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第5課時(shí)　功與功率　功能關(guān)系
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
熱點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
例1 (2023·北京卷，11)如圖1所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動(dòng)距離x的過(guò)程中(　　)
圖1
A.摩擦力做功大小與F方向無(wú)關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時(shí)，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
例2 (2024·遼寧遼陽(yáng)一模)一電動(dòng)玩具汽車啟動(dòng)時(shí)，以額定功率沿直線加速并達(dá)到最大速度，其加速度a與速度倒數(shù)的關(guān)系圖像如圖2所示。已知電動(dòng)玩具汽車受到的阻力大小恒為100 N，重力加速度大小g＝10 m/s2。則電動(dòng)玩具汽車的額定功率和最大速度分別為(　　)
圖2
A.200 W　2 m/s B.100 W　4 m/s C.100 W　2 m/s D.200 W　4 m/s
訓(xùn)練1 (2023·遼寧卷，3)如圖3(a)，從高處M點(diǎn)到地面N點(diǎn)有 Ⅰ 、 Ⅱ 兩條光滑軌道。兩相同小物塊甲、乙同時(shí)從M點(diǎn)由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點(diǎn)，其速率v與時(shí)間t的關(guān)系如圖(b)所示。由圖可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過(guò)程中(　　)
圖3
A.甲沿 Ⅰ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的大
B.甲沿 Ⅱ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小
C.乙沿 Ⅰ 下滑且乙的重力功率一直不變
D.乙沿 Ⅱ 下滑且乙的重力功率一直增大
熱點(diǎn)二　動(dòng)能定理的應(yīng)用
例3 (2023·湖北卷，14)如圖4為某游戲裝置原理示意圖。水平桌面上固定一半圓形豎直擋板，其半徑為2R、內(nèi)表面光滑，擋板的兩端A、B在桌面邊緣，B與半徑為R的固定光滑圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)的軌道半徑與豎直方向的夾角為60°。小物塊以某一水平初速度由A點(diǎn)切入擋板內(nèi)側(cè)，從B點(diǎn)飛出桌面后，在C點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，并恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)D。小物塊與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力，小物塊可視為質(zhì)點(diǎn)。求：
圖4
(1)小物塊到達(dá)D點(diǎn)的速度大小；
(2)B和D兩點(diǎn)的高度差；
(3)小物塊在A點(diǎn)的初速度大小。
訓(xùn)練2 (2024·安徽合肥一模)如圖5甲所示，一小物塊放置在水平臺(tái)面上，在水平推力F的作用下，物塊從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開(kāi)始沿x軸運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)與物塊的位置坐標(biāo)x的關(guān)系如圖乙所示。物塊在x＝2 m處從平臺(tái)飛出，同時(shí)撤去F，物塊恰好由P點(diǎn)沿其切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，隨后剛好從軌道最高點(diǎn)M飛出。已知物塊質(zhì)量為0.5 kg，物塊與水平臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.7，軌道圓心為O′，半徑為0.5 m，MN為豎直直徑，∠PO′N＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力。求：
圖5
(1)物塊飛出平臺(tái)時(shí)的速度大小；
(2)物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功。
熱點(diǎn)三　功能關(guān)系及其應(yīng)用
例4 (多選)(2024·湖南株洲模擬)如圖6，質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))靜止在質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的木板上的最右端，木板放在光滑水平桌面上，某時(shí)刻木板以速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為Ff，當(dāng)物塊從木板左端離開(kāi)時(shí)(　　)
圖6
A.物塊的動(dòng)能等于Ffl B.物塊的動(dòng)能小于Ffl
C.木板的動(dòng)能大于Mv－Ffl D.木板的動(dòng)能小于Mv－Ffl
訓(xùn)練3 (多選)(2024·重慶九龍坡高三模擬)如圖7所示，用力F拉著一個(gè)物體從固定斜面上的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功－4 J，拉力F做功9 J，阻力做功－1 J，則下列判斷正確的是(　　)
圖7
A.物體的重力勢(shì)能增加了9 J
B.物體的機(jī)械能增加了3 J
C.物體的機(jī)械能增加了8 J
D.物體的動(dòng)能增加了4 J
1.(2024·浙江6月選考，5)一個(gè)音樂(lè)噴泉噴頭出水口的橫截面積為2×10 －4 m2，噴水速度約為10 m/s，水的密度為1×103 kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為(　　)
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
2.(2024·江西卷，5) “飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”是李白對(duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
圖8
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
3.(2024·安徽卷，7)在某地區(qū)的干旱季節(jié)，人們常用水泵從深水井中抽水灌溉農(nóng)田，簡(jiǎn)化模型如圖9所示。水井中的水面距離水平地面的高度為H。出水口距水平地面的高度為h，與落地點(diǎn)的水平距離約為l。假設(shè)抽水過(guò)程中H保持不變，水泵輸出能量的η倍轉(zhuǎn)化為水被抽到出水口處增加的機(jī)械能。已知水的密度為ρ，水管內(nèi)徑的橫截面積為S，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。則水泵的輸出功率約為(　　)
圖9
A. B.
C. D.
4.(2024·山東卷，7)如圖10所示，質(zhì)量均為m的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕木板上，木板通過(guò)一根原長(zhǎng)為l的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為d(d圖10
A.＋μmg(l－d) B.＋μmg(l－d)
C.＋2μmg(l－d) D.＋2μmg(l－d)
5.(2024·新課標(biāo)卷，24)將重物從高層樓房的窗外運(yùn)到地面時(shí)，為安全起見(jiàn)，要求下降過(guò)程中重物與樓墻保持一定的距離。如圖11，一種簡(jiǎn)單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子Q，二人配合可使重物緩慢豎直下降。若重物的質(zhì)量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。當(dāng)P繩與豎直方向的夾角α＝37°時(shí)，Q繩與豎直方向的夾角β＝53°(sin 37°＝0.6)。
圖11
(1)求此時(shí)P、Q繩中拉力的大小；
(2)若開(kāi)始豎直下降時(shí)重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的過(guò)程中，兩根繩子拉力對(duì)重物做的總功。
基礎(chǔ)保分練
1.(多選)(2024·河南南陽(yáng)模擬)解放軍戰(zhàn)士為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，進(jìn)行拉輪胎負(fù)重訓(xùn)練，如圖1所示，已知繩子與水平地面間的夾角恒為θ，輪胎質(zhì)量為m，該戰(zhàn)士由靜止開(kāi)始做加速直線運(yùn)動(dòng)，位移為x時(shí)，速度達(dá)到v，已知繩上拉力大小恒為F，重力加速度為g，則由靜止加速到v的過(guò)程中(　　)
圖1
A.輪胎克服阻力做的功為Fxcos θ
B.輪胎所受合外力做的功為mv2
C.拉力的最大功率為Fvcos θ
D.拉力所做的功為mv2＋Fxcos θ
2.(2023·湖北卷，4)兩節(jié)動(dòng)車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達(dá)到的最大速度分別為v1和v2。現(xiàn)將它們編成動(dòng)車組，設(shè)每節(jié)動(dòng)車運(yùn)行時(shí)受到的阻力在編組前后不變，則該動(dòng)車組在此鐵軌上能達(dá)到的最大速度為(　　)
A. B.
C. D.
3.(多選)(2024·廣東廣州月考)如圖2所示，無(wú)人駕駛小車在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛。已知小車總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的有(　　)
圖2
A.從M到N，小車牽引力大小為40 N
B.從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C.從P到Q，小車重力勢(shì)能增加1×104 J
D.從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
4.(2024·河北廊坊高三期中)某次負(fù)重登山訓(xùn)練中，一質(zhì)量為60 kg的運(yùn)動(dòng)員(視為質(zhì)點(diǎn))背著質(zhì)量為20 kg的重物，在25 min內(nèi)由山腳到達(dá)山頂(山頂與山腳的高度差為525 m)，重力加速度大小g＝10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.臺(tái)階對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力做負(fù)功
B.運(yùn)動(dòng)員增加的重力勢(shì)能約為3.15×104 J
C.運(yùn)動(dòng)員對(duì)重物做的功約為1.05×105 J
D.運(yùn)動(dòng)員克服自身重力做功的平均功率約為12 600 W
5.如圖3所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一個(gè)絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下，已知在金屬塊滑下的過(guò)程中動(dòng)能增加了12 J，金屬塊克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J。下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖3
A.金屬塊帶負(fù)電荷
B.金屬塊克服電場(chǎng)力做功8 J
C.金屬塊的電勢(shì)能減少4 J
D.金屬塊的機(jī)械能減少12 J
6.(2024·山東煙臺(tái)高三期末)如圖4所示，直角桿AOB位于豎直平面內(nèi)，OA水平，OB豎直且光滑，用不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩相連的兩小球a和b分別套在OA和OB桿上，b球的質(zhì)量為1 kg，在作用于a球的水平拉力F的作用下，a、b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)a球到O點(diǎn)的距離l1＝0.3 m，b球到O點(diǎn)的距離h＝0.4 m。改變力F的大小，使a球向右加速運(yùn)動(dòng)，已知a球向右運(yùn)動(dòng)0.1 m時(shí)速度大小為6 m/s。g＝10 m/s2，則在此過(guò)程中繩對(duì)b球的拉力所做的功為(　　)
圖4
A.33 J B.32 J C.19 J D.10 J
7.(2024·山東省等級(jí)考搶分卷)物體浸在粘滯流體中時(shí)，表面上會(huì)附著一層流體，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的粘滯阻力就是物體表面附近的流層間的內(nèi)摩擦力引起的。如圖5所示，質(zhì)量為m、體積為V的小球在粘滯流體中由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)距離h后，小球達(dá)到最大速度v。已知重力加速度為g，液體密度為ρ。該過(guò)程小球克服粘滯阻力做的功可能為(　　)
圖5
A.mgh B.mgh－ρgVh
C.mgh＋ρgVh－mv2 D.ρgVh－mgh－mv2
8.如圖6所示，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊從固定斜面的頂端由靜止滑下，滑到水平面上的a點(diǎn)處停下。斜面與水平面粗糙程度相同，且平滑連接。現(xiàn)將斜面向右移動(dòng)到虛線所示的位置，并固定在水平面上，再讓小木塊從斜面的某處由靜止下滑，仍滑到a點(diǎn)處停下。則小木塊釋放的位置可能是(　　)
圖6
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
提能增分練
9.(2024·廣東模擬預(yù)測(cè))一輛質(zhì)量為m＝1.2×103 kg的參賽小汽車在平直的公路上從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，牽引力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線如圖7所示，8 s時(shí)汽車功率達(dá)到最大值，此后保持此功率繼續(xù)行駛，24 s后可視為勻速。小汽車的最大功率恒定，受到的阻力大小恒定，則(　　)
圖7
A.小汽車受到的阻力大小為7×103 N
B.小汽車勻加速運(yùn)動(dòng)階段的加速度大小為4 m/s2
C.小汽車的最大功率為4×105 W
D.小汽車24 s后速度為40 m/s
10.(2024·海南海口模擬預(yù)測(cè))如圖8所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與小球相連。小球套在豎直固定、粗細(xì)均勻的粗糙桿上，OP與桿垂直，小球在P點(diǎn)時(shí)，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離相等，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。小球從M點(diǎn)靜止釋放，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖8
A.小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度最大
B.小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的速度是運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)速度的倍
C.從M點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力先變大再變小
D.從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力做功相同
11.如圖9所示，AB為一段彎曲軌道，固定在水平桌面上，與水平桌面相切于A點(diǎn)，B點(diǎn)距桌面的高度為h＝0.6 m，A、B兩點(diǎn)間的水平距離為L(zhǎng)＝0.8 m，軌道邊緣B處有一輕小定滑輪，一根輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m1與m2的物體P、Q，掛在定滑輪兩邊，P、Q可視為質(zhì)點(diǎn)，且m1＝2.0 kg，m2＝0.4 kg。開(kāi)始時(shí)P、Q均靜止，P緊靠B點(diǎn)，P釋放后沿彎曲軌道向下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷開(kāi)，斷開(kāi)后沿水平桌面滑行x＝1.25 m停止。已知P與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25，g取10 m/s2。求：
圖9
(1)物體P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)當(dāng)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，Q此時(shí)的速度大小；
(3)在物體P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，物體Q重力勢(shì)能的改變量；
(4)彎曲軌道對(duì)物體P的摩擦力所做的功。
12.(2023·江蘇卷，15)如圖10所示，滑雪道AB由坡道和水平道組成，且平滑連接，坡道傾角均為45°。平臺(tái)BC與緩沖坡CD相連。若滑雪者從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，恰好到達(dá)B點(diǎn)。滑雪者現(xiàn)從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，從B點(diǎn)飛出。已知A、P間的距離為d，滑雪者與滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
圖10
(1)求滑雪者運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t；
(2)求滑雪者從B點(diǎn)飛出的速度大小v；
(3)若滑雪者能著陸在緩沖坡CD上，求平臺(tái)BC的最大長(zhǎng)度L。
培優(yōu)高分練
13.某校科技組利用圖11甲所示裝置研究過(guò)山車運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中所遵循的物理規(guī)律，圖中Q為水平彈射裝置，AB為傾角θ＝30°的傾斜軌道，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，以水平向左為x軸正方向、豎直向上為y軸正方向。Q可在坐標(biāo)平面內(nèi)移動(dòng)，BC為水平軌道，CDC′為豎直圓軌道，C′E為足夠長(zhǎng)傾斜軌道，各軌道均平滑連接。已知滑塊質(zhì)量為m，圓軌道半徑為R，軌道AB長(zhǎng)為R，滑塊與AB間動(dòng)摩擦因數(shù)μ1隨滑塊到A點(diǎn)距離l的變化關(guān)系如圖乙所示；BC長(zhǎng)為2R，滑塊與BC間動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.5，其余各段軌道均光滑。彈射裝置彈出的滑塊均能無(wú)碰撞從A點(diǎn)切入斜面，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)。
圖11
(1)求彈出點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)應(yīng)滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)彈出點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為多大時(shí)，滑塊從A點(diǎn)切入后恰好過(guò)最高點(diǎn)D？通過(guò)計(jì)算判斷滑塊返回后能否從A點(diǎn)滑出。
熱點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
例1 (2023·北京卷，11)如圖1所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動(dòng)距離x的過(guò)程中(　　)
圖1
A.摩擦力做功大小與F方向無(wú)關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時(shí)，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
答案　D
解析　設(shè)力F與水平方向的夾角為θ，則摩擦力為Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，則摩擦力做功與F的方向有關(guān)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；合力做功W＝F合x(chóng)＝max，可知合力做功與力F方向無(wú)關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)力F為水平方向時(shí)，有F－μmg＝ma，力F做功為WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因合外力做功為max大小一定，而合外力做的功等于力F與摩擦力Ff做功的代數(shù)和，而當(dāng)Fsin θ＝mg時(shí)，摩擦力Ff＝0，則此時(shí)摩擦力做功為零，此時(shí)力F做功最小，最小值為max，選項(xiàng)D正確。
例2 (2024·遼寧遼陽(yáng)一模)一電動(dòng)玩具汽車啟動(dòng)時(shí)，以額定功率沿直線加速并達(dá)到最大速度，其加速度a與速度倒數(shù)的關(guān)系圖像如圖2所示。已知電動(dòng)玩具汽車受到的阻力大小恒為100 N，重力加速度大小g＝10 m/s2。則電動(dòng)玩具汽車的額定功率和最大速度分別為(　　)
圖2
A.200 W　2 m/s B.100 W　4 m/s C.100 W　2 m/s D.200 W　4 m/s
答案　A
解析　設(shè)電動(dòng)玩具汽車的額定功率為P，受到的阻力大小為f，根據(jù)牛頓第二定律可得F－f＝ma，又P＝Fv，聯(lián)立可得a＝·－，根據(jù)a－圖像可得＝2 m/s2，＝ m2/s3＝4 m2/s3，解得P＝200 W，當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，速度到達(dá)最大，有vm＝＝2 m/s，故A正確。
方法總結(jié)　機(jī)車啟動(dòng)的a－圖像和F－圖像問(wèn)題
恒定功率啟動(dòng)a－圖像 恒定加速度啟動(dòng)F－圖像
由F－Ff＝ma，P＝Fv 可得a＝·－， 則： (1)斜率k＝； (2)縱截距b＝－； (3)橫截距＝ (1)AB段牽引力不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)； (2)BC圖線的斜率k表示功率P，可知BC段功率不變，牽引力減小，加速度減小，做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)； (3)B點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度的倒數(shù)； (4)C點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的最大速度的倒數(shù)，此時(shí)牽引力等于阻力
訓(xùn)練1 (2023·遼寧卷，3)如圖3(a)，從高處M點(diǎn)到地面N點(diǎn)有 Ⅰ 、 Ⅱ 兩條光滑軌道。兩相同小物塊甲、乙同時(shí)從M點(diǎn)由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點(diǎn)，其速率v與時(shí)間t的關(guān)系如圖(b)所示。由圖可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過(guò)程中(　　)
圖3
A.甲沿 Ⅰ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的大
B.甲沿 Ⅱ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小
C.乙沿 Ⅰ 下滑且乙的重力功率一直不變
D.乙沿 Ⅱ 下滑且乙的重力功率一直增大
答案　B
解析　由題圖(b)可知小物塊甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小物塊乙做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題圖(a)可知，小物塊甲沿軌道 Ⅱ 下滑，小物塊乙沿軌道 Ⅰ 下滑，A錯(cuò)誤；由題圖(b)可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過(guò)程中，同一時(shí)刻物塊乙的速度大于物塊甲的速度，則同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小，B正確；小物塊乙由靜止釋放的瞬間速度為0，則重力功率為0，小物塊乙滑到軌道 Ⅰ 底端的瞬間，速度方向與重力方向垂直，則小物塊乙的重力功率為0，但在下滑過(guò)程，小物塊乙的重力做的功不為0，則小物塊乙的重力的瞬時(shí)功率先增大后減小，C、D錯(cuò)誤。
熱點(diǎn)二　動(dòng)能定理的應(yīng)用
例3 (2023·湖北卷，14)如圖4為某游戲裝置原理示意圖。水平桌面上固定一半圓形豎直擋板，其半徑為2R、內(nèi)表面光滑，擋板的兩端A、B在桌面邊緣，B與半徑為R的固定光滑圓弧軌道在同一豎直平面內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)的軌道半徑與豎直方向的夾角為60°。小物塊以某一水平初速度由A點(diǎn)切入擋板內(nèi)側(cè)，從B點(diǎn)飛出桌面后，在C點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，并恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)D。小物塊與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力，小物塊可視為質(zhì)點(diǎn)。求：
圖4
(1)小物塊到達(dá)D點(diǎn)的速度大小；
(2)B和D兩點(diǎn)的高度差；
(3)小物塊在A點(diǎn)的初速度大小。
答案　(1)　(2)0　(3)
解析　(1)由題意知，小物塊恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)D，則在D點(diǎn)有mg＝m
解得vD＝。
(2)由題意知，小物塊從C點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道內(nèi)側(cè)，則在C點(diǎn)有vCx＝vCcos 60°＝vB
小物塊從C到D的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
－mg(R＋Rcos 60°)＝mv－mv
小物塊從B到D的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
mgHBD＝mv－mv
聯(lián)立解得vB＝，HBD＝0。
(3)小物塊從A到B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
－μmgs＝mv－mv
s＝π·2R
解得vA＝。
方法總結(jié)　應(yīng)用動(dòng)能定理解題的四點(diǎn)注意
訓(xùn)練2 (2024·安徽合肥一模)如圖5甲所示，一小物塊放置在水平臺(tái)面上，在水平推力F的作用下，物塊從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開(kāi)始沿x軸運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)與物塊的位置坐標(biāo)x的關(guān)系如圖乙所示。物塊在x＝2 m處從平臺(tái)飛出，同時(shí)撤去F，物塊恰好由P點(diǎn)沿其切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，隨后剛好從軌道最高點(diǎn)M飛出。已知物塊質(zhì)量為0.5 kg，物塊與水平臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.7，軌道圓心為O′，半徑為0.5 m，MN為豎直直徑，∠PO′N＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力。求：
圖5
(1)物塊飛出平臺(tái)時(shí)的速度大小；
(2)物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功。
答案　(1)4 m/s　(2)0.5 J
解析　(1)由F－x關(guān)系圖像與橫軸所圍面積表示力F做的功可知，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到x2＝2 m處時(shí)，力F所做的功W1＝×2 J＝11 J
設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到x2＝2 m處時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得
W1－μmgx2＝mv2，解得v＝4 m/s。
(2)物塊從平臺(tái)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，且從P點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度為vP，可得物塊在P點(diǎn)的速度
vP＝＝5 m/s
設(shè)物塊恰好由軌道最高點(diǎn)M飛出時(shí)的速度為vM，有mg＝m
可得vM＝＝ m/s
設(shè)物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服摩擦力做功為W2，由動(dòng)能定理有
－mgR(1＋cos 37°)－W2＝mv－mv
解得W2＝0.5 J。
熱點(diǎn)三　功能關(guān)系及其應(yīng)用
例4 (多選)(2024·湖南株洲模擬)如圖6，質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))靜止在質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的木板上的最右端，木板放在光滑水平桌面上，某時(shí)刻木板以速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為Ff，當(dāng)物塊從木板左端離開(kāi)時(shí)(　　)
圖6
A.物塊的動(dòng)能等于Ffl B.物塊的動(dòng)能小于Ffl
C.木板的動(dòng)能大于Mv－Ffl D.木板的動(dòng)能小于Mv－Ffl
答案　BD
解析　設(shè)物塊離開(kāi)木板時(shí)的速度為v1，對(duì)地位移為x1，物塊離開(kāi)木板時(shí)木板的速度為v2，對(duì)地位移為x2，因物塊從木板左端離開(kāi)，可知v2＞v1，對(duì)物塊和木板整體由能量守恒定律有Mv＝mv＋Mv＋Ffl，整理可得Mv＝Mv－mv－Ffl＜Mv－Ffl，故C錯(cuò)誤，D正確；物塊與木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中因摩擦產(chǎn)生的熱量為Q＝Ffl＝Ff(x2－x1)，其中x2＝t，x1＝t，由于v0＞v2＞v1，因此v0＋v2＞2v1，由此可得x2＞2x1，即有x2－x1＝l＞x1，而對(duì)物塊由動(dòng)能定理有Ffx1＝mv，可得mv＝Ffx1＜Ffl，故A錯(cuò)誤，B正確。
訓(xùn)練3 (多選)(2024·重慶九龍坡高三模擬)如圖7所示，用力F拉著一個(gè)物體從固定斜面上的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功－4 J，拉力F做功9 J，阻力做功－1 J，則下列判斷正確的是(　　)
圖7
A.物體的重力勢(shì)能增加了9 J
B.物體的機(jī)械能增加了3 J
C.物體的機(jī)械能增加了8 J
D.物體的動(dòng)能增加了4 J
答案　CD
解析　重力做功－4 J，則物體的重力勢(shì)能增加了4 J，故A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理可得ΔEk＝WF＋WG＋Wf＝9 J－4 J－1 J＝4 J，物體的動(dòng)能增加了4 J，故D正確；物體的機(jī)械能增加了ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝4 J＋4 J＝8 J，故B錯(cuò)誤，C正確。
1.(2024·浙江6月選考，5)一個(gè)音樂(lè)噴泉噴頭出水口的橫截面積為2×10 －4 m2，噴水速度約為10 m/s，水的密度為1×103 kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為(　　)
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
答案　C
解析　
P＝ρSv3
P≈100 W，C正確。
2.(2024·江西卷，5) “飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”是李白對(duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
圖8
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
答案　B
解析　發(fā)電功率P＝η，由于W＝mgh，m＝ρV，Q＝，所以P＝＝ηρQgh，代入數(shù)據(jù)解得P≈107 W，B正確。
3.(2024·安徽卷，7)在某地區(qū)的干旱季節(jié)，人們常用水泵從深水井中抽水灌溉農(nóng)田，簡(jiǎn)化模型如圖9所示。水井中的水面距離水平地面的高度為H。出水口距水平地面的高度為h，與落地點(diǎn)的水平距離約為l。假設(shè)抽水過(guò)程中H保持不變，水泵輸出能量的η倍轉(zhuǎn)化為水被抽到出水口處增加的機(jī)械能。已知水的密度為ρ，水管內(nèi)徑的橫截面積為S，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。則水泵的輸出功率約為(　　)
圖9
A. B.
C. D.
答案　B
解析　設(shè)水從出水口噴出的初速度為v0，取t時(shí)間內(nèi)的水為研究對(duì)象，該部分水的質(zhì)量為m＝ρSv0t，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律l＝v0t，h＝gt2，解得v0＝l，根據(jù)功能關(guān)系得ηPt＝mv＋mg(H＋h)，聯(lián)立解得水泵的輸出功率為P＝·，故B正確。
4.(2024·山東卷，7)如圖10所示，質(zhì)量均為m的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕木板上，木板通過(guò)一根原長(zhǎng)為l的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為d(d圖10
A.＋μmg(l－d) B.＋μmg(l－d)
C.＋2μmg(l－d) D.＋2μmg(l－d)
答案　B
解析　當(dāng)甲所坐木板剛要離開(kāi)原位置時(shí)，對(duì)甲及其所坐木板整體有μmg＝kx0，解得彈性繩的伸長(zhǎng)量x0＝，則此時(shí)彈性繩的彈性勢(shì)能為E0＝kx＝；水平力F緩慢拉動(dòng)乙所坐木板，可認(rèn)為乙與其所坐木板的動(dòng)能變化量為零，從開(kāi)始拉動(dòng)乙所坐木板到甲所坐木板剛要離開(kāi)原位置的過(guò)程，乙所坐木板的位移為x1＝x0＋l－d，由功能關(guān)系可知該過(guò)程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝＋μmg(l－d)，B正確。
5.(2024·新課標(biāo)卷，24)將重物從高層樓房的窗外運(yùn)到地面時(shí)，為安全起見(jiàn)，要求下降過(guò)程中重物與樓墻保持一定的距離。如圖11，一種簡(jiǎn)單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子Q，二人配合可使重物緩慢豎直下降。若重物的質(zhì)量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。當(dāng)P繩與豎直方向的夾角α＝37°時(shí)，Q繩與豎直方向的夾角β＝53°(sin 37°＝0.6)。
圖11
(1)求此時(shí)P、Q繩中拉力的大小；
(2)若開(kāi)始豎直下降時(shí)重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的過(guò)程中，兩根繩子拉力對(duì)重物做的總功。
答案　(1)1 200 N　900 N　(2)－4 200 J
解析　 (1)重物緩慢下降，處于平衡狀態(tài)，對(duì)重物受力分析，如圖所示。
水平方向有FPsin α＝FQsin β
豎直方向有FPcos α＝FQcos β＋mg
聯(lián)立解得FP＝1 200 N，F(xiàn)Q＝900 N。
(2)重物緩慢下降，動(dòng)能變化量為零，下降過(guò)程中對(duì)重物由動(dòng)能定理有mgh＋W＝0
解得W＝－4 200 J
即兩根繩子拉力對(duì)重物做的總功為－4 200 J。
基礎(chǔ)保分練
1.(多選)(2024·河南南陽(yáng)模擬)解放軍戰(zhàn)士為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，進(jìn)行拉輪胎負(fù)重訓(xùn)練，如圖1所示，已知繩子與水平地面間的夾角恒為θ，輪胎質(zhì)量為m，該戰(zhàn)士由靜止開(kāi)始做加速直線運(yùn)動(dòng)，位移為x時(shí)，速度達(dá)到v，已知繩上拉力大小恒為F，重力加速度為g，則由靜止加速到v的過(guò)程中(　　)
圖1
A.輪胎克服阻力做的功為Fxcos θ
B.輪胎所受合外力做的功為mv2
C.拉力的最大功率為Fvcos θ
D.拉力所做的功為mv2＋Fxcos θ
答案　BC
解析　拉力所做的功為WF＝Fxcos θ，輪胎做加速運(yùn)動(dòng)，則Fcos θ＞f，則輪胎克服阻力做的功小于Fxcos θ，故A、D錯(cuò)誤；由動(dòng)能定理可知，輪胎所受合外力做的功為W合＝mv2，故B正確；拉力的最大功率為Pm＝Fvcos θ，故C正確。
2.(2023·湖北卷，4)兩節(jié)動(dòng)車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達(dá)到的最大速度分別為v1和v2。現(xiàn)將它們編成動(dòng)車組，設(shè)每節(jié)動(dòng)車運(yùn)行時(shí)受到的阻力在編組前后不變，則該動(dòng)車組在此鐵軌上能達(dá)到的最大速度為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由題意可知對(duì)兩節(jié)動(dòng)車分別有P1＝f1v1，P2＝f2v2，當(dāng)將它們編組后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，聯(lián)立可得v＝，故D正確。
3.(多選)(2024·廣東廣州月考)如圖2所示，無(wú)人駕駛小車在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛。已知小車總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的有(　　)
圖2
A.從M到N，小車牽引力大小為40 N
B.從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C.從P到Q，小車重力勢(shì)能增加1×104 J
D.從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
答案　ABD
解析　小車從M到N，依題意有P1＝Fv1＝200 W，代入數(shù)據(jù)解得F＝40 N，故A正確；小車從M到N勻速行駛，小車所受的摩擦力大小為Ff1＝F＝40 N，則克服摩擦力做功為W1＝Ff1·MN＝40×20 J＝800 J，故B正確；小車從P到Q，重力勢(shì)能增加量為ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5×103 J，故C錯(cuò)誤；小車從P到Q，摩擦力大小為Ff2，有Ff2＋mgsin 30°＝，代入數(shù)值解得Ff2＝35 N，克服摩擦力做功為W2＝Ff2·PQ＝700 J，故D正確。
4.(2024·河北廊坊高三期中)某次負(fù)重登山訓(xùn)練中，一質(zhì)量為60 kg的運(yùn)動(dòng)員(視為質(zhì)點(diǎn))背著質(zhì)量為20 kg的重物，在25 min內(nèi)由山腳到達(dá)山頂(山頂與山腳的高度差為525 m)，重力加速度大小g＝10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.臺(tái)階對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力做負(fù)功
B.運(yùn)動(dòng)員增加的重力勢(shì)能約為3.15×104 J
C.運(yùn)動(dòng)員對(duì)重物做的功約為1.05×105 J
D.運(yùn)動(dòng)員克服自身重力做功的平均功率約為12 600 W
答案　C
解析　整個(gè)過(guò)程中，支持力的作用點(diǎn)沒(méi)有發(fā)生位移，臺(tái)階對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力不做功，故A錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員的重力勢(shì)能增加量ΔEp＝mgΔh＝60×10×525 J＝3.15×105 J，故B錯(cuò)誤；重物的重力勢(shì)能增加量ΔEp＝m′gΔh＝20×10×525 J＝1.05×105 J，所以運(yùn)動(dòng)員對(duì)重物做的功約為1.05×105 J，故C正確；運(yùn)動(dòng)員克服自身重力做功的平均功率約為P＝＝ W＝210 W，故D錯(cuò)誤。
5.如圖3所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一個(gè)絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下，已知在金屬塊滑下的過(guò)程中動(dòng)能增加了12 J，金屬塊克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J。下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖3
A.金屬塊帶負(fù)電荷
B.金屬塊克服電場(chǎng)力做功8 J
C.金屬塊的電勢(shì)能減少4 J
D.金屬塊的機(jī)械能減少12 J
答案　D
解析　金屬塊滑下的過(guò)程中動(dòng)能增加了12 J，由動(dòng)能定理知WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，解得電場(chǎng)力做功WF＝－4 J，電場(chǎng)力做負(fù)功，金屬塊帶正電荷，電勢(shì)能增加了4 J，故A、B、C錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知機(jī)械能的變化量ΔE＝Wf＋WF＝－12 J，即機(jī)械能減少了12 J，故D正確。
6.(2024·山東煙臺(tái)高三期末)如圖4所示，直角桿AOB位于豎直平面內(nèi)，OA水平，OB豎直且光滑，用不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩相連的兩小球a和b分別套在OA和OB桿上，b球的質(zhì)量為1 kg，在作用于a球的水平拉力F的作用下，a、b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)a球到O點(diǎn)的距離l1＝0.3 m，b球到O點(diǎn)的距離h＝0.4 m。改變力F的大小，使a球向右加速運(yùn)動(dòng)，已知a球向右運(yùn)動(dòng)0.1 m時(shí)速度大小為6 m/s。g＝10 m/s2，則在此過(guò)程中繩對(duì)b球的拉力所做的功為(　　)
圖4
A.33 J B.32 J C.19 J D.10 J
答案　A
解析　a球向右運(yùn)動(dòng)0.1 m時(shí)，由幾何關(guān)系得，b上升距離為h1＝0.4 m－ m＝0.1 m，此時(shí)細(xì)繩與水平方向夾角的正切值為tan θ＝，可知cos θ＝，sin θ＝，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)可知vbsin θ＝vacos θ，可得vb＝8 m/s，以b球?yàn)檠芯繉?duì)象，由動(dòng)能定理得WF－mgh1＝mv，代入數(shù)據(jù)解得WF＝33 J，故A正確。
7.(2024·山東省等級(jí)考搶分卷)物體浸在粘滯流體中時(shí)，表面上會(huì)附著一層流體，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的粘滯阻力就是物體表面附近的流層間的內(nèi)摩擦力引起的。如圖5所示，質(zhì)量為m、體積為V的小球在粘滯流體中由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)距離h后，小球達(dá)到最大速度v。已知重力加速度為g，液體密度為ρ。該過(guò)程小球克服粘滯阻力做的功可能為(　　)
圖5
A.mgh B.mgh－ρgVh
C.mgh＋ρgVh－mv2 D.ρgVh－mgh－mv2
答案　D
解析　小球運(yùn)動(dòng)方向不確定，需分情況討論，設(shè)小球克服粘滯阻力做功為W
①小球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理有mgh－ρgVh－W＝mv2，可得W＝mgh－ρgVh－mv2。
②小球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理有ρgVh－mgh－W＝mv2，可得W＝ρgVh－mgh－mv2。
綜上可知，D正確。
8.如圖6所示，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊從固定斜面的頂端由靜止滑下，滑到水平面上的a點(diǎn)處停下。斜面與水平面粗糙程度相同，且平滑連接。現(xiàn)將斜面向右移動(dòng)到虛線所示的位置，并固定在水平面上，再讓小木塊從斜面的某處由靜止下滑，仍滑到a點(diǎn)處停下。則小木塊釋放的位置可能是(　　)
圖6
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案　C
解析　設(shè)每個(gè)格子的邊長(zhǎng)為x，物塊和接觸面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示。
斜面移動(dòng)前，有
mg·13x－μmgcos θ·－μmg·29x＝0
斜面移動(dòng)后，有
mgy－μmgcos θ·－μmg·18x＝0
又tan θ＝，解得y≈8x，丙位置符合要求，C正確。
提能增分練
9.(2024·廣東模擬預(yù)測(cè))一輛質(zhì)量為m＝1.2×103 kg的參賽小汽車在平直的公路上從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，牽引力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線如圖7所示，8 s時(shí)汽車功率達(dá)到最大值，此后保持此功率繼續(xù)行駛，24 s后可視為勻速。小汽車的最大功率恒定，受到的阻力大小恒定，則(　　)
圖7
A.小汽車受到的阻力大小為7×103 N
B.小汽車勻加速運(yùn)動(dòng)階段的加速度大小為4 m/s2
C.小汽車的最大功率為4×105 W
D.小汽車24 s后速度為40 m/s
答案　C
解析　由圖可知，小汽車在前8 s內(nèi)的牽引力不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，8～24 s內(nèi)小汽車的牽引力逐漸減小，加速度逐漸減小，小汽車做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，直到車的速度達(dá)到最大值，以后做勻速直線運(yùn)動(dòng)。小汽車的速度達(dá)到最大值后牽引力等于阻力，所以阻力f＝4×103 N，故A錯(cuò)誤；前8 s內(nèi)小汽車的牽引力為
F＝10×103 N，由牛頓第二定律F－f＝ma可得a＝5 m/s2，故B錯(cuò)誤；小汽車在8 s末的功率達(dá)到最大值，8 s末小汽車的速度v1＝at1＝5×8 m/s＝40 m/s，所以小汽車的最大功率P＝Fv1＝10×103×40 W＝4×105 W，故C正確；小汽車的最大速度為vm＝＝ m/s＝100 m/s，故小汽車24 s后速度為100 m/s，故D錯(cuò)誤。
10.(2024·海南海口模擬預(yù)測(cè))如圖8所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與小球相連。小球套在豎直固定、粗細(xì)均勻的粗糙桿上，OP與桿垂直，小球在P點(diǎn)時(shí)，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離相等，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。小球從M點(diǎn)靜止釋放，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖8
A.小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度最大
B.小球運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)的速度是運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)速度的倍
C.從M點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力先變大再變小
D.從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球受到的摩擦力做功相同
答案　D
解析　小球從M→P，受力分析如圖所示，
滑動(dòng)摩擦力Ff＝μFN逐漸減小，加速度逐漸減小，加速度為零時(shí)速度最大，小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)加速度不為零，所以到P點(diǎn)時(shí)速度不是最大，故A錯(cuò)誤；小球從M點(diǎn)向P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，設(shè)彈簧與豎直方向夾角為θ，彈簧的拉力為F＝k(－L0)逐漸減小，支持力為FN＝Fsin θ＝k(L0－L0sin θ)逐漸減小，小球從M到P根據(jù)功能關(guān)系mgh＋Ep＝Q＋mv，從M到N根據(jù)功能關(guān)系2mgh＝2Q＋mv，則v2≠v1，故B錯(cuò)誤；從M點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，到P點(diǎn)摩擦力等于0，則小球受到的摩擦力先變小再變大，故C錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知在任意關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)摩擦力大小相等，因此從M點(diǎn)到P點(diǎn)和從P點(diǎn)到N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力做功大小相等，故D正確。
11.如圖9所示，AB為一段彎曲軌道，固定在水平桌面上，與水平桌面相切于A點(diǎn)，B點(diǎn)距桌面的高度為h＝0.6 m，A、B兩點(diǎn)間的水平距離為L(zhǎng)＝0.8 m，軌道邊緣B處有一輕小定滑輪，一根輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m1與m2的物體P、Q，掛在定滑輪兩邊，P、Q可視為質(zhì)點(diǎn)，且m1＝2.0 kg，m2＝0.4 kg。開(kāi)始時(shí)P、Q均靜止，P緊靠B點(diǎn)，P釋放后沿彎曲軌道向下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷開(kāi)，斷開(kāi)后沿水平桌面滑行x＝1.25 m停止。已知P與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25，g取10 m/s2。求：
圖9
(1)物體P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)當(dāng)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，Q此時(shí)的速度大小；
(3)在物體P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，物體Q重力勢(shì)能的改變量；
(4)彎曲軌道對(duì)物體P的摩擦力所做的功。
答案　(1)2.5 m/s　(2)2 m/s　(3)4 J　(4)－0.95 J
解析　(1)P在水平軌道上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得
－μm1gx＝0－m1v
解得P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度
v1＝＝ m/s＝2.5 m/s。
(2)設(shè)P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)速度為v2，對(duì)速度v1分解如圖所示
則有v2＝v1cos β
由幾何關(guān)系得sin β＝＝0.6
則cos β＝0.8
解得v2＝2 m/s。
(3)P由B到A的過(guò)程中，Q上升的高度
H＝＝1 m
Q重力勢(shì)能的增量ΔEp＝m2gH＝4 J。
(4)對(duì)P與Q組成的系統(tǒng)，由功能關(guān)系有
m1gh－m2gH＋Wf＝m1v＋m2v
代入數(shù)據(jù)解得Wf＝－0.95 J。
12.(2023·江蘇卷，15)如圖10所示，滑雪道AB由坡道和水平道組成，且平滑連接，坡道傾角均為45°。平臺(tái)BC與緩沖坡CD相連。若滑雪者從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，恰好到達(dá)B點(diǎn)。滑雪者現(xiàn)從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，從B點(diǎn)飛出。已知A、P間的距離為d，滑雪者與滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
圖10
(1)求滑雪者運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t；
(2)求滑雪者從B點(diǎn)飛出的速度大小v；
(3)若滑雪者能著陸在緩沖坡CD上，求平臺(tái)BC的最大長(zhǎng)度L。
答案　(1)　(2) (3)(1－μ)d
解析　(1)滑雪者由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，由牛頓第二定律得
mgsin 45°－Ff＝ma
在垂直斜坡方向由平衡條件得mgcos 45°＝FN
又Ff＝μFN
解得a＝g(1－μ)
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x＝at2得t＝。
(2)設(shè)P點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程重力做的功為WG，克服摩擦力做的功為Wf，則滑雪者從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得WG－Wf＝0
滑雪者由A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理得
mgdsin 45°＋WG－Wf－μmgdcos 45°＝mv2
聯(lián)立解得v＝。
(3)滑雪者離開(kāi)B點(diǎn)后做斜拋運(yùn)動(dòng)，則
豎直方向的分速度vy＝vsin 45°＝
水平方向的分速度
vx＝vcos 45°＝
滑雪者剛好落在C點(diǎn)時(shí)，平臺(tái)BC的長(zhǎng)度最大，則其在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t＝＝
則平臺(tái)BC的最大長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝vxt
聯(lián)立解得L＝(1－μ)d。
培優(yōu)高分練
13.某校科技組利用圖11甲所示裝置研究過(guò)山車運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中所遵循的物理規(guī)律，圖中Q為水平彈射裝置，AB為傾角θ＝30°的傾斜軌道，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，以水平向左為x軸正方向、豎直向上為y軸正方向。Q可在坐標(biāo)平面內(nèi)移動(dòng)，BC為水平軌道，CDC′為豎直圓軌道，C′E為足夠長(zhǎng)傾斜軌道，各軌道均平滑連接。已知滑塊質(zhì)量為m，圓軌道半徑為R，軌道AB長(zhǎng)為R，滑塊與AB間動(dòng)摩擦因數(shù)μ1隨滑塊到A點(diǎn)距離l的變化關(guān)系如圖乙所示；BC長(zhǎng)為2R，滑塊與BC間動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.5，其余各段軌道均光滑。彈射裝置彈出的滑塊均能無(wú)碰撞從A點(diǎn)切入斜面，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)。
圖11
(1)求彈出點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)應(yīng)滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)彈出點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為多大時(shí)，滑塊從A點(diǎn)切入后恰好過(guò)最高點(diǎn)D？通過(guò)計(jì)算判斷滑塊返回后能否從A點(diǎn)滑出。
答案　(1)y＝　(2)R　能　見(jiàn)解析
解析　(1)滑塊彈出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知
x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝
解得y＝。
(2)滑塊恰好通過(guò)最高點(diǎn)D，滿足mg＝m
由于動(dòng)摩擦因數(shù)μ1與l成線性關(guān)系，故AB過(guò)程摩擦力做的功可用平均力做功計(jì)算。從彈出點(diǎn)到圓軌道最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
mg(y＋xABsin θ－2R)－mgcos θ·xAB－μ2mgxBC＝mv－mv
其中＝μ1max＝
又y＝＝
聯(lián)立解得y＝R，x＝2y＝R
滑塊從C′E軌道上與D點(diǎn)等高的點(diǎn)返回到A點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得
mg·2R－mgxABsin θ－mgcos θ·xAB－μ2mgxBC＝mv－mv
解得vA＝＞0，說(shuō)明滑塊能從A點(diǎn)滑出。(共65張PPT)
第5課時(shí)　功與功率　功能關(guān)系
專題二　能量與動(dòng)量
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
目 錄
CONTENTS
突破高考熱點(diǎn)
01
課時(shí)跟蹤訓(xùn)練
03
鏈接高考真題
02
突破高考熱點(diǎn)
1
熱點(diǎn)二　動(dòng)能定理的應(yīng)用
熱點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
熱點(diǎn)三　功能關(guān)系及其應(yīng)用
熱點(diǎn)一　功、功率的分析與計(jì)算
D
例1 (2023·北京卷，11)如圖1所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動(dòng)距離x的過(guò)程中(　　)
圖1
A.摩擦力做功大小與F方向無(wú)關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時(shí)，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
解析　設(shè)力F與水平方向的夾角為θ，則摩擦力為Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，則摩擦力做功與F的方向有關(guān)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；合力做功W＝F合x(chóng)＝max，可知合力做功與力F方向無(wú)關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)力F為水平方向時(shí)，有F－μmg＝ma，力F做功為WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因合外力做功為max大小一定，而合外力做的功等于力F與摩擦力Ff做功的代數(shù)和，而當(dāng)Fsin θ＝mg時(shí)，摩擦力Ff＝0，則此時(shí)摩擦力做功為零，此時(shí)力F做功最小，最小值為max，選項(xiàng)D正確。
圖2
A
A.200 W　2 m/s B.100 W　4 m/s
C.100 W　2 m/s D.200 W　4 m/s
圖3
B
訓(xùn)練1 (2023·遼寧卷，3)如圖3(a)，從高處M點(diǎn)到地面N點(diǎn)有 Ⅰ 、 Ⅱ 兩條光滑軌道。兩相同小物塊甲、乙同時(shí)從M點(diǎn)由靜止釋放，沿不同軌道滑到N點(diǎn)，其速率v與時(shí)間t的關(guān)系如圖(b)所示。由圖可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的下滑過(guò)程中(　　)
A.甲沿 Ⅰ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的大
B.甲沿 Ⅱ 下滑且同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小
C.乙沿 Ⅰ 下滑且乙的重力功率一直不變
D.乙沿 Ⅱ 下滑且乙的重力功率一直增大
解析　由題圖(b)可知小物塊甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小物塊乙做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題圖(a)可知，小物塊甲沿軌道 Ⅱ 下滑，小物塊乙沿軌道 Ⅰ 下滑，A錯(cuò)誤；由題圖(b)可知，兩物塊在離開(kāi)M點(diǎn)后、到達(dá)N點(diǎn)前的
下滑過(guò)程中，同一時(shí)刻物塊乙的速度大于物塊甲的速度，則同一時(shí)刻甲的動(dòng)能比乙的小，B正確；小物塊乙由靜止釋放的瞬間速度為0，則重力功率為0，小物塊乙滑到軌道 Ⅰ 底端的瞬間，速度方向與重力方向垂直，則小物塊乙的重力功率為0，但在下滑過(guò)程，小物塊乙的重力做的功不為0，則小物塊乙的重力的瞬時(shí)功率先增大后減小，C、D錯(cuò)誤。
熱點(diǎn)二　動(dòng)能定理的應(yīng)用
(1)小物塊到達(dá)D點(diǎn)的速度大小；
(2)B和D兩點(diǎn)的高度差；
(3)小物塊在A點(diǎn)的初速度大小。
圖4
解析　(1)由題意知，小物塊恰好能到達(dá)軌道的最高點(diǎn)D，
則在C點(diǎn)有vCx＝vCcos 60°＝vB
小物塊從C到D的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
小物塊從B到D的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有
方法總結(jié)　應(yīng)用動(dòng)能定理解題的四點(diǎn)注意
訓(xùn)練2 (2024·安徽合肥一模)如圖5甲所示，一小物塊放置在水平臺(tái)面上，在水平推力F的作用下，物塊從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止開(kāi)始沿x軸運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)與物塊的位置坐標(biāo)x的關(guān)系如圖乙所示。物塊在x＝2 m處從平臺(tái)飛出，同時(shí)撤去F，物塊恰好由P點(diǎn)沿其切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，隨后剛好從軌道最高點(diǎn)M飛出。已知物塊質(zhì)量為0.5 kg，物塊與水平臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.7，軌道圓心為O′，半徑為0.5 m，MN為豎直直徑，∠PO′N＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力。求：
圖5
(1)物塊飛出平臺(tái)時(shí)的速度大小；
(2)物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功。
答案　(1)4 m/s　(2)0.5 J
解析　(1)由F－x關(guān)系圖像與橫軸所圍面積表示力F做的功可知，
設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到x2＝2 m處時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得
(2)物塊從平臺(tái)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，且從P點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的速度為vP，可得物塊在P點(diǎn)的速度
設(shè)物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服摩擦力做功為W2，由動(dòng)能定理有
熱點(diǎn)三　功能關(guān)系及其應(yīng)用
圖6
BD
例4 (多選)(2024·湖南株洲模擬)如圖6，質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))靜止在質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的木板上的最右端，木板放在光滑水平桌面上，某時(shí)刻木板以速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為Ff，當(dāng)物塊從木板左端離開(kāi)時(shí)(　　)
圖7
CD
訓(xùn)練3 (多選)(2024·重慶九龍坡高三模擬)如圖7所示，用力F拉著一個(gè)物體從固定斜面上的A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，重力做功－4 J，拉力F做功9 J，阻力做功－1 J，則下列判斷正確的是(　　)
A.物體的重力勢(shì)能增加了9 J
B.物體的機(jī)械能增加了3 J
C.物體的機(jī)械能增加了8 J
D.物體的動(dòng)能增加了4 J
解析　重力做功－4 J，則物體的重力勢(shì)能增加了4 J，故A錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理可得ΔEk＝WF＋WG＋Wf＝9 J－4 J－1 J＝4 J，物體的動(dòng)能增加了4 J，故D正確；物體的機(jī)械能增加了ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝4 J＋4 J＝8 J，故B錯(cuò)誤，C正確。
鏈接高考真題
2
C
1.(2024·浙江6月選考，5)一個(gè)音樂(lè)噴泉噴頭出水口的橫截面積為2×10 －4 m2，噴水速度約為10 m/s，水的密度為1×103 kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為(　　)
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
B
2.(2024·江西卷，5) “飛流直下三千尺，疑是銀河落九天。”是李白對(duì)廬山瀑布的浪漫主義描寫。設(shè)瀑布的水流量約為10 m3/s，水位落差約為150 m。若利用瀑布水位落差發(fā)電，發(fā)電效率為70%，則發(fā)電功率大致為(　　)
圖8
A.109 W B.107 W C.105 W D.103 W
B
3.(2024·安徽卷，7)在某地區(qū)的干旱季節(jié)，人們常用水泵從深水井中抽水灌溉農(nóng)田，簡(jiǎn)化模型如圖9所示。水井中的水面距離水平地面的高度為H。出水口距水平地面的高度為h，與落地點(diǎn)的水平距離約為l。假設(shè)抽水過(guò)程中H保持不變，水泵輸出能量的η倍轉(zhuǎn)化為水被抽到出水口處增加的機(jī)械能。已知水的密度為ρ，水管內(nèi)徑的橫截面積為S，重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力。則水泵的輸出功率約為(　　)
圖9
B
圖10
5.(2024·新課標(biāo)卷，24)將重物從高層樓房的窗外運(yùn)到地面時(shí)，為安全起見(jiàn)，要求下降過(guò)程中重物與樓墻保持一定的距離。如圖11，一種簡(jiǎn)單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子Q，二人配合可使重物緩慢豎直下降。若重物的質(zhì)量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。當(dāng)P繩與豎直方向的夾角α＝37°時(shí)，Q繩與豎直方向的夾角β＝53°(sin 37°＝0.6)。
(1)求此時(shí)P、Q繩中拉力的大小；
(2)若開(kāi)始豎直下降時(shí)重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的過(guò)程中，兩根繩子拉力對(duì)重物做的總功。
圖11
答案　(1)1 200 N　900 N　(2)－4 200 J
解析　 (1)重物緩慢下降，處于平衡狀態(tài)，對(duì)重物受力分析，如圖所示。
水平方向有FPsin α＝FQsin β
豎直方向有FPcos α＝FQcos β＋mg
聯(lián)立解得FP＝1 200 N，F(xiàn)Q＝900 N。
(2)重物緩慢下降，動(dòng)能變化量為零，
下降過(guò)程中對(duì)重物由動(dòng)能定理有mgh＋W＝0
解得W＝－4 200 J
即兩根繩子拉力對(duì)重物做的總功為－4 200 J。
課時(shí)跟蹤訓(xùn)練
3
BC
1.(多選)(2024·河南南陽(yáng)模擬)解放軍戰(zhàn)士為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，進(jìn)行拉輪胎負(fù)重訓(xùn)練，如圖1所示，已知繩子與水平地面間的夾角恒為θ，輪胎質(zhì)量為m，該戰(zhàn)士由靜止開(kāi)始做加速直線運(yùn)動(dòng)，位移為x時(shí)，速度達(dá)到v，已知繩上拉力大小恒為F，重力加速度為g，則由靜止加速到v的過(guò)程中(　　)
基礎(chǔ)保分練
圖1
D
2.(2023·湖北卷，4)兩節(jié)動(dòng)車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達(dá)到的最大速度分別為v1和v2。現(xiàn)將它們編成動(dòng)車組，設(shè)每節(jié)動(dòng)車運(yùn)行時(shí)受到的阻力在編組前后不變，則該動(dòng)車組在此鐵軌上能達(dá)到的最大速度為(　　)
ABD
3.(多選)(2024·廣東廣州月考)如圖2所示，無(wú)人駕駛小車在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s勻速行駛，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s勻速行駛。已知小車總質(zhì)量為50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的傾角為30°，重力加速度g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的有(　 　)
A.從M到N，小車牽引力大小為40 N
B.從M到N，小車克服摩擦力做功800 J
C.從P到Q，小車重力勢(shì)能增加1×104 J
D.從P到Q，小車克服摩擦力做功700 J
圖2
C
4.(2024·河北廊坊高三期中)某次負(fù)重登山訓(xùn)練中，一質(zhì)量為60 kg的運(yùn)動(dòng)員(視為質(zhì)點(diǎn))背著質(zhì)量為20 kg的重物，在25 min內(nèi)由山腳到達(dá)山頂(山頂與山腳的高度差為525 m)，重力加速度大小g＝10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.臺(tái)階對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力做負(fù)功
B.運(yùn)動(dòng)員增加的重力勢(shì)能約為3.15×104 J
C.運(yùn)動(dòng)員對(duì)重物做的功約為1.05×105 J
D.運(yùn)動(dòng)員克服自身重力做功的平均功率約為12 600 W
D
5.如圖3所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一個(gè)絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下，已知在金屬塊滑下的過(guò)程中動(dòng)能增加了12 J，金屬塊克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J。下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖3
A.金屬塊帶負(fù)電荷
B.金屬塊克服電場(chǎng)力做功8 J
C.金屬塊的電勢(shì)能減少4 J
D.金屬塊的機(jī)械能減少12 J
解析　金屬塊滑下的過(guò)程中動(dòng)能增加了12 J，由動(dòng)能定理知WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，解得電場(chǎng)力做功WF＝－4 J，電場(chǎng)力做負(fù)功，金屬塊帶正電荷，電勢(shì)能增加了4 J，故A、B、C錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知機(jī)械能的變化量ΔE＝Wf＋WF＝－12 J，即機(jī)械能減少了12 J，故D正確。
A
6.(2024·山東煙臺(tái)高三期末)如圖4所示，直角桿AOB位于豎直平面內(nèi)，OA水平，OB豎直且光滑，用不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)繩相連的兩小球a和b分別套在OA和OB桿上，b球的質(zhì)量為1 kg，在作用于a球的水平拉力F的作用下，a、b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)a球到O點(diǎn)的距離l1＝0.3 m，b球到O點(diǎn)的距離h＝0.4 m。改變力F的大小，使a球向右加速運(yùn)動(dòng)，已知a球向右運(yùn)動(dòng)0.1 m時(shí)速度大小為6 m/s。g＝10 m/s2，則在此過(guò)程中繩對(duì)b球的拉力所做的功為(　　)
圖4
A.33 J B.32 J C.19 J D.10 J
D
7.(2024·山東省等級(jí)考搶分卷)物體浸在粘滯流體中時(shí)，表面上會(huì)附著一層流體，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的粘滯阻力就是物體表面附近的流層間的內(nèi)摩擦力引起的。如圖5所示，質(zhì)量為m、體積為V的小球在粘滯流體中由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)距離h后，小球達(dá)到最大速度v。已知重力加速度為g，液體密度為ρ。該過(guò)程小球克服粘滯阻力做的功可能為(　　)
圖5
解析　小球運(yùn)動(dòng)方向不確定，需分情況討論，設(shè)小球克服粘滯阻力做功為W
C
8.如圖6所示，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊從固定斜面的頂端由靜止滑下，滑到水平面上的a點(diǎn)處停下。斜面與水平面粗糙程度相同，且平滑連接。現(xiàn)將斜面向右移動(dòng)到虛線所示的位置，并固定在水平面上，再讓小木塊從斜面的某處由靜止下滑，仍滑到a點(diǎn)處停下。則小木塊釋放的位置可能是(　　)
圖6
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析　設(shè)每個(gè)格子的邊長(zhǎng)為x，物塊和接觸面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示。
斜面移動(dòng)前，有
C
9.(2024·廣東模擬預(yù)測(cè))一輛質(zhì)量為m＝1.2×103 kg的參賽小汽車在平直的公路上從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，牽引力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖線如圖7所示，8 s時(shí)汽車功率達(dá)到最大值，此后保持此功率繼續(xù)行駛，24 s后可視為勻速。小汽車的最大功率恒定，受到的阻力大小恒定，則(　　)
提能增分練
圖7
A.小汽車受到的阻力大小為7×103 N
B.小汽車勻加速運(yùn)動(dòng)階段的加速度大小為4 m/s2
C.小汽車的最大功率為4×105 W
D.小汽車24 s后速度為40 m/s
D
10.(2024·海南海口模擬預(yù)測(cè))如圖8所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與小球相連。小球套在豎直固定、粗細(xì)均勻的粗糙桿上，OP與桿垂直，小球在P點(diǎn)時(shí)，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離相等，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。小球從M點(diǎn)靜止釋放，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖8
解析　小球從M→P，受力分析如圖所示，
11.如圖9所示，AB為一段彎曲軌道，固定在水平桌面上，與水平桌面相切于A點(diǎn)，B點(diǎn)距桌面的高度為h＝0.6 m，A、B兩點(diǎn)間的水平距離為L(zhǎng)＝0.8 m，軌道邊緣B處有一輕小定滑輪，一根輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m1與m2的物體P、Q，掛在定滑輪兩邊，P、Q可視為質(zhì)點(diǎn)，且m1＝2.0 kg，m2＝0.4 kg。開(kāi)始時(shí)P、Q均靜止，P緊靠B點(diǎn)，P釋放后沿彎曲軌道向下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷開(kāi)，斷開(kāi)后沿水平桌面滑行x＝1.25 m停止。已知P與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.25，g取10 m/s2。求：
圖9
(1)物體P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
(2)當(dāng)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，Q此時(shí)的速度大小；
(3)在物體P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過(guò)程中，
物體Q重力勢(shì)能的改變量；
(4)彎曲軌道對(duì)物體P的摩擦力所做的功。
答案　(1)2.5 m/s　(2)2 m/s　(3)4 J　(4)－0.95 J
解析　(1)P在水平軌道上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理得
(2)設(shè)P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)速度為v2，對(duì)速度v1分解如圖所示
則有v2＝v1cos β
則cos β＝0.8
解得v2＝2 m/s。
(4)對(duì)P與Q組成的系統(tǒng)，由功能關(guān)系有
12.(2023·江蘇卷，15)如圖10所示，滑雪道AB由坡道和水平道組成，且平滑連接，坡道傾角均為45°。平臺(tái)BC與緩沖坡CD相連。若滑雪者從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，恰好到達(dá)B點(diǎn)。滑雪者現(xiàn)從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，從B點(diǎn)飛出。已知A、P間的距離為d，滑雪者與滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
圖10
(1)求滑雪者運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間t；
(2)求滑雪者從B點(diǎn)飛出的速度大小v；
(3)若滑雪者能著陸在緩沖坡CD上，求平臺(tái)BC的最大長(zhǎng)度L。
解析　(1)滑雪者由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，
由牛頓第二定律得
mgsin 45°－Ff＝ma
在垂直斜坡方向由平衡條件得mgcos 45°＝FN
又Ff＝μFN
(2)設(shè)P點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程重力做的功為WG，克服摩擦力做的功為Wf，則滑雪者從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑到B點(diǎn)的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得WG－Wf＝0
滑雪者由A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理得
(3)滑雪者離開(kāi)B點(diǎn)后做斜拋運(yùn)動(dòng)，則
滑雪者剛好落在C點(diǎn)時(shí)，平臺(tái)BC的長(zhǎng)度最大，則其在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
培優(yōu)高分練
(1)求彈出點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)應(yīng)滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)彈出點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為多大時(shí)，滑塊從A點(diǎn)切入后恰好過(guò)最高點(diǎn)D？通過(guò)計(jì)算判斷滑塊返回后能否從A點(diǎn)滑出。
圖11
解析　(1)滑塊彈出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知
由于動(dòng)摩擦因數(shù)μ1與l成線性關(guān)系，故AB過(guò)程摩擦力做的功可用平均力做功計(jì)算。從彈出點(diǎn)到圓軌道最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
滑塊從C′E軌道上與D點(diǎn)等高的點(diǎn)返回到A點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可得

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