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(共35張PPT)
（人教版）數(shù)學(xué)（2025）
七年級(jí)
下
第十一章 不等式與不等式組
11.1.2 不等式的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握不等式的基本性質(zhì);
2.通過實(shí)例操作,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較問題的能力,會(huì)用
不等式的基本性質(zhì)解簡單的不等式.(難點(diǎn))
3.進(jìn)一步了解不等式的概念，認(rèn)識(shí)幾種不等號(hào)的含義;
4.學(xué)會(huì)并準(zhǔn)確運(yùn)用不等式表示數(shù)量關(guān)系，形成在表達(dá)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想．（重點(diǎn)）
我比你大兩歲，所以我是你哥哥.
哈哈！三年前我還是比你大.
那......再過十年，我肯定比你大.
大兩歲,那三年前，你不就比我小呀！
情境導(dǎo)入
前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過等式的基本性質(zhì)：
（1）等式的兩邊加或減同一個(gè)數(shù)（或式子）， 等式仍然成立.
（2）等式的兩邊乘或除以同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0），等式仍成立.
猜想 ：不等式也具有同樣的性質(zhì)嗎？
情境導(dǎo)入
知識(shí)點(diǎn)一 不等式的性質(zhì)1
活動(dòng)1 用天平探究不等式的性質(zhì)
新知講解
a
b
b+2
a+2
a b
a+2 b+2
<
a
b
b-c
a-c
a < b
a-c b-c
活動(dòng)2 用數(shù)軸
探究不等式的性質(zhì)
新知講解
+ C
－C
不等式的性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），
不等號(hào)的方向不變.如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
新知講解
解析： 因?yàn)?a>b，兩邊都加上3，
由不等式的基本性質(zhì)1，得a+3 > b+3.
解析：由不等式的基本性質(zhì)1，得a-5 < b-5 .
（1）已知 a>b，則a+3 b+3；
（2）已知 a>
<
例1 用“>”或“<”填空：
新知講解
例2 用“＞”或“＜”填空，并說明是根據(jù)不等式
的哪一條性質(zhì)：
(1)若x＋3＞6，則x______3，
根據(jù)______________；
(2)若a－2＜3，則a______5，
根據(jù)_ ___________．
>
<
不等式的性質(zhì)1
不等式的性質(zhì)1
新知講解
知識(shí)點(diǎn)二 不等式的性質(zhì)2、3
問題1 已知蘋果的價(jià)格是a元/kg，梨的價(jià)格是b元/kg，且a > b. 小李各買了3kg蘋果和梨，則買哪種水果花錢較多？
用不等號(hào)填空： 3a 3b.
問題2 在某次知識(shí)搶答賽中，甲、乙兩隊(duì)的總得分分別為a，b，其中a>b. 已知每隊(duì)人員均為3名，則哪隊(duì)的平均得分高？
用不等號(hào)填空：a÷3 b÷3.
>
>
新知講解
用不等號(hào)填一填：
1.a b ;
2.2a 2b;
如圖所示，托盤天平的右盤放上一質(zhì)量為b g的立體木塊，左盤放上一質(zhì)量為a g的立體木塊，天平向左傾斜.
ag
bg
>
>
ag
bg
你發(fā)現(xiàn)了什么？
新知講解
總結(jié)歸納
不等式的性質(zhì)2
不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.即如果a > b，c > 0，那么 ac > bc ， > .
新知講解
a>b
-a-b
a-a-b>b-a-b
-b>-a
(-1)×a<(-1)×b
×(-1)
不等式兩邊同乘-1，不等號(hào)方向改變.
猜想：不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變.
a>b
×(-1)
-a<-b
×3
-3a<-3b
×c(c>0)
-ac<-bc
×(-c)(-c<0)
新知講解
不等式的性質(zhì)3
不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.
即如果a > b，c < 0，那么 ac < bc ， < .
總結(jié)歸納
新知講解
思考:等式有對(duì)稱性及傳遞性，那么不等式具有對(duì)稱性和傳遞性嗎
如果已知x>5,那么5由8如8<10，10<15 ，8 15.
<
不等式的性質(zhì)4（對(duì)稱性）:如果a>b,那么b不等式的性質(zhì)5（同向傳遞性）:如果a>b,b>c,那么a>c.
新知講解
因?yàn)?a>b，兩邊都乘3，
因?yàn)?a>b，兩邊都乘-1，
由不等式的性質(zhì)3，
得-a < -b.
解析：
由不等式的性質(zhì)2，
得3a > 3b.
（1）已知 a>b，則3a 3b ；
（2）已知 a>b，則-a -b .
>
<
例1 用“>”或“<”填空：
新知講解
例2 設(shè)a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根據(jù)不等式的哪一條性質(zhì).
（1） a - 7____b - 7;
（2） a÷6____b÷6;
（3） 0.1a____0.1b;
（4） -4a____-4b;
＞
＞
＞
＜
不等式的性質(zhì)1
不等式的性質(zhì)2
不等式的性質(zhì)2
不等式的性質(zhì)3
新知講解
例3 如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可變形為 x＞1，那么a 必須滿足________.
方法總結(jié)：當(dāng)不等式的兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，
不等號(hào)的方向改變．
解析：根據(jù)不等式的性質(zhì)3可判斷，a＋1為負(fù)數(shù)，即a＋1＜0，可得 a＜－1.
a＜－1
新知講解
知識(shí)點(diǎn)三 利用不等式的性質(zhì)解簡單的不等式
例1 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：
(1) x-7＞26； (2) 3x<2x+1；
　　　
解未知數(shù)為x的不等式
化為x＞a或x﹤a的形式
目標(biāo)
方法：不等式的性質(zhì)1、2、3
思路：
新知講解
解析：(1)不等式兩邊都加7，
根據(jù)不等式的性質(zhì)1，得x-7+7﹥26+7，即x﹥33.
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示：
0
33
(1) x-7＞26；
新知講解
解析：不等式兩邊都減去2x,根據(jù)不等式的性質(zhì)1，
得3x-2x﹤2x+1-2x ，即 x﹤1.
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示：
0
1
(2) 3x<2x+1.　　　
新知講解
知識(shí)點(diǎn)四 含“≤”“≥”的不等式
問題1 一輛轎車在一條規(guī)定車速不低于60km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行駛，如何用式子來表示轎車在該高速公路上行駛的路程s(km)與行駛時(shí)間x(h)之間的關(guān)系呢？
根據(jù)路程與速度、時(shí)間之間的關(guān)系可得s≥60x，且s≤100x.
新知講解
問題2 鐵路部門對(duì)隨身攜帶的行李有如下規(guī)定：每件行李的長、寬、高之和不得超過160cm.設(shè)行李的長、寬、高分別為a cm,b cm,c cm,請(qǐng)你列出行李的長、寬、高滿足的關(guān)系式.
根據(jù)題意可得： a+b+c≤160.
新知講解
我們把用不等號(hào)（>,<,≥,≤,≠）連接而成的式子叫作
不等式.其中“≥”讀作大于等于，“≤”讀作小于等于.
不等式的概念
新知講解
利用不等式的性質(zhì)解不等式的注意事項(xiàng)
2.要注意區(qū)分“大于”“不大于”“小于”“不小于”等數(shù)學(xué)語言的使用，并把這些表示不等關(guān)系的語言用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確地表達(dá)出來.
3.在數(shù)軸上表示解集應(yīng)注意的問題：方向、空心圓圈或?qū)嵭膱A點(diǎn).
1.在運(yùn)用性質(zhì)3時(shí),要特別注意：不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，要改變不等號(hào)的方向.
新知講解
例1 某長方體形狀的容器長5cm,寬3cm,高10cm,容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準(zhǔn)備向它繼續(xù)注水.用V(單位：cm3)表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍.
解析：新注入水的體積V與原有水的體積的和不能超過
容器的容積，即
V+3×5×3≤3×5×10，解得V≤105.
又由于新注入水的體積不能是負(fù)數(shù)，因此，V的取值范圍是0≤V≤105.
在數(shù)軸上表示V的取值范圍如圖.
0
105
新知講解
1.已知a < b，用“>”或“<”填空：
（1）a +12 b +12 ；
（2）b-10 a -10 .
<
>
解析：x < 2.
解析：x < 6.
2.把下列不等式化為x>a或x（1）5＞3+x；
（2）2x＜x+6.
隨堂練習(xí)
3.利用不等式的性質(zhì)解下列不等式,并在數(shù)軸上表示其解集．
(2)-2x > 3；
(1)x-5 > -1；
(3)7x < 6x-6.
x＞4
x<-6
4
0
0
0
-6
隨堂練習(xí)
4. 用不等式表示下列語句并寫出解集，并在數(shù)軸上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x與3的和不小于6；
（3）y與1的差不大于0；
（4）y的 小于或等于-2.
分析：準(zhǔn)確找出本題中表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，并正確使用不等號(hào).(1)(2)中大于或等于、不小于都用“ ≥”表示；(3)(4)中不大于、小于或等于都用“≤”表示.
隨堂練習(xí)
解析：(1)3x≥1, 解集是x≥ ;
(2)x+3≥6, 解集是x≥3;
(3)y-1≤0, 解集是y≤1;
0
3
0
1
0
-8
0
(4) y≤-2, 解集是y≤-8.
隨堂練習(xí)
不等式的性質(zhì)
不等式的性質(zhì)1
不等式的性質(zhì)2
如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c
不等式的性質(zhì)3
利用不等式的性質(zhì)解簡單的不等式
不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.
不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.
含“≤”“≥”的不等式
課后小結(jié)
謝謝觀看
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