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(共38張PPT)
（人教版）數(shù)學(xué)（2025）
七年級(jí)
下
第十章 二元一次方程組
10.3 實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.學(xué)會(huì)運(yùn)用二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）
2.進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.
3.能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程
組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）
生活中，有很多需要進(jìn)行配套的問(wèn)題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和電機(jī)等，大家能舉出生活中配套問(wèn)題的例子嗎？
情境導(dǎo)入
知識(shí)點(diǎn)一 列方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題
養(yǎng)牛場(chǎng)原有30只大牛和15只小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12只大牛和5只小牛，這時(shí)1天約用飼料940 kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每只大牛1天約需飼料18到20 kg，每只小牛1天約需飼料7到8kg.你認(rèn)為李大叔估計(jì)的準(zhǔn)確嗎？
新知講解
問(wèn)題1 題中有哪些未知量，你如何設(shè)未知數(shù)？
未知量:每頭大牛1天需用的飼料;
每頭小牛1天需用的飼料.
設(shè)未知數(shù)：設(shè)每頭大牛和每頭小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg.
問(wèn)題2 題中有哪些等量關(guān)系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用飼料為675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用飼料為940kg.
新知講解
解:設(shè)每頭大牛和小牛平均1天各需用飼料為xkg和ykg.
根據(jù)等量關(guān)系，列方程組：
答:每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料為20kg和5kg，飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每天大牛需用飼料18到20kg，每頭小牛一天需用7到8kg與計(jì)算有一定的出入.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解方程組：x= ,
y= .
20
5
新知講解
劇情發(fā)展：隨著養(yǎng)牛場(chǎng)規(guī)模逐漸擴(kuò)大，李大叔需聘請(qǐng)飼養(yǎng)員協(xié)助管理現(xiàn)有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)5頭大牛和2頭小牛，請(qǐng)問(wèn)李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲、乙兩種飼養(yǎng)員各多少人？
8x
5y
4x
2y
解得：
解：設(shè)李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲種飼養(yǎng)員x人，乙種飼養(yǎng)員y人，則：
+ = 42,
+ = 20.
x =4,
y = 2.
答：李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲種飼養(yǎng)員4人，乙種飼養(yǎng)員2人.
新知講解
解題小結(jié)：用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：
(1)審題：弄清題意和題目中的_________；
(2)設(shè)元：用___________表示題目中的未知數(shù)；
(3)列方程組：根據(jù)___個(gè)等量關(guān)系列出方程組；
(4)解方程組：利用__________法或_________法解出未知數(shù)的值；
(5)檢驗(yàn)并答：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，然后作答.
數(shù)量關(guān)系
字母
2
代入消元
加減消元
新知講解
例1 某市舉辦中學(xué)生足球比賽，規(guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分.市第二中學(xué)足球隊(duì)比賽11場(chǎng)，沒(méi)有輸過(guò)一場(chǎng)，共得27分，試問(wèn)該隊(duì)勝幾場(chǎng)，平幾場(chǎng)？
分析：題中的未知量有勝的場(chǎng)數(shù)和平的場(chǎng)數(shù)，等量關(guān)系有：勝的場(chǎng)數(shù)+平的場(chǎng)數(shù)=11；勝場(chǎng)得分+平場(chǎng)得分=27.
勝場(chǎng) 平場(chǎng) 合計(jì)
場(chǎng)數(shù)
得分
x
3x
y
y
11
27
新知講解
解：設(shè)市第二中學(xué)足球隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng).依題意可得
8
y
3x
y
3
答：該市第二中學(xué)足球隊(duì)勝8場(chǎng)，平3場(chǎng).
x
新知講解
例2 某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)所包含的路程為0～3km，超過(guò)3km的部分按每千米另收費(fèi).
甲說(shuō)：“我乘這種出租車走了11km，付了17元.”
乙說(shuō)：“我乘這種出租車走了23km，付了35元.”
請(qǐng)你算一算：出租車的起步價(jià)是多少元？超過(guò)3km后，每千米的車費(fèi)是多少元？
分析 本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系有：
總車費(fèi)=0～3km的車費(fèi)(起步價(jià))+超過(guò)3km的車費(fèi).
新知講解
解：設(shè)出租車的起步價(jià)是x元,超過(guò)3km后每千米收費(fèi)y元.
根據(jù)等量關(guān)系,得
解這個(gè)方程組，得
答：這種出租車的起步價(jià)是5元，超過(guò)3km后每千米收費(fèi)1.5元.
起步價(jià) 超過(guò)3km后的費(fèi)用 合計(jì)費(fèi)用
甲
乙
x
x
（11-3）y
（23-3）y
17
35
新知講解
據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2．現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地，分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？
請(qǐng)?zhí)崛?shù)學(xué)信息
知識(shí)點(diǎn)二 列方程組解決幾何問(wèn)題
轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言：
A
D
C
B
已知：長(zhǎng)方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，長(zhǎng)方形ABCD分割為兩個(gè)小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形1和長(zhǎng)方形2分別種甲、乙作物，甲、乙單位面積產(chǎn)量的比是1:2.
目標(biāo)：甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4
新知講解
這里研究的實(shí)際上是什么問(wèn)題.
把一個(gè)長(zhǎng)方形分成兩個(gè)小長(zhǎng)方形有哪些分割方式？
豎著畫，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變
橫著畫，把寬分成兩段，則長(zhǎng)不變
長(zhǎng)方形的面積分割
我們可以畫出示意圖來(lái)幫助分析
試著畫一畫
新知講解
豎著畫，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變
A
D
C
F
B
E
1.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=200m
2.甲、乙兩種作物總產(chǎn)量比=3:4
等量關(guān)系式有幾個(gè)？
新知講解
豎著畫，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變
A
D
C
F
B
E
1.大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=200m
2.甲、乙兩種作物總產(chǎn)量比=3:4
先求出兩種作物的面積
S長(zhǎng)方形AEFD=100x
S長(zhǎng)方形EFCB=100y
再寫出兩種作物的總產(chǎn)量
甲：100x×1
乙：100y×2
則列方程為
100x:200y=3:4
總產(chǎn)量=
x
y
200m
100
設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.
則列方程為
x+y=200
單位面積產(chǎn)量×面積
新知講解
豎著畫，把長(zhǎng)分成兩段，則寬不變
A
D
C
F
B
E
x
y
200m
100m
y=80.
甲種作物
乙種作物
解：
根據(jù)題意列方程組為
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交CD于點(diǎn)F.
設(shè)AE＝xm，BE＝y(tǒng)m.
100x:200y=3:4.
x+y=200,
解得
x=120,
答：將這塊土地分為長(zhǎng)120m,寬100m和長(zhǎng)100m,寬80m的兩個(gè)小長(zhǎng)方形分別種植甲、乙兩種作物.
新知講解
橫著畫，把寬分成兩段，則長(zhǎng)不變
A
D
C
B
E
x
y
F
乙種作物
甲種作物
200y
200x
200m
100m
x+y=100,
解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，交BC于點(diǎn)F.設(shè)DE＝xm，AE＝y(tǒng)m.
200x:400y=3:4.
x=60,
y=40.
解得
根據(jù)題意列方程組為
答：將這塊土地分為長(zhǎng)200m,寬60m和長(zhǎng)200m,寬40m的兩個(gè)小長(zhǎng)方形分別種植甲、乙兩種作物.
新知講解
例1 8塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少 （單位:cm）
60
x+y=60,
x=3y.
解:設(shè)小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為x, 寬為y,由題意,得
解此方程組得：
x =45,
y=15.
答:小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm, 寬為15cm.
新知講解
小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路. 假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需10min，從學(xué)校到家里需15min.問(wèn)小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？
知識(shí)點(diǎn)三 列方程組解決行程問(wèn)題
新知講解
分析：小華到學(xué)校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的時(shí)間+走下坡路的時(shí)間=________，
走上坡路的時(shí)間+走平路的時(shí)間= _______．
路程=平均速度×?xí)r間
10
15
新知講解
（直接設(shè)元法）
平路時(shí)間 坡路時(shí)間 總時(shí)間
上學(xué)
放學(xué)
解：設(shè)小華家到學(xué)校平路長(zhǎng)xm，下坡路長(zhǎng)ym.
根據(jù)題意，可列方程組：
解方程組，得 .
所以，小明家到學(xué)校的距離為700m.
新知講解
例1 甲、乙兩人相距4km，以各自的速度同時(shí)出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問(wèn)兩人的速度各是多少？
分析：對(duì)于行程問(wèn)題，一般可以借助示意圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，可以更加直觀的找到相等關(guān)系.
（1） 同時(shí)出發(fā)，同向而行
甲出發(fā)點(diǎn)
乙出發(fā)點(diǎn)
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
新知講解
（2） 同時(shí)出發(fā)，相向而行
甲出發(fā)點(diǎn)
乙出發(fā)點(diǎn)
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
解：設(shè)甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.
根據(jù)題意，得
解方程組，得
答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.
新知講解
實(shí)際問(wèn)題
設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程（組）
數(shù)學(xué)問(wèn)題
[方程(組)]
解方程（組）
數(shù)學(xué)問(wèn)題的解
雙檢驗(yàn)
實(shí)際問(wèn)題的答案
知識(shí)點(diǎn)四 列方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題
新知講解
例1 如圖,長(zhǎng)青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連，這家工廠從A地購(gòu)買一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8 000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地.已知公路運(yùn)價(jià)為1.5 元/（噸·千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸·千米），這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？
·
長(zhǎng)青化工廠
公路10千米
新知講解
分析：銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費(fèi)與原材料有關(guān).設(shè)制成x噸產(chǎn)品，購(gòu)買y噸原料.根據(jù)題意填寫下表：
1.5× 20x
1.2× 110x
8 000x
1.5× 10y
1.2× 120y
1 000y
15 000
97 200
價(jià) 值（元）
鐵路運(yùn)費(fèi)（元）
公路運(yùn)費(fèi)（元）
合 計(jì)
原料y噸
產(chǎn)品x噸
新知講解
解:根據(jù)圖表，列出方程組
解方程組得
x=300，
y=400.
8000x-1000y-15000-97200
=8000×300-1000×400-15000-97200
=1887800（元）.
答：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1887800元.
1.5 × 20x+ 1.5×10y=15 000，
1.2 × 110x+ 1.2×120y=97 200.
新知講解
1.我國(guó)的長(zhǎng)江由西至東奔騰不息，其中九江至南京約有450千米的路程，某船從九江出發(fā)9個(gè)小時(shí)就能到達(dá)南京；返回時(shí)則用多了1個(gè)小時(shí).求此船在靜水中的速度以及長(zhǎng)江水的平均流速.
解：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，長(zhǎng)江水的平均流速為y千米/時(shí)
.
解的：
答：輪船在靜水中的速度為47.5千米/時(shí)，長(zhǎng)江水的平均流速為2.5千米/時(shí).
隨堂練習(xí)
2.某班有40名同學(xué)看演出，購(gòu)買甲、乙兩種票共用去370元，其中甲種票每張10元，乙種票每張8元.請(qǐng)問(wèn)甲種和乙種票各多少?gòu)垼?br/>解：設(shè)甲種票x張，乙種票y張。
則
解得
答：甲種票25張，乙種票15張.
隨堂練習(xí)
3.一個(gè)工廠共42名工人,每個(gè)工人平均每小時(shí)生產(chǎn)圓形鐵片120片或長(zhǎng)方形鐵片80片.已知兩片圓形鐵片與一片長(zhǎng)方形鐵片可以組成一個(gè)圓柱形密封的鐵桶.你認(rèn)為如何安排工人的生產(chǎn),才能使每天生產(chǎn)的鐵片正好配套
解：設(shè)生產(chǎn)圓形鐵片的工人x人，生產(chǎn)長(zhǎng)方形鐵片的工人y人，
根據(jù)題意列出方程組得
解得
答：生產(chǎn)圓形鐵片的工人24人，生產(chǎn)長(zhǎng)方形鐵片的工人18人.
隨堂練習(xí)
4.某工地挖掘機(jī)的臺(tái)數(shù)和裝卸機(jī)的臺(tái)數(shù)之和為21，如果每臺(tái)挖掘機(jī)每天平均挖土750m3，每臺(tái)裝卸機(jī)每天平均運(yùn)土300m3，正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走，問(wèn)挖掘機(jī)有多少臺(tái)？裝卸機(jī)有多少臺(tái)？
解：設(shè)挖掘機(jī)x臺(tái)，裝卸機(jī)y臺(tái)，根據(jù)題意列出方程組得
解得
答：挖掘機(jī)有6臺(tái)，裝卸機(jī)有15臺(tái).
隨堂練習(xí)
實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組
列方程組解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題
列方程組解決幾何問(wèn)題
在很多實(shí)際問(wèn)題中，都存在著一些等量關(guān)系，我們可以借助列方程組的方法來(lái)處理這些問(wèn)題
列方程組解決行程問(wèn)題
列方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題
要注意的是，處理實(shí)際問(wèn)題的方法往往是多種多樣的，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題靈活選用
課后小結(jié)
謝謝觀看
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