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（人教版）數(shù)學(xué)（2025）
七年級
下
第八章 實(shí)數(shù)
8.3 實(shí)數(shù)及其簡單運(yùn)算
1.理解無理數(shù)的概念，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)；(重點(diǎn))
2.進(jìn)一步理解有理數(shù)和無理數(shù)的概念，會(huì)把實(shí)數(shù)進(jìn)行分類；(重點(diǎn))
3.理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，并進(jìn)行相關(guān)運(yùn)用；(難點(diǎn))
4.了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義；(重點(diǎn))
5.了解有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用，能利用
化簡對實(shí)數(shù)進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
-1 1 2 4
平方根
立方根
±1
1
不存在
-1
±2
填一填
上表中所填的這些數(shù)都是有理數(shù)嗎？
±
情境導(dǎo)入
-1 0 π
-1.0
0.0
-0.6
2.5
1.有理數(shù)（整數(shù)、分?jǐn)?shù)）可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).
2.反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).
3.很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù).
兩種小數(shù)有什么區(qū)別？你發(fā)現(xiàn)了什么？
新知講解
知識(shí)點(diǎn)一 實(shí)數(shù)的概念和分類
我們知道有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，利用計(jì)算器把下列各數(shù)寫成小數(shù)的形式.
-1 1 2 4
平方根
立方根
±1
1
不存在
-1
±2
無理數(shù)
無理數(shù)的概念:無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).
你還能舉出一些無理數(shù)的例子嗎？
新知講解
思考： 是無理數(shù)嗎？2.020 020 002 000 02··· 是無理數(shù)嗎？
常見的一些無理數(shù)：
(1) 化簡后含有 π 的數(shù)；
(2) 開不盡方的數(shù)開方所得的結(jié)果；
(3) 有規(guī)律但不循環(huán)的小數(shù)，如 1.01001000100001···.
它們都是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù).
新知講解
思考：我們將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù). 你能仿照有理數(shù)的分類給實(shí)數(shù)分類嗎？
實(shí)數(shù)
有理數(shù)
無理數(shù)
正有理數(shù)
0
負(fù)有理數(shù)
正無理數(shù)
負(fù)無理數(shù)
有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)
新知講解
負(fù)實(shí)數(shù)
正實(shí)數(shù)
數(shù)實(shí)
正有理數(shù)
負(fù)有理數(shù)
0
正無理數(shù)
負(fù)無理數(shù)
由于非零有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，那么你能類比有理數(shù)的分類方法，
按大小對實(shí)數(shù)分類嗎？
新知講解
無理數(shù)：
有理數(shù)：
負(fù)實(shí)數(shù)：
正實(shí)數(shù)：
例1.將下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的括號內(nèi)：
新知講解
例2.下列說法中，正確的是（ ）.
A. 實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B. 無限小數(shù)都是無理數(shù)
C. 無理數(shù)都是無限小數(shù) D. 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)
例3.有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的 x 為 81 時(shí)，輸出的 y 是（ ）.
輸入x
取算術(shù)
平方根
輸出y
是無理數(shù)
是有理數(shù)
C
D
A. 9 B. C.3 D.
新知講解
探究：每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，無理數(shù)是否也能用數(shù)軸上的點(diǎn)
表示出來呢？
因?yàn)榘霃綖? 的圓的周長為 π，所以數(shù)軸上點(diǎn) A 表示的數(shù)是無理數(shù) π.
0
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
知識(shí)點(diǎn)二 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)
能不能在數(shù)軸上找到表示 π 的點(diǎn)呢？
新知講解
把兩個(gè)邊長為 1 的小正方形通過剪、拼，得到一個(gè)大正方形，由大正方形的面積為 2 可知其邊長為 ，從而說明邊長為 1 的小正方形的對角線長為____.
思考：你能在數(shù)軸上表示出 和 - 嗎？
新知講解
－2
－1
0
1
2
-
每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；
反過來，數(shù)軸上的每一點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).
實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.
新知講解
例1.如圖所示，數(shù)軸上 A，B 兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為 －1 和 ，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) A 的
對稱點(diǎn)為 C，求點(diǎn) C 所表示的實(shí)數(shù)．
解析：∵數(shù)軸上 A，B 兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為－1 和 ，
∴點(diǎn) B 到點(diǎn) A 的距離為1＋ ，則點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離為 1＋ .
設(shè)點(diǎn) C 表示的實(shí)數(shù)為 x，則點(diǎn) A 到點(diǎn) C 的距離為－1－x，
∴－1－x ＝ 1＋ ，
∴ x ＝ －2－ .
新知講解
比較大小
與有理數(shù)一樣，實(shí)數(shù)也可以比較大小：
數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.
與有理數(shù)一樣，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)：
正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù).
新知講解
例2.在數(shù)軸上表示下列各點(diǎn)，比較它們的大小，并用“ < ”連接它們.
-2 -1 0 1 2 3
1
-2
新知講解
估算
常見無理數(shù)的近似值：
有理數(shù)中的幾個(gè)重要概念:
① 相反數(shù)
② 絕對值
③ 倒數(shù)
思考：無理數(shù)也有相反數(shù)嗎？怎么表示？有絕對值嗎？怎么表示？
有倒數(shù)嗎？怎么表示？
新知講解
(1) 的相反數(shù)是_______；π 的相反數(shù)是_______；
0 的相反數(shù)是______；
（2）| - |=_______；| - |=_______.
π
知識(shí)點(diǎn)三 實(shí)數(shù)的性質(zhì)
-π
·
- π
0
π
·
新知講解
-
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi) ，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣．
與 - 互為相反數(shù).
與 互為倒數(shù).
新知講解
| |= ，| |= ,| |=
知識(shí)點(diǎn)三 實(shí)數(shù)的性質(zhì)
實(shí)數(shù) a 的相反數(shù)是 - a.
實(shí)數(shù) a 與 - a 表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.
總結(jié)：
①一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；
②一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；
③ 0 的絕對值是 0.
新知講解
絕對值
例1.分別求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值：
解析：(1) ∵ ＝－4，
∴ 的相反數(shù)是4，倒數(shù)是 - ，絕對值是 4.
(2) ∵ ＝15，
∴ 的相反數(shù)是 - 15，倒數(shù)是 , 絕對值是15.
(3) 的相反數(shù)是 - ，倒數(shù)是 ，絕對值是 .
新知講解
知識(shí)點(diǎn)四 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
思考：有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立嗎？
有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用.
新知講解
填空：設(shè) a，b，c 是任意實(shí)數(shù)，則
（1）a + b = （加法交換律）；
（2）(a + b) + c = （加法結(jié)合律）；
（3）a + 0 = 0 + a = ；
（4）a + (- a) = (- a) + a = ；
（5）ab = （乘法交換律）；
（6）(ab)c = （乘法結(jié)合律）；
b + a
a + (b + c)
a
0
ba
a(bc)
（7） 1 · a = a · 1 = ；
a
新知講解
知識(shí)點(diǎn)四 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（8）a(b + c) = （乘法對于加法的分配律），
(b + c)a = （乘法對于加法的分配律）；
（9）實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算規(guī)定為 a - b = a + ；
（10）對于每一個(gè)非零實(shí)數(shù) a，存在一個(gè)實(shí)數(shù) b，滿足 a · b = b · a = 1，
我們把 b 叫作 a 的＿＿＿；
（11）實(shí)數(shù)的除法運(yùn)算（除數(shù) b≠0），規(guī)定為 a÷b = a · ；
（12）實(shí)數(shù)有一條重要性質(zhì)：如果 a≠0，b≠0，那么 ab＿＿0.
ab + ac
ba + ca
(-b)
倒數(shù)
≠
新知講解
1.每個(gè)正實(shí)數(shù)有且只有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).
0 的平方根是 0.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根.
2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，每個(gè)實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)立方根，
而且與它本身的符號相同.
實(shí)數(shù)的平方根與立方根的性質(zhì)：
此外，前面所學(xué)的有關(guān)數(shù)、式、方程（組）的性質(zhì)、法則和解法，對于
實(shí)數(shù)仍然成立.
新知講解
例1.計(jì)算下列各式的值：
解析：(1)原式=+（-）=.
(2)原式==.
(1)+- ;
(2)+2.
新知講解
1. 下列說法正確的是（ ）
A. a 一定是正實(shí)數(shù)
B. 是有理數(shù)
C. 是有理數(shù)
D. 數(shù)軸上任一點(diǎn)都對應(yīng)一個(gè)有理數(shù)
B
隨堂練習(xí)
2.下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是 ( )
A. 3 與 B. 2 與 ( -2 ) 2
C. ( -1 )2 與 D. 5 與 | -5 |
C
3. | -3 | - | 2 - |的值是( )
C
A. 5 B. -1 C. 5-2 D.2 -5
原式 - ( - 2 ) = -
隨堂練習(xí)
4.若實(shí)數(shù) a，b 互為相反數(shù)，c，d 互為倒數(shù)，m 是 9 的平方根.
求 - + +.
當(dāng) m = 3 時(shí)，原式 = 0 + 1 + (3 - 1)2 = 1 + 4 = 5；
當(dāng) m = -3 時(shí)，原式 = 0 + 1 + (-3 - 1)2 = 1 + 16 = 17.
解析：由已知得 a + b = 0，cd = 1，m = ±3.
隨堂練習(xí)
5.觀察下圖，每個(gè)小正方形的邊長均為 1.
(1) 圖中陰影部分(正方形)的面積是多少？
他的邊長是多少？
(2) 陰影部分(正方形)的邊長在哪兩個(gè)整數(shù)之間？
解析：(1) 陰影部分的面積為 33 - 4× ×1×2 = 9 - 4 = 5.
它的邊長為 .
(2) 因?yàn)?5 在 4 與 9 之間，所以 在 2 與 3 之間.
即陰影部分的邊長在 2 與 3 之間.
隨堂練習(xí)
6.如圖，一根細(xì)線上端固定，下端系一個(gè)小重物，讓這個(gè)小重物來回自由擺動(dòng)，來回?cái)[動(dòng)一次所用的時(shí)間 t (單位：s) 與細(xì)線的長度 l (單位：m)之間滿足關(guān)系式
t =2 . 當(dāng)細(xì)線的長度為 0.5 m 時(shí)，小重物來回?cái)[動(dòng)一次所用的時(shí)間是多少( π ≈ 3.14， ≈ 0.22 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)？
隨堂練習(xí)
解析：當(dāng) l = 0.5 時(shí)，
答：小重物來回?cái)[動(dòng)一次所用的時(shí)間是 1.4 s
t =2 = 2 ≈ 2×3.14×
≈ 2×3.14×0.22 =1.3816 ≈1.4（s）
隨堂練習(xí)
實(shí)數(shù)
數(shù)軸
相反數(shù)
有理數(shù)
無理數(shù)
絕對值
倒數(shù)
實(shí)數(shù)的運(yùn)算
課后小結(jié)
有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)
數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)
謝謝觀看
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