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(共25張PPT)
（人教版）數學（2025）
七年級
下
第十章 二元一次方程組
10.4 三元一次方程組的解法
學習目標
1.理解三元一次方程組的概念．（重點）
2.能解簡單的三元一次方程組．（難點）
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
代入消元法和加減消元法
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
化歸轉化思想
思考：若含有3個未知數的方程組如何求解？
二元一次方程組
一元一次方程
代入
加減
情境導入
知識點一 三元一次方程（組）的概念
三個小動物年齡之和為26歲
流氓兔比加菲貓大1歲
流氓兔年齡的2倍加上米老鼠的年齡之和比加菲貓大18歲
求三個
小動物
的年齡
新知講解
問題1：題中有哪些未知量？你能找出哪些等量關系？
未知量：
每一個未知量都用一個字母表示
三個未知數（元）
流氓兔的年齡
加菲貓的年齡
米老鼠的年齡
x歲
y歲
z歲
新知講解
等量關系：
(1)流氓兔的年齡+加菲貓的年齡+米老鼠的年齡=26
(2)流氓兔的年齡-1=加菲貓的年齡
(3)2×流氓兔的年齡+米老鼠的年齡=加菲貓的年齡+18
用方程表示等量關系.
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

新知講解
問題2：觀察列出的三個方程，你有什么發現？
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

二元一次方程
三元一次方程
含兩個未知數
未知數的次數都是1
含三個未知數
未知數的次數都是1
新知講解
因三個小動物的年齡必須同時滿足上述三個方程，故將三個方程聯立在一起.
x+y+z=26,

x-1=y,

2x+z=y+18.

概念：在這個方程組中，含有三個未知數，每個方程中所含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.
新知講解
例1 下列方程組不是三元一次方程組的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
[注意] 組成三元一次方程組的三個一次方程中，不一定要求每一個一次方程都含有三個未知數．
新知講解
類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個方程的公共解，叫作這個三元一次方程組的解.



能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知識點二 三元一次方程組的解
新知講解
解三元一次方程組的基本思路：通過“代入”或“加減”進行 ，把 轉化為 ，使解三元一次方程組轉化為解 ，進而再轉化為解 .
三元一次
方程組
二元一次
方程組
一元一次
方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程組
一元一次方程
新知講解
例1 解方程組：
解析：由方程②得x=y+1, ④
把④分別代入①③得
2y+z=22, ⑤
3y-z=18, ⑥
解由⑤⑥組成的二元一次方程組，
得y=8,z=6.
把y=8代入④，得x=9.
所以原方程的解是
x=9,
y=8,
z=6.



新知講解
例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,當x=－1時,y=0;當x=2時,y=3;當x=5時,y=60. 求a,b,c的值.
解析:根據題意，得三元一次方程組
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1, ④
③－①，得 4a＋b=10, ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
a＋b=1，
4a＋b=10.
解得
a=3，
b=-2.
把a=3，b=-2代入①，得c=-5.
因此
a=3，
b=-2，
c=-5.
新知講解
幼兒營養標準中要求每一個幼兒每天所需的營養量中應包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素.現有一批營養師根據上面的標準給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A、B、C三種食物，下表給出的是每份（50g)食物A、B、C分別所含的鐵、鈣和維生素的量（單位）
食物 鐵 鈣 維生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
知識點三 三元一次方程組的應用
新知講解
（1）如果設食譜中A、B、C三種食物各為x、y、z份，請列出方程組，使得A、B、C三種食物中所含的營養量剛好滿足幼兒營養標準中的要求；
（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的A、B、C的份數.
解析：(1)由該食譜中包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素，
得方程組



新知講解
(2) - ×4, - ,得
⑤

④
⑤+④,得-35z=-70,得z=2,
通過回代，得y=1,x=2.
答：該食譜中包含A種食物2份，B種食物1份，C種食物2份.
新知講解
1.解方程組 則x＝_____，y＝______，
z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1,
①
②
③
解析:通過觀察未知數的系數，可通過① +②求出y的值， 通過②+③求出z的值，最后再將y與z的值代入任何一個方程求出x的值即可.
8
3
6
隨堂練習
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通過觀察未知數的系數，可通過兩個方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
隨堂練習
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b， c的值．
解析：因為三個非負數的和等于0，所以每個非負數都為0.
可得方程組
解得
隨堂練習
4.一個三位數，十位上的數字是個位上的數字的，百位上的數字與十位上的數字之和比個位上的數字大1.將百位與個位上的數字對調后得到的新三位數比原三位數大495，求原三位數．
解析：設原三位數百位、十位、個位上的數字分別為x、y、z.由題意，得z，
解得
，
答：原三位數是368.
隨堂練習
三元一次方程組的解法
三元一次方程組
的概念
三元一次方程組的解
含有三個未知數，每個方程中所含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組
三元一次方程組的應用
類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個方程的公共解，叫作這個三元一次方程組的解
課后小結
謝謝觀看
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