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(共26張PPT)
（人教版）數(shù)學(xué)（2025）
七年級
下
第八章 實(shí)數(shù)
8.1 平方根
1.了解平方根的概念，會用根號表示一個(gè)數(shù)的平方根；
(重點(diǎn))
2.了解開平方與平方是互逆運(yùn)算，會用開平方運(yùn)算求
非負(fù)數(shù)的平方根.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小優(yōu)裁出了一塊面積為 25 dm2 的正方形的畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？
分析：∵( )2 = 25
∴這個(gè)正方形畫布的邊長應(yīng)取 dm.
5
5
情境導(dǎo)入
如果一個(gè)數(shù)的平方為 25，那么這個(gè)數(shù)是多少？
分析：∵ ( ±5 )2 = 25
∴這個(gè)數(shù)是 5 或 -5.
知識點(diǎn)一 平方根的定義
新知講解
5 和 -5 互為相反數(shù)，會不會是巧合呢？
想一想：5 和-5 有什么特征
x2 1 16 0 49
x
根據(jù)上面的研究過程填表：
±1
±4
0
±7
我們把±1、±4、0、±7、± 分別叫做1、16、0、49、 的平方根.
新知講解
±
如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a，那么這個(gè)數(shù)叫做 a 的平方根，或二次方根.
這就是說，如果 x2 = a， x 叫做 a 的平方根.
求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，簡記為±3 是 9 的平方根.　
你能再舉幾個(gè)例子嗎？
平方根的概念
新知講解
–1
+1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
–1
+1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
平方
開平方
比較兩圖中的兩種運(yùn)算的特點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)什么？
互為
逆運(yùn)算
新知講解
互為逆運(yùn)算
平方運(yùn)算
開平方運(yùn)算
總結(jié)：開平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算；
根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個(gè)數(shù)的平方根.
新知講解
1.正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？
2. 0 的平方根是多少？
3.負(fù)數(shù)有平方根嗎？
正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
因?yàn)?02 = 0，所以 0 的平方根是0
在我們所認(rèn)識的數(shù)中，任何一個(gè)數(shù)的平方都不會是負(fù)數(shù)，
所以負(fù)數(shù)沒有平方根.
新知講解
正數(shù)有兩個(gè)平方根，
它們互為相反數(shù)；
0 的平方根是 0 ；
負(fù)數(shù)沒有平方根.
知識點(diǎn)二 平方根的性質(zhì)
例1.分別求下列各數(shù)的平方根：
解：由于 ( ±6 )2 = 36，
因此 36 的平方根是 6 與 -6.
(1) 36；
新知講解
解：由于 ( ±1.1)2 = 1.21，
(3) 1.21.
因此 1.21 的平方根是 1.1 與 -1.1.
(2) ；
解：由于( ± )2 = ，
因此的平方根是 與- .
新知講解
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
的平方根是什么？
4. -4 有沒有平方根？為什么？
0
沒有，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù).
例2.回答以下問題
±12
±
新知講解
例3.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是 2a＋1 和 a－4，求這個(gè)數(shù)．
解：由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是 2a＋1 和 a－4，
則有 2a＋1＋a－4＝0，即 3a－3＝0，
解得 a＝1.
所以這個(gè)數(shù)為 (2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法歸納：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù).
新知講解
a 的平方根
平方根號
被開方數(shù)
讀作：正、負(fù)根號 a
(a≥0)
(x≥0，a≥0)
根指數(shù)為 2，省略不寫
2
數(shù)學(xué)符號表示
新知講解
x =±
表示 a 的正的平方根
-表示 a 的負(fù)的平方根
讀作“正、負(fù)根號”
一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的表示方法：
只有當(dāng) a ≥ 0 時(shí)才有意義；a ＜ 0 時(shí)無意義.
a﹙a≥0﹚的平方根表示為±
新知講解
記作±
例1.±各表示什么意義？
表示 7 的正的平方根
表示 7 的負(fù)的平方根
±表示 7 的平方根
新知講解
例2.求下列各式的值：
解：(1) = 6 .
(1) ; (3)±
(2) = - 0.9 .
(3) ± = ± .
新知講解
1.下列說法正確的是________.
① -3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6；
④ 平方根等于 0 的數(shù)是 0.
①④
隨堂練習(xí)
2.下列說法不正確的是（ ）
A. 0 的平方根是 0
B. -22 的平方根是 2
C.正數(shù)的平方根互為相反數(shù)
D.一個(gè)正數(shù)的正的平方根一定大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)
B
隨堂練習(xí)
3.判斷下列說法是否正確：
正確.
(4) (-4)2 的平方根是 -4.
正確.
不正確，是 4.
不正確，是 ±4.
(3) 的值是±4；
(1) 是 的一個(gè)平方根；
(2) 是 6 的一個(gè)平方根；
隨堂練習(xí)
4. 已知 x - 1 的其中一個(gè)平方根為 2，3x + y -1 的平方根 為 ±4，求 3x + 5y 的
平方根.
解：由題意，得 x - 1 = 22，3x + y - 1 = (±4)2， 解得 x = 5，y = 2.
∴ 3x + 5y = 25.
∴ 3x + 5y 的平方根為±5.
隨堂練方根
定義
表示
如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a，那么這個(gè)數(shù)叫做 a 的平方根或二次方根
特征
表示 a 的正的平方根，
表示 a 的負(fù)的平方根
正數(shù) a 的平方根是±，它們
互為相反數(shù)；0 的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根
課后小結(jié)
平方
開方
互為逆運(yùn)算
謝謝觀看
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