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(共33張PPT)
（人教版）數學（2025）
七年級
下
第八章 實數
8.1 算術平方根
1.了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根；(重點)
2.根據算術平方根的概念求出非負數的算術平方根；(重點)
3.了解并掌握算術平方根的性質；(難點)
4.會比較兩個數的算術平方根的大小；(重點)
5.會用計算器求一個數的算術平方根；(重點)
6.會估算一個數的算術平方根的大致范圍，掌握估算的方法.(難點)
學習目標
紅紅到裝飾城購買瓷磚，老板給了他一塊面積為 30 dm2 的正方形瓷磚，
聰明的你能告訴她這塊瓷磚的邊長嗎？
情境導入
運用平方根的知識
正數 a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根.
正數a 的算術平方根用來表示.
(非負數 x )2 = a
非負數 x 是非負數 a 的算術平方根
因為 ( 0 )2 = 0 ，所以規定 0 的算術平方根是 0.
知識點一 算術平方根的定義
新知講解
a的算術平方根記為 ，讀作 “根號 a” 或 “二次根號 a” ，其中 a 叫作被開方數.
算術平方根的符號表示
x2 ＝30 (x＞0)
30 的算術平方根是
新知講解
x =
(非負數 x )2 = a
是非負數 x 的算術平方根
例1. 求下列各數的算術平方根：
總結：被開方數越大，對應的算術平方根也越大.
解析：(1) 因為 102 = 100，所以
(2) 因為 = ， 所以 = .
(3) 因為 0.72 = 0.49，所以
；
；
.
新知講解
(1) 16 的算術平方根是______；
4
2
(2) 的算術平方根是______.
分析：計算 的算術平方根時，注意先計算 = 4，
再計算 4 的算術平方根.
新知講解
例2. 填空
1.一個正數的算術平方根有幾個？
0 的算術平方根有一個，是 0.
2. 0 的算術平方有幾個？
-1沒有算術平方根，負數沒有算術平方根.
3. -1 有算術平方根嗎？負數有算術平方根嗎
一個正數的算術平方根有 1 個.
一個數的平方
不可能是負數.
新知講解
思考：
a 的算術平方根
非負數的算術平方根是非負數.
負數不存在算術平方根，即當 a＜0 時，無意義.
非負數
非負數
新知講解
知識點二 算術平方根的非負性
3. 若 = 0 ，則 a = ；
2. 若 ( m - 7)2 = 0，則 m = ；
4. 若 |a - 3| + =0 ，則代數式 (a + b)2023 =_ __.
1. 若 |a + 3| = 0， 則 a = ；
-3
7
5
-1
幾個非負式的和為 0，則每個式子的值均為 0.
到目前為止，表示非負的式子有：| a | ≥ 0，a2 ≥ 0， ≥ 0.
新知講解
a - 3=0 , b+4=0；
a =3, b=-4；
a +b= - 1.
例1. 填一填
1. 包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.
平方根與算術平方根的聯系與區別
2. 只有非負數才有平方根和算術平方根.
3. 0 的平方根是 0，0的算術平方根也是 0.
區別：
1. 個數不同：一個正數有兩個平方根，但只有一個算術平方根.
聯系：
2. 表示法不同：平方根表示為± ，而算術平方根表示為 .
新知講解
能否用兩個面積為 1 dm2 的小正方形拼成一個面積為 2 dm2 的大正方形？
知識點三 算術平方根的估算及大小比較
新知講解
填空
回憶三角形三邊之間的關系， 究竟是一個什么樣的數？
面積 dm2
邊長 dm
1
2
1
新知講解
因為 12 = 1，22 = 4，
所以 1 < < 2．
思考： ( )2 = 2
太小
太大
探究： 有多大呢？
因為1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，
所以 1.4 < < 1.5．
因為1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42．
新知講解
因為 1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
所以 1.414 < < 1.415.
......
如此下去，可以得到 的更精確的近似值.
新知講解
夾逼法
有什么發現？
你以前見過這種數嗎？
事實上，繼續重復上述的過程，可以得到
無限不循環小數的概念
小數位數無限，且小數部分不循環的小數稱為無限不循環小數.
實際上，許多正有理數的算術平方根 (例如， 等)
都是無限不循環小數.
新知講解
例1.(1) 估計與 最接近的兩個整數是多少？
解析：因為 32 = 9，42 = 16，
所以 3 < < 4．
所以與 最接近的兩個整數是 3 和 4.
新知講解
(2) 估計與 最接近的一個整數是多少？
解：因為 3 < < 4，
而 3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .
所以最接近 的整數是 3 .
新知講解
在估計有理數的算術平方根的過程中，為方便計算，可借助計算器求一個正有理數 a 的算術平方根 (或其近似數).
a
=
按鍵順序：
不同的計算器的按鍵順序可能有所不同！
知識點四 用計算器求算術平方根
新知講解
… …
… …
算術平方根的規律：被開方數的小數點向右每移動 位，它的算術平方根的
小數點就向右移動 位；被開方數的小數點向左每移動 位，它的算術平方根的小數點就向左移動 位.
(1) 利用計算器計算下表中的算術平方根，并將計算結果填在表中，
你發現了什么規律 你能說出其中的道理嗎
1
2
2
1
新知講解
(2)用計算器計算 (精確到 0.001)，并利用你在 (1) 中發現的規律說說 , 的近似值. 你能根據 的值直接得到 是多少嗎
小數點只移動了一位，不符合規律，不能直接得到的值.
新知講解
分析：可根據長寬之比為 3:2 和邊長與面積的關系設方程，得到長方形的長和寬，再與正方形的邊長作比較.
估計邊長的大小可用前面學習的方法.
小麗想用一塊面積為 400 cm2 的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為 300 cm2 的長方形紙片，使它的長寬之比為 3∶2 .她不知能否裁得出來，正在發愁.你能幫小麗算出她能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？
知識點五 算術平方根的應用
新知講解
解析：由題意知正方形紙片的邊長為 20 cm.
設長方形的長為 3x cm，則寬為 2x cm. 則有
∴小麗不能裁出符合要求的紙片.
3x·2x=300， = 50，x= ，3x=3.
∵ 50 ＞49，∴ ＞7，∴3＞21＞20，
新知講解
1. 在計算器上按鍵 ，下列計算結果正確的是（ ）
A. 3 B. - 3 C. - 1 D. 1
B
隨堂練習
2. 設 n 為正整數，且 n < < n＋1，則 n 的值為 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
D
(1)
(2)
1.2
(3)
3.求出下列各數的值.
= =
隨堂練習
解析： 因為 22 = 4，32 = 9，
所以 2 < < 3.
4.比較大小： 與 0.5 .
隨堂練習
所以 1 < -1 < 2.
所以 0.5 < < 1.
即 ＞ 0.5 .
5. 已知 a - 1 的算術平方根是 2，2a + b - 3 的算術平方根是 3，求 3a + 2b 的
算術平方根.
解析：由題意得 a - 1=.
解得 a =5 ，所以3a + 2b =19，
則3a + 2b 的算術平方根為 .
隨堂練習
解析：設每塊地板磚的邊長為 x m. 由題意得 240=60，解得= .
∵ x 是邊長，∴ x = = = 0.5.
故每塊地板磚的邊長是 0.5 m.
6. 用大小完全相同的 240 塊正方形地板磚，鋪一間面積為 60 m2 的會議室的地面，每塊地板磚的邊長是多少？
隨堂練習
算術
平方根
定義
表示
正數 a有兩個平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算術平方根
特征
非負數 a 的算術平方根記作,
讀作“根號 a”，其中 a 叫作被開方數
正數 a 的算術平方根是;
0的算術平方根是0；
負數沒有算術平方根
課后小結
用“夾逼法”比較開方數的大小
使用計算器進行開方運算
謝謝觀看
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