m(1 600－×40)＝240 000，整理得m2－500m＋60 000＝0，解得m1＝200，m2＝300.
∵1 600－ ×40≥1 000，解得m≤250，∴購買這種健身器材200套.(共30張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第二單元　方程與不等式
——一次方程(組)及應用
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點

　　　　　　　　　　　　　　

1．等式的性質
(1)若a＝b，則a±c＝__________．
(2)若a＝b，則ac＝__________；若a＝b，c≠0，則＝__________．
b±c　
bc
　　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．一元一次方程
(1)只含有__________個未知數，未知數的次數都是__________，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程．
(2)解一元一次方程的步驟是______、去括號、__________、__________、系數化為1．
1．解方程：＝x．

一　
1
去分母　
移項　
合并同類項
解：2x－5(3－2x)＝10x
2x－15＋10x＝10x
2x＋10x－10x＝15
2x＝15
x＝
對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

解：3(3x－1)－12＝2(5x－7)
9x－3－12＝10x－14
x＝－1
2．解方程：－1＝．
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．二元一次方程(組)
(1)含有兩個__________，并且含有未知數的項的次數都是__________的方程，叫做二元一次方程．
(2)共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組，它的解法有　 　　消元法和　 　　消元法．
3．解方程組：

未知數　
1　
代入
　加減　
解：由②得x＝y＋4.③
把③代入①，得3(y＋4)＋4y＝19，
即7y＋12＝19，解得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝5.
∴原方程組的解為
對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．已知關于x，y的方程組的解相同，求m，n的值．
已知①＋②得2x＝4，解得x＝2.把x＝2代入①，得y＝1.將代入得③＋④得4m＝12，解得m＝3.把m＝3代入③，得n＝2.∴
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．列方程(組)解決實際問題的步驟
①__________清題意；
②__________等量關系；
③__________未知數；
④__________方程(組)；
⑤__________方程(組)；
⑥__________；
⑦__________．
5．一項工作，甲單獨做需要6 h，乙單獨做需要4 h．若甲先做30 min，然后甲、乙一起做，則還需多少小時才能完成這項工作？
審　
找　
設　
列　
解　
檢驗　
作答
設還需x h才能完成這項工作，依題意得 x＝1，解得x＝.∴還需 h才能完成這項工作.
對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

6．某校今年新改造了一片綠化帶，現計劃種植龍舌蘭和春蘭兩種花卉．已知2盆龍舌蘭和3盆春蘭售價130元，3盆龍舌蘭和2盆春蘭售價120元．求龍舌蘭和春蘭的單價．
設龍舌蘭的單價為x元，春蘭的單價為y元，依題意得解得∴龍舌蘭的單價為20元，春蘭的單價為30元.
A組　基礎題
1．已知x，y，c是實數，(　　)．
A．若x＝y，則x＋c＝y－c
B．若x＝y，則xc＝yc
C．若x＝y，則
D．若 ，則2x＝3y
B　
2．如果x＝2是關于x的方程 x＋a＝－1的解，那么a的值是(　　)．
A．0　　 B．2 C．－2　　 D．－6
3．一套儀器由一個A部件和三個B部件構成，用1 m3鋼材可做40個A部件或240個B部件．現要用6 m3鋼材制作這種儀器，且使A部件和B部件剛好配套，設用x m3鋼材做A部件，則可列方程為(　　)．
A．3×40x＝240(6－x)
B．40x＝3×240(6－x)
C．40x＝240(6－x)
D．3×40(6－x)＝240x
C　
A　
4．我國古代數學專著《孫子算經》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬，多少匹小馬？若設有x匹大馬，y匹小馬，則可列方程組為(　　)．
A． B．
C． D．
C　
5．一次安全知識競賽共有30題，規定每一題答對得4分，答錯或不答都扣 1分，在這次競賽中，小靈得分為80分，則她答對了(　　)．
A．20題　 B．21題
C．22題　 D．23題
6．已知關于x的方程x3k－2＋5＝1是一元一次方程，則k＝__________．
7．某商場將一款空調按標價的八折出售，仍可獲利10%，若該空調的進價為 2 000元，則標價為__________元．
C　
1　
2 750
8．(1)解方程：5x＝3(x－4)；(2)解方程組：
(1)解：5x＝3x－12
2x＝－12
x＝－6
(2)解：已知①×2＋②得5x＝10，解得x＝2.把x＝2代入①得y＝－2.∴原方程組的解為
9．某地今年第一季茶青(剛采摘下的茶葉)每千克的價格是去年同期的10倍．茶農李大叔今年種植的茶樹受霜凍影響，第一季茶青的產量為198.6 kg，比去年同期減少了87.4 kg，但銷售收入卻比去年同期增加
8 500元．求茶農李大叔今年第一季茶青的銷售收入．
方法一：設去年第一季茶青每千克的價格為x元，則今年第一季茶青每千克的價格為10x元，依題意得(198.6＋87.4)x＋8 500＝198.6×10x，解得x＝5.∴今年第一季茶青的銷售收入為198.6×10×5＝9 930(元).
方法二：設今年第一季茶青的銷售收入為x元，依題意得 ＝10×，解得x＝9 930.∴今年第一季茶青的銷售收入為9 930元.
10．某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖所示，小強玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數，需重新投，計分規則如下表所示．在第一局中，小強投中A區4次，B區2次，脫靶4次．
投中位置 A區 B區 脫靶
一次計分/分 3 1 －2
(1)求小強第一局的得分．
(2)第二局，小強投中A區k次，B區3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
(1)3×4＋1×2－2×4＝6(分).∴小強第一局的得分為6分.
(2)依題意得3k＋3－2(10－k－3)＝6＋13，解得k＝6.∴k的值為6.
11．某中學要為體育社團購買一些籃球和排球，若購買3個籃球和2個排球，共需560元；若購買2個籃球和4個排球，共需640元．
(1)求每個籃球和每個排球的價格分別是多少元．
(2)該中學決定購買籃球和排球共10個，總費用不超過1 100元，則最多可以購買多少個籃球？
(1)設每個籃球的價格是x元，每個排球的價格是y元，根據題意得解得∴每個籃球的價格是120元，每個排球的價格是100元.　
(2)設購買m個籃球，則購買(10－m)個排球，根據題意得120m＋100(10－m)≤
1 100，解得m≤5.∴最多可以購買5個籃球.
B組　能力題
12．若二元一次方程組的解為則a－b＝(　　)．
A．1 B．3 C．－　　　　 D．
D　
13．已知代數式－3y3與 xn是同類項，則m，n的值分別是(　　)．
A．　 B．
C．　 D．
C　
14．已知是關于x，y的二元一次方程組的解，則a＋b＝　　　　．
15．若關于x，y的方程組的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，則k的值為　　　　．
　
　
16．點Q的橫坐標為一元一次方程3x＋7＝32－2x的解，縱坐標為a＋b的值，其中a，b滿足二元一次方程組則點Q關于y軸對稱的點Q'的坐標為__________．
(－5，－4)
17．民生無小事，枝葉總關情．廣東在“我為群眾辦實事”實踐活動中推出“粵菜師傅”“廣東技工”“南粵家政”三項培訓工程，今年計劃新增加培訓共 100萬人次．　
(1)若“廣東技工”今年計劃新增加培訓31萬人次，“粵菜師傅”今年計劃新增加培訓人次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計劃新增加的培訓人次．
設“南粵家政”今年計劃新增加培訓x萬人次，則“粵菜師傅”今年計劃新增加培訓2x萬人次，依題意得31＋2x＋x＝100，解得x＝23.∴“南粵家政”今年計劃新增加培訓23萬人次.　
(2)“粵菜師傅”工程開展以來，已累計帶動33.6萬人次創業就業，據報道，經過“粵菜師傅”項目培訓的人員工資穩定提升．已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預計李某今年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達到多少？
設李某的年工資收入增長率為m，依題意得9.6(1＋m)≥12.48，解得m≥0.3＝30%.∴李某的年工資收入增長率至少要達到30%.
18．今年植樹節，某班同學共同種植一批樹苗．若每人種3棵，則剩余20棵；若每人種4棵，則還少25棵．
(1)求該班的學生人數．
(2)已知這批樹苗有甲、乙兩種品種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元．若購買這批樹苗的總費用不超過5 400元，則至少購買了甲樹苗多少棵？
(1)設該班的學生人數為x人，由題意得3x＋20＝4x－25，解得x＝45.∴該班的學生人數為45人.　
(2)由(1)得一共購買了樹苗3×45＋20＝155(棵)，設購買了甲樹苗m棵，則購買了乙樹苗(155－m)棵，由題意得30m＋40(155－m)≤5 400，解得m≥80.∴至少購買了甲樹苗80棵.
1．(2024·廣州)某新能源車企今年5月交付新車35 060輛，且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多 1 100輛．設該車企去年5月交付新車x輛，根據題意，可列方程為(　　)．
A．1.2x＋1 100＝35 060
B．1.2x－1 100＝35 060
C．1.2(x＋1 100)＝35 060
D．x－1 100＝35 060×1.2
A　
第2題圖
2．(2024·深圳)在明朝程大位編著的《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為(　　)．
A． B．
C． D．
A　
3．(2024·宿遷)若關于x，y的二元一次方程組的解是則關于x，y的方程組 的解是__________．
　
4．(2024·德州)解方程組：
解：①×2－②得，－4y＝－8，解得 y＝2.把 y＝2代入①得，x－1＝2，解得x＝3.∴原方程組的解為
5．(2022·廣東)《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買 1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？
設學生人數是x人，依題意得8x－3＝7x＋4，解得x＝7.則該書單價為8×7－3＝53(元).∴學生人數是7人，該書單價是53元.
6．(2024·哈爾濱)某中學在校本課程的實施過程中，計劃組織學生編織大、小兩種中國結．若編織2個大號中國結和4個小號中國結，需用繩20 m；若編織1個大號中國結和3個小號中國結，需用繩13 m．
(1)求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需用繩多少米．
設編織1個大號中國結需用繩x m，編織1個小號中國結需用繩y m，由題意得解得 ∴編織1個大號中國結需用繩4 m，編織1個小號中國結需用繩3 m.　
設該中學編織a個大號中國結，則編織(50－a)個小號中國結，由題意得4a＋3(50－a)≤165，解得a≤15.∴該中學最多編織15個大號中國結.
(2)該中學決定編織以上兩種中國結共50個，且這兩種中國結所用繩長不超過165 m，則該中學最多編織多少個大號中國結？(共23張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第二單元　方程與不等式
——不等式(組)及應用
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點

1．不等式
用不等號(______，______，______，__________，或≠)表示不等關系的式子叫做不等式．能使不等式成立的__________的值，叫做不等式的解．一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的　　　　　．
2．不等式的性質
(1)若a＞b，則a±c__________b±c．
(2)若a＞b，c＞0，則ac__________bc，__________．
(3)若a＞b，c＜0，則ac__________bc，__________．
＜　
未知數
　解集
≤　
＞　 　
≥
＞　
＜　
＜　
＞　
＞　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．一元一次不等式
(1)只含有__________個未知數，并且未知數的次數是__________的不等式，叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式，要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x＜a(x≤a)或　　　　　　　的形式．要特別注意，當不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向改變．
1．解不等式－x＞1，并將解集在數軸上表示出來．
一　
1　
x＞a(x≥a)
解：5x－1－3x＞3
2x＞4
x＞2
∴不等式的解集為x＞2.
在數軸上表示如下：
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

2．解不等式≥1，并把它的解集在數軸上表示出來．
解：2(2x－1)－3(5x＋1)≥1×6
－11x≥11
x≤－1
∴不等式的解集為x≤－1.
在數軸上表示略.
3．一元一次不等式
(1)只含有__________個未知數，并且未知數的次數是__________的不等式，叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式，要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x＜a(x≤a)或　　　　　　　的形式．要特別注意，當不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數時，不等號的方向改變．
一　
1　
x＞a(x≥a)
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．一元一次不等式組
(1)關于　　　　　　的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．
(2)一般地，幾個不等式的解集的
　　　　　　，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
(3)解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的　　　　　　 ．利用__________可以直觀地表示不等式組的解集．
3．不等式組的解集為(　　)．
A．無解　　 B．x≤1
C．x≥－1　 D．－1≤x≤1
同一未知數
公共部分　
D
公共部分　
數軸
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

4．解不等式組并寫出不等式組的整數解．
解：x－1≤2－2x
x≤1
4x＞3x－3
x＞－3
∴不等式組的解集為－3＜x≤1.
∴不等式組的整數解為－2，－1，0，1.
4．一元一次不等式組
(1)關于　　　　　　的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．
(2)一般地，幾個不等式的解集的
　　　　　　，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
(3)解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的　　　　　　 ．利用__________可以直觀地表示不等式組的解集．
同一未知數
公共部分　
公共部分　
數軸
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

5．列不等式解決實際問題的步驟
①審：審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數量之間的關系；
②找：找出能夠表示實際問題全部含義的一個不等關系；
③設：設未知數(一般求什么，就設什么為x)；
④列：根據不等關系列出需要的代數式，從而列出不等式；
⑤解：解所列出的不等式，寫出未知數的值或范圍；
⑥答：檢驗所求的解是否符合題意，寫出答案(包括單位)．
5．某次環保知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分．
若小明的最終得分不低于80分，則小明至少答對了多少道題？
設小明答對了x道題.
依題意得5x－3(20－x)≥80，解得x≥17.5.
∵x取整數，∴x≥18.
∴小明至少答對了18道題.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

6．倡導健康生活，推進全民健身．
某社區要購進A，B兩種型號的健身器材共50套．已知A，B兩種型號健身器材每套的價格分別為310元、460元，且每種型號的健身器材必須整套購買．若購買健身器材的總價不超過18 000元，求A型號健身器材至少要購買多少套．
設購買A型號健身器材x套，依題意得310x＋460(50－x)≤18 000，解得x≥33.∵x為整數，∴x的最小值為34.∴A型號健身器材至少要購買34套.
5．列不等式解決實際問題的步驟
①審：審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數量之間的關系；
②找：找出能夠表示實際問題全部含義的一個不等關系；
③設：設未知數(一般求什么，就設什么為x)；
④列：根據不等關系列出需要的代數式，從而列出不等式；
⑤解：解所列出的不等式，寫出未知數的值或范圍；
⑥答：檢驗所求的解是否符合題意，寫出答案(包括單位)．
A組　基礎題
1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(　　)．
A．x≤3　　 B．x≤－3
C．x≥3　　 D．x≥－3
A　
2．一元一次不等式組 的解集在數軸上表示為(　　)．
A　 B
C　 D
D　
3．若a＞b＞0，則下列不等式不一定成立的是(　　)．
A．ac＞bc B．a＋c＞b＋c
C． D．ab＞b2
4．不等式組 的解集是(　　)．
A．x＞3　　　　　　 B．x＞1
C．1＜x＜3　　　　 D．x＜1
A　
A　
5．不等式組 的整數解有(　　)．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
6．不等式2x－1＞x的解集是　　　　．　
7．如圖，函數y＝ax－1的圖象過點(1，2)，則不等式ax－1＞2的解集是　　　　．
B
x＞　
x＞1
8．解不等式組 并在數軸上表示它的解集．
解：2(x＋1)＞x
2x＋2＞x
x＞－2
1－2x≥
2－4x≥x＋7
－5x≥5
x≤－1
∴不等式組的解集為－2＜x≤－1.
在數軸上表示略.
9．某校購買了一批消毒液．其中甲、乙兩種消毒液共100瓶，甲種8元/瓶，乙種12元/瓶．
(1)若購買這兩種消毒液共用1 040元，求甲、乙兩種消毒液各購買多少瓶．
設甲種消毒液購買了x瓶，乙種消毒液購買了y瓶，依題意得解得∴甲種消毒液購買了40瓶，乙種消毒液購買了60瓶.
(2)該校準備再次購買這兩種消毒液(不包括已購買的100瓶)，使乙種瓶數是甲種瓶數的2倍少4瓶，且所需費用不高于1 200元，求甲種消毒液最多能再購買多少瓶．
設再購買甲種消毒液m瓶，則再購買乙種消毒液(2m－4)瓶，依題意得8m＋12(2m－4)≤1 200，解得 m≤39.∴甲種消毒液最多能再購買39瓶.
B組　能力題
10．關于x的一元一次不等式 ≤－2的解集為x≥4，則m的值為(　　)．
A．14 B．7 C．－2 D．2
11．若關于x，y的二元一次方程組 的解滿足x－y＞－，則m的最小整數解為(　　)．
A．－3 B．－2　 C．－1　 D．0
D　
C　
12．已知關于x的不等式組 的解集是x＞a，則a的取值范圍是________．
a≥2
13．某超市購進兩種不同品牌的果汁，A品牌總花費4 000元，每箱x元，B品牌總花費6 000元，每箱1.2x元，其中B品牌果汁比A品牌多20箱．
(1)求B品牌購進的數量．
依題意得 ＝20，解得x＝50.經檢驗，x＝50是原分式方程的解，且符合題意.∴B品牌購進 ＝100(箱).
(2)該超市分別以70元和80元的單價銷售A，B兩種品牌的果汁，在A品牌售出一半，B品牌售出 后，超市決定加大銷售力度，對A品牌按買4箱送1箱捆綁銷售，B品牌每箱降價a元銷售．
①用含a的代數式表示兩種品牌的果汁全部售完后的銷售額．
②若該超市的總利潤不低于2 290元，求a的最大值．
①A品牌購進＝＝80(箱)，B品牌購進100箱.A品牌售出一半，即40箱，每箱70元，銷售額為40×70＝2 800(元)，B品牌售出 ，即25箱，每箱80元，銷售額為25×80＝2 000(元).A品牌按買4箱送1箱，40箱可湊8個4箱送1箱，銷售額為8×4×70＝2 240(元)，B品牌每箱降價
a元銷售，即每箱售價(80－a)元，銷售額為75×(80－a)元，∴全部售完后的銷售額＝2 800＋
2 000＋2 240＋75×(80－a)＝(13 040－75a)元.　②13 040－75a－10 000≥2 290，解得a≤10，∴a的最大值為10元.
1．(2024·廣州)若a＜b，則(　　)．
A．a＋3＞b＋3 B．a－2＞b－2
C．－a＜－b D．2a＜2b
2．(2024·湖北)不等式x＋1≥2的解集在數軸上表示正確的是
(　　)．
A　　 B
C　　 D
D　
A　
3．(2024·河南)下列不等式中，與 －x＞1組成的不等式組無解的是
(　　)．
A．x＞2　 B．x＜0
C．x＜－2　 D．x＞－3
4．(2024·廣東)關于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是　　　　　　．
A　
x≥3
5．(2024·大慶)不等式組的整數解有__________個．
　 4
解：3x－2＞1
x＞1
＞x－2
x＜5
∴不等式組的解集為1＜x＜5.
在數軸上表示略.
6．(2024·西藏)解不等式組：并把解集在數軸上表示出來．(共26張PPT)
2025年廣東省中考數學一輪突破
-第二單元　方程與不等式
——分式方程及應用
考點梳理
鞏固提高
體驗中考
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

1．分式方程
__________中含有未知數的方程，叫做分式方程．
2．解分式方程的一般方法
(1)解分式方程的基本思路是將分式方程化為　　 　方程，具體做法是“__________”，即方程兩邊乘 ．
1．已知關于x的方程＝3的解是正數，則m的取值范圍為 ．
2．當a＝__________時，關于x的分式方程＝－1無解．
分母　
整式　
去分母　
最簡公分母
m＞－6且m≠－4
　 －12　
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

(2)一般地，解分式方程時，應做如下檢驗：將去分母后所得整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解__________原分式方程的解；否則，這個解__________原分式方程的解．
3．解方程：＝0．



是　
不是
解：2(x－1)－x＝0
2x－2－x＝0 x＝2
經檢驗，x＝2是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝2.
對點訓練

　　　　　　　　　　　　　　

4．解方程：＝1．
解：(x＋3)2－2(x－3)＝(x＋3)(x－3)
x2＋6x＋9－2x＋6＝x2－9
4x＝－24
x＝－6
經檢驗，x＝－6是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝－6.
知識要點 對點訓練
　　　　　　　　　　　　　　

3．列分式方程解決實際問題的步驟
①__________題；
②__________未知數；
③__________分式方程；
④__________分式方程；
⑤__________(檢驗所求得的解是否為原分式方程的解，且是否符合問題的實際意義)；
⑥作答．
5．甲、乙兩人用計算機打字，甲打一篇3 000字的文章與乙打一篇2 400字的文章所用的時間相同．已知每分鐘甲比乙多打12個字，問甲、乙兩人每分鐘各打字多少個？
審　
設　
列　
解　
檢驗
設乙每分鐘打字x個，則甲每分鐘打字(x＋12)個，依題意得 ，解得x＝48.經檢驗，x＝48是原分式方程的解，且符合題意.∴x＋12＝48＋12＝60.
∴甲每分鐘打字60個，乙每分鐘打字48個.
A組　基礎題
1．分式 的值為0，則(　　)．
A．x＝－1　 B．x＝1
C．x＝±1　 D．x＝0
B　
2．下面是四名同學在解方程 ＝1的過程中去分母的一步，其中正確的是(　　)．
A．2＋x＝x－3　
B．2－x＝3
C．2＋x＝3－x　
D．2－x＝x－3
3．分式方程 的解是(　　)．
A．x＝－2　　 B．x＝1
C．x＝2　　　 D．x＝3
D　
C　
4．分式方程 ＝1的解為(　　)．
A． x＝－1　　　　 B． x＝1
C． x＝2　　　　 D． x＝－2
A　
5．《九章算術》中有這樣一個數學問題：把一份文件送到900里外的城市，若用慢馬送，需要的時間比規定時間多一天；若用快馬送，需要的時間比規定時間少 3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間．設規定時間為x天，則可列方程為(　　)．
A．×2　　 B．×2＝
C．×2　　 D．×2＝
B　
6．某施工隊挖掘一條長90 m的隧道，開工后每天比原計劃多挖1 m，結果提前 3天完成任務．原計劃每天挖多少米？若設原計劃每天挖x m，則可列方程為(　　)．
A．＝3　 B．＝3
C．＝3　 D．＝3
C
7．解分式方程：
(1)；
解： 2x＝3
x＝
經檢驗，x＝ 是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝.
解：x－5＝4(2x－3)
7x＝7
x＝1
經檢驗，x＝1是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝1.
(2)＝4；
解：(x－2)2－12＝x2－4
x2－4x＋4－12＝x2－4
－4x＝4
x＝－1
經檢驗，x＝－1是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝－1.
(3)＝1．
B組　能力題
8．若關于x的分式方程 ＝1無解，則m的值是__________．
9．已知關于x的分式方程 ＝1的解是非正數，則a的取值范圍是________________．
3　
a≤－1且a≠－2
10．新能源汽車在保障能源安全、改善空氣質量等方面較傳統汽車都有明顯優勢，經過對某款新能源汽車和某款燃油車的對比調查發現，新能源汽車平均每公里的充電費比燃油車平均每公里的加油費少0.6元．
當充電費和加油費均為200元時，新能源汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款新能源汽車平均每公里的充電費．
設這款新能源汽車平均每公里的充電費為x元，依題意得 ×4，解得x＝0.2.經檢驗，x＝0.2是原分式方程的解，且符合題意.∴這款新能源汽車平均每公里的充電費為0.2元.
11．學校為了貫徹落實“雙減”政策，積極開展學生課后體育活動，因此對體育用品的需求有所增加．某體育用品商店用10 000元購進了一批足球，很快銷售一空；商店又用10 000元購進了第二批該種足球，每個足球的進價比原來上漲了25%，結果所購進足球的數量比第一批少40個．求第一批足球每個的進價．
設第一批足球每個的進價為x元，則第二批足球每個的進價為
(1＋25%)x元，依題意得 ＝40，解得x＝50.經檢驗，x＝50是原分式方程的解，且符合題意.∴第一批足球每個的進價為50元.
12．某工程隊修建一條長1 200 m的道路，開工后采用了新的施工方式，工作效率比原計劃提高了50%，結果提前4天完成任務．
(1)求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米．
(2)在這項工程中，如果要求工程隊提前2天完成任務，那么實際平均每天修建道路的工作效率比原計劃提高百分之多少？
(1)設原計劃每天修建道路x m，則實際每天修建道路(1＋50%)x m，依題意得 ＝4，解得x＝100.經檢驗，x＝100是原分式方程的解，且符合題意.∴這個工程隊原計劃每天修建道路100 m.　
(2)設實際平均每天修建道路的工作效率比原計劃提高y，依題意得100(1＋y)＝1 200，解得y＝0.2＝20%.∴如果要求工程隊提前2天完成任務，那么實際平均每天修建道路的工作效率比原計劃提高20%.
1．(2024·廣東)方程 的解是(　　)．
A．x＝－3 B．x＝－9
C．x＝3　 D．x＝9
D
2．(2023·深圳)某運輸公司運輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運輸5 t貨物，且大貨車運輸75 t貨物所用車輛數與小貨車運輸50 t貨物所用車輛數相同．設大貨車每輛運輸x t，則所列方程正確的是(　　)．
A．　 B．
C．　 D．
B　
3．(2023·廣州)隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60km/h，動車提速后行駛480 km與提速前行駛360 km所用的時間相同．設動車提速后的平均速度為x km/h，則下列方程正確的是(　　)．
A． B．
C． D．
B
4．(2024·南通)解方程：－1＝．　
解：3x－(3x＋3)＝2x
3x－3x－3＝2x
x＝－
經檢驗，x＝－ 是原分式方程的解.
∴原分式方程的解為x＝－.
5．(2023·廣東)某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校
12 km，甲、乙兩名同學騎自行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10 min，求乙騎自行車的速度．
設乙騎自行車的速度為x km/min，則甲騎自行車的速度為1.2x km/min，根據題意得 ＝10，解得x＝0.2.經檢驗，
x＝0.2是原分式方程的解，且符合題意.∴乙騎自行車的速度為
0.2 km/min.
6．(2024·宿遷)某商店購進A，B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同．
(1)求紀念品A，B的單價分別是多少元．
(2)商店計劃購買紀念品A，B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，若總費用不超過11 000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？
(1)設紀念品B的單價為m元，則紀念品A的單價為(m＋10)元，根據題意得 ，解得m＝20.經檢驗，m＝20是原分式方程的解，且符合題意.∴m＋10＝30.∴紀念品A的單價為30元，紀念品B的單價為20元.　
(2)設總費用為w元，計劃購買t件紀念品A，(400－t)件紀念品B，根據題意，得w＝30t＋20(400－t)＝10t＋8 000，∴w與t的函數關系式為w＝10t＋8 000. ∵紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，∴t≥2(400－t)，解得t≥266.∵t為整數，∴t最小值取267.在w＝10t＋8 000中，w隨t的增大而增大，∴當t＝267時，w取最小值，最小值為10×267＋8 000＝10 670(元). ∵10 670＜11 000，符合題意，此時400－t＝400－267＝133.∴購買267件紀念品A，133件紀念品B，才能使總費用最少，最少費用為10 670元.

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