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（人教版）數學（2025）
七年級
下
第十章 二元一次方程組
10.1 二元一次方程組的概念
學習目標
1.了解二元一次方程（組）及其解的定義；(重點)
2.會列二元一次方程組，并檢驗一組數是不是某個二元一次方程組的解.(難點)
籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得 2 分，負一場得 1分．某隊在 10 場比賽中得到 16 分，那么這個隊勝負分別是多少？
請嘗試求解.
情境導入
對于前面提出的問題請分組探究列出合適的方程.
知識點 一 二元一次方程組
解析：設勝 x 場，則負 (10 - x) 場. 2x + (10 - x) = 16.
解析：設籃球隊勝了 x 場，負了 y 場.
設一個未知數.
設兩個未知數.
新知講解
設兩個未知數，如何列方程呢？
勝的場數＋負的場數＝總場數
勝的場數的分數＋負的場數的分數＝總分數
得分
10
場數
合計
負
勝
x
y
2x
y
16
2x＋y = 16
x＋y = 10
新知講解
方程 2x + (10－x) = 16 x＋y = 10
2x＋y = 16
未知數個數
未知數項的次數
1
2
1
1
觀察下面兩個方程，填一填.
請按照一元一次方程嘗試總結定義.
新知講解
上面兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數 (x 和 y)，并且含有未知數的項的次數都是 1，像這樣的方程叫作二元一次方程.
總結
新知講解
判斷要點：
①是否為整式方程；②是否含兩個未知數；③未知數的項的次數是否為 1；
④化簡后未知數的系數不為 0.
例1.判斷下列方程是否為二元一次方程：
是
不是
是
不是
不是
不是
新知講解
注意：
(1) 未知數的系數不為 0；
(2) 含未知數的項的次數都是 1.
例2.已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是關于 x、y 的二元一次方程，則 m＋n ＝_____．
0
| m |＝1
|m－1|≠0
2n－1 ＝ 1
m ＝ －1
n ＝ 1
m＋n ＝0
新知講解
x＋y = 10，
2x＋y = 16
叫作方程組
方程組中有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是 1，
并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.
新知講解
總結
例3.下列方程組是二元一次方程組的是 ( )
A. B.
C. D.
B
新知講解
知識點二 二元一次方程(組)的解
滿足方程 x+y = 10 ,且符合問題的實際意義 （勝負的場數）的值有哪些？
用表格表示出來.
　如果不考慮方程表示的實際意義，還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
新知講解
方程的解
x＋y = 10，①
2x＋y = 16. ②
上述表格中是否存在同時滿足方程①和方程②的值呢？
x = 6，
y = 4.
總結:
1.一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解.
2. 一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解.
新知講解
公共解
例1. 若 是關于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，則 k 的值為 .
－1
x = -2，
y = 3
新知講解
代入解，得 -2-3k = 1，所以k = -1
例2. 二元一次方程組 的解是 ( )
A.
C.
D.
B.
x = 4，
y = 2
x + 2y = 10，
y = 2x
x = 3，
y = 6
x = 4，
y = 3
x = 2，
y = 4
C
一般地，二元一次方程有無數個解，而二元一次方程組只有一個解.
新知講解
二元一次方程
①每個方程含有 __個未知數；
②含有未知數的項的次數______
使二元一次方程兩邊的值____的兩個_______的值
二元一次方程組
①含有__ 個未知數；
②含有未知數的項的次數______；
③一共有__個方程
二元一次方程組的兩個
方程的______
兩
都是 1
兩
都是 1
兩
相等
公共解
未知數
新知講解
解
解
1. 下列不是二元一次方程組的是 ( 　 )
B
x + = 1，
y + x = 2
A.
x + y = 3，
x - y = 1
B.
C.
D.
6x + 4y = 9，
y = 3x + 4
x = 1，
y = 1
2. 若 2x2m+3 + 3y3n-7 = 0 是關于 x、y 的二元一次方程,則 m +n =______ .
隨堂練習
解析：由題意得2m+3=1且3n-7=1，所以m= -1, n=
3.《孫子算經》中有一道題，原文是 ：“今有木 ，不知長短 ，引繩度之 ，余繩四尺 五寸 ；屈繩量之 ，不足一尺 .木長幾何 ” 意思是 ：用一根繩子去量一根長木 ，繩 子還剩余 4.5尺 ；將繩子對折再量長木 ，長木還剩余 1 尺 . 木長是多少尺
若設繩子長 x 尺 ，木長是 y 尺，則所列方程組正確的是 ( )
等量關系：① 繩子長度-木長= 4.5尺 ；②繩子長度的一 半+1尺 = 木長.
y-x =4.5，
2x-1 = y
A.
x - y = 4.5，
2x +1 = y
B.
C.
D.
y-x =4.5，
x -1= y
x - y = 4.5，
x +1= y
隨堂練習
C
隨堂練習
4.甲、乙兩位同學在解關于 x, y的方程組 時,
甲看錯字母 a 得到方程組的解為
乙看錯字母 b 得到方程組的解為 則 a =______，b =______.
ax + 3y = 4
2x -b y = - 1
x = 4
y = 3，
x = -2
y = 2 .
解析：由題意，將 代入2x-by = -1,得 8-3b = -1.所以b=3. 將
代入 ax+3y =4,得 -2a+6=4, 所以a=1.
x = 4，
y = 3，
x = -2，
y = 2，
1
3
5.足球比賽規定 ：勝一場得 3 分 ，平一場得 1 分 ，負一場得 0 分 .
某足球隊共進行了6場比賽 ，得了12分 ，該隊獲勝的場數是______.
解析 ：設該隊勝 x場 ，平 y場 .根據題意 ，得3x+y=12.
因為 x, y均為非負整數，且 x與 y的和不大于 6,
x = 3,
y = 3，
x = 4,
y = 0.
所以該隊獲勝的場數是3或4.
隨堂練習
所以
3或4
6. 加工某種產品需經兩道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.現有 7 位工人參加這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每
天第一、第二道工序所完成的件數相等？請列出符合題意的二元一次方程組.
解析：設安排第一道工序為 x 人，第二道工序為 y 人.根據題意得
隨堂練習
二元一次方程組
的概念
二元一次方程
二元一次方程組
整式方程
含有兩個未知數 （x 和 y）
二元一次方程(組)的解
未知數的項的次數都是 1
有兩個未知數
課后小結
有兩個整式方程
每個未知數的項的次數都是 1
謝謝觀看
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